2022 ورقة بحثية
تقدم هذه الورقة توصيفاً بنائياً للأنظمة المتعامدة مع مصفوفات تفاضل ثلاثية الأقطار غير متماثلة مائل (skew-symmetric)، وذلك باستخدام خوارزمية لانزوس التفاضلية، مع توسيع الإطار ليشمل الأشكال شبه الخطية (sesquilinear forms) العامة عبر خوارزمية أرنولدي التفاضلية لدعم الطرق الطيفية للمعادلات التفاضلية الجزئية المعتمدة على الزمن وحفظ طاقة هاميلتون.
تقدم هذه الورقة Compact LABFM، وهو إطار عمل جديد عديم الشبكة يستخدم قوالب ضمنية لتحقيق قدرة تحليلية شبيهة بالطيف ودقة عالية من الرتب العليا لحل المعادلات التفاضلية الجزئية في الهندسات المعقدة مع الحفاظ على نظام خطي عالمي مهيمن قطرياً.
تقترح هذه الورقة طريقة عناصر منتهية مختلطة غير منتظمة من النوع -robust مع مخطط خطوة زمنية من نوع Alikhanov لمعادلة Allen–Cahn الكسرية زمنياً، حيث تُثبت تقديرات خطأ مثلى لكل من الحل وتدفقه تحت فرضيات انتظام أضعف مع ضمان بقاء الثوابت محدودة عندما تقترب الرتبة الكسرية من 1.
تقدم هذه الورقة فئة من مكاملات "كايلي" الخالية من المبدلات والمحافظة على البنية ضمن إطار "كروتوف" للتحكم الأمثل الكمي، والتي تلغي التكلفة الحسابية لأسس المصفوفات والمبدلات مع الحفاظ على الدقة العالية، والوحدوية، والاستقرار لكل من الأنظمة الكمية الخطية وغير الخطية.
تقترح هذه الورقة إطاراً للتحكم في الخطأ لحساب تأثير الأسي للمصفوفة الناشئ عن التجزئة بالعناصر المحدودة، وذلك عبر الاستفادة من المدى العددي القابل للحساب عددياً والمحدود نظرياً لمصفوفة محولة بالتشابه للتغلب على التحديات المرتبطة بالمدى العددي للمصفوفة الأصلية الكبير أو الصعب التقدير.
تُظهر هذه الورقة أن عمليات التجزئة بالعناصر المحدودة التي تحافظ على اللولبية المحلية تمنع إعادة الاتصال الزائف وتحافظ على الطوبولوجيا المغناطيسية المعقدة أثناء الاسترخاء، في حين أن المخططات التي تفرض اللولبية العالمية فقط تسمح بمزيد من الاسترخاء من خلال إعادة الاتصال المحلي.
تقترح هذه الورقة إطار عمل تكراري موحد وغير مقيد بالمعلمات لمشكلات التلامس عديم الاحتكاك، يجمع بين تقسيم الإزاحة والقوة مع تسارع المقطع المتقاطع لتحقيق تقارب فعال باستخدام أنظمة الصلابة القياسية فقط، مما يلغي الحاجة إلى مصفوفات نقطة السرج أو المصفوفات سيئة الحالة.
تثبت هذه الورقة كفاءة مُقدِّرات الخطأ البعدية لمعادلة الحرارة المُجزأة باستخدام طريقة "أويلر" الضمنية والعناصر المحدودة المتوافقة في معيار الطاقة، مبيّنةً أن هذه الكفاءة لا تعتمد فقط على المعيار المختار، بل تعتمد أيضاً على تعريف الحل العددي باعتباره متوسط إعادة البناء المستمرة والقطع الثابتة زمنياً القياسية.
تقدم هذه الورقة بحثاً حول التجزئة بالعناصر المحدودة لمشكلات التحكم الأمثل الموزع الإهليلجية مع تتبع القيم الحدية، من خلال إعادة صياغة المشكلة في شكل متغير يعتمد على الحالة لاستخلاص تقديرات الخطأ المثلى والمحللات السريعة، والتي تم التحقق من صحتها من خلال التجارب العددية.
تقدم هذه الورقة الشبكات العصبية المستوحاة من الفيزياء العشوائية (SPINNs) كإطار عمل منهجي للتعلم العميق لتقريب الحلول للمعادلات التفاضلية العشوائية المدفوعة بضوضاء ليفي.