2022 ورقة بحثية
تقترح هذه الورقة إطار عمل موحداً للشبكات العصبية المستنيرة بالفيزياء يستخدم صيغة فقدان موزونة لحل المعادلات التفاضلية الجزئية ذات الاضطراب المنفرد بدقة عالية، والتي تتميز بطبقات حدودية حادة تصل إلى ، مما يلغي الحاجة إلى التحللات التقاربية الصريحة أو البنى المتخصصة مع تحديد مواقع الطبقات تلقائياً أثناء التدريب.
تقترح هذه الورقة وتتحقق من صحة طريقة "نيوتن شبه سلس*" (semismooth* Newton) فعالة ذات تقارب فائق (SCD) مع تقنية عولمة للحل العددي لمسألة "ستوكس" ثلاثية الأبعاد مع شروط حدودية لـ "نافييه-تريسكا" للانزلاق والالتصاق، والتي تمت صياغتها كمتراجحة تباين من النوع الثاني وتم تقريبها عبر طريقة العناصر المحدودة المختلطة.
تُظهر هذه الورقة البحثية مرونة ونمطية البنية التحتية متعددة الشبكات لمكتبة deal.II من خلال حل معادلات ستوكس الساكنة، وستوكس العابرة، ومعادلات نافييه-ستوكس غير القابلة للانضغاط باستخدام استراتيجيات تكيفية متنوعة، بما في ذلك التكيف من نوع hp، والعناصر المحدودة للزمان والمكان، والمحللات المتكاملة.
تقدم هذه الورقة نموذجاً رياضياً جديداً وخوارزمية عددية مقابلة تعتمد على طرق الفروق المحدودة وطريقة المستوى المجموع (level-set) لمحاكاة تآكل الأحجار الكربوناتية الناتج عن ذوبان حمض الكربونيك ضمن إطار تدفق دارسي، مع نتائج تتوافق مع الأدبيات الموجودة.
تثبت هذه الورقة أن مخطط الحجم المحدود المحافظ على البنية لأنظمة أويلر-نافييه-ستوكس-كورتويغ يتقارب نحو الحلول التباينية للطاقة تحت تحسين الشبكة من خلال إنشاء تقديرات موحدة والاستفادة من استقرار الصيغة التباينية للطاقة الموسعة حديثاً.
تحدد هذه الورقة نهج مجال متوسط للنقل الأمثل الديناميكي بناءً على مبدأ ماكسيم-بونترياغين المتوسط، والذي يوحد المسائل الحتمية والعشوائية من خلال إطار عمل تغايري كامل يتجنب أخذ عينات المسار العشوائي ويتصل بالمعادلات التفاضلية العشوائية الأمامية-الخلفية.
تحدد هذه الورقة معدلات التقارب لاسترداد العينات الخطية في فضاءات بوخنر المجردة باستخدام طريقة المربعات الصغرى ذات القيم الدالية، مع تطبيق هذا الإطار على المعادلات التفاضلية الجزئية البارامترية ذات المدخلات اللوغاريتمية الطبيعية والخطية لتحقيق معدلات تقارب محسنة مقارنة بالنتائج الحالية المتطورة.
تقدم هذه الورقة طريقة جديدة، مستقرة، وفعالة لحساب التفكيك الذاتي للقيم الذاتية للمصفوفات الحقيقية الطبيعية الكثيفة من خلال الاستفادة من تفكيك جزئها غير المتماثل، مما يظهر أداءً تنافسيًا مقابل الخوارزميات الحالية وقابلية للتطبيق في حسابات المركز الثقلي لـ "ريمان" على المجموعة المتعامدة الخاصة.
تقدم هذه الورقة مخططاً عددياً للحفاظ على البنية من الدرجة الثانية في الزمن لمعادلة فون نيومان (ألبر) لمحاكاة تشكل الأمواج المارقة، كاشفةً من خلال تحليل مونت كارلو أنه بينما يتنبأ الاستقرار الخطي بالنمو الأولي، فإن أقصى سعة وتشكل البنية المتماسكة في النظام غير الخطي مدفوعان أساساً بالخلفية المتجانسة بدلاً من عدم التجانس الأولي.
تقدم هذه الورقة ff-bifbox، وهي مجموعة أدوات مفتوحة المصدر وقابلة للتوسع تدمج FreeFEM وPETSc لإجراء تتبع رقمي للفروع، وتحليل الاستقرار، والتكامل الزمني للمعادلات التفاضلية الجزئية غير الخطية الكبيرة والتابعة للزمن على شبكات ثنائية وثلاثية الأبعاد ذات دقة تكيفية، والتي تم التحقق من صحتها من خلال نتائج جديدة على أنظمة بروسليتور (Brusselator)، وانبعاج الصفائح، ونظام نافييه-ستوكس القابل للانضغاط.