2344 ورقة بحثية
تُثبت هذه الورقة أول نتيجة وجود للحلول الضعيفة لنظام نافييه-ستوكس-كان-هيليارد الانضغاطي المستقر ذي الطاقة الحرة اللوغاريتمية المنفردة وحالات الفراغ في مجال محدود ثلاثي الأبعاد، متجاوزةً تحديات غياب متباينات الطاقة وتدهور الكثافة من خلال التنظيم المتخصص والتقديرات الموحدة.
يستنتج هذا البحث بدقة معادلات الطبقة الحدودية لنظام الانتحاء الكيميائي-نافييه-ستوكس تحت شروط حدودية للانزلاق النافي (Navier-slip) في نصف فضاء ثنائي الأبعاد، ويثبت حد تلاشي اللزوجة للنظام المقترن ضمن فضاءات سوبوليف الموائمة (conormal Sobolev spaces) متباينة الخواص.
تُبين هذه الورقة أن اشتقاق معادلة حركية اضطراب الموجات لمعادلة شرودنجر يفشل بالقرب من أوقات الانفجار ذاتي التشابه، مما يستلزم استبدالها بتسلسل من المعادلات المكافئة لمجال عشوائي محكوم بمعادلة شرودنجر غير خطية وغير ذاتية الاستقرار.
تؤسس هذه الورقة نظرية تجانس كمي عامة للمعادلات الإهليلجية ذات المعاملات المتذبذبة عند عدد لا نهائي من المقاييس، حيث تثبت نظرية تجانس نوعية، وتستنتج معدلات تقارب المثلى، وتضع تقديرات ليبشيتز داخلية وحدودية موحدة تحت فرضيات فصل المقاييس المناسبة.
تقدم هذه الورقة نهجاً جديداً لنمذجة حركة الحشود من خلال تحليل الحد الصلب لقوانين الحفظ غير المتجانسة، وإثبات تقديرات التباين الكلي (BV) الموحدة لإرساء وجود الحلول لمعادلة تفاضلية جزئية حدية مبتكرة، وتوصيف سلوكها النوعي، ومتفاوتات الإنتروبيا، والأداء العددي في بُعد واحد وبُعدين.
تثبت هذه الورقة وجود وتقارب منتظم لحل مسألة مصدر عكسية لمعادلة موجة-انتشار موجي ذات رتبة متغيرة تعتمد على الزمن في مجال أسطواني، وذلك عبر بناء الحل بواسطة متسلسلة فوريه-بيسل واستخدام طريقة فصل المتغيرات.
تقدم هذه الورقة طريقة مبتكرة لـ "تقريب تصميم الشكل" لحل المعادلات الإهليلجية والبارابولية المتدهورة، والتي نجحت في اشتقاق تقدير كارليمان للمعادلة البارابولية المتدهورة العكسية دون الحاجة إلى مشتقات من الدرجة الثانية، مما يثبت قابليتها للتحكم الصفري.
تُثبت هذه الورقة نظرية الاستمرار الفريد الضعيف الكمي للمعادلات التوازنية المتدهورة عكسياً ذات التدهور الداخلي على النطاقات الحلقية، وذلك عن طريق تقريب الحلول بنظائرها غير المتدهورة واستخلاص تقديرات كارليمان عبر منطقتين منفصلتين.
تقدم هذه الورقة طريقة مبتكرة لتفكيك المتسلسلات لحساب فئة محددة من التكاملات الخاصة، والتي تُطبق بعد ذلك لاستنتاج تقديرات زمنية نقطية مثلى متزامنة عليا وسفلى لمعادلات التطور غير الموضعية.
تقدم هذه الورقة طريقة بتر موحدة تثبت وجود عدد لا نهائي من الحلول للمسائل غير الخطية التي تفتقر إلى التماثل، وتنجح في توسيع هذه النتيجة لتشمل المعادلات التفاضلية الجزئية الإهليلجية شبه الخطية، والمعادلات التفاضلية الجزئية الإهليلجية غير التباينية ذات الاعتماد على التدرج، والأنظمة الهاملتونية الدورية على الخط الحقيقي.