Estimation and inference in models with multiple behavioural equilibria

Die Autoren entwickeln Schätz- und Inferenzverfahren für ein makroökonomisches Modell mit mehreren Verhaltensgleichgewichten und konstanter Lernrate, die die starke Konsistenz und asymptotische Normalität des Schätzers sowie Konfidenzbänder für die Gleichgewichte unter Berücksichtigung nicht-standardisierter Grenzverteilungen bei wiederholten Gleichgewichtslösungen nachweisen.

Das Wesentliche

Stellen Sie sich vor, die Wirtschaft ist ein riesiges, chaotisches Orchester. Normalerweise gehen Ökonomen davon aus, dass jeder Musiker (also jeder Bürger, jedes Unternehmen) das Partiturblatt perfekt kennt und genau spielt, wie es geschrieben steht. Das nennt man „rationale Erwartungen".

Aber in der Realität ist das nicht so. Die Musiker haben keine perfekten Notenblätter. Sie hören nur, was die anderen gerade spielen, und versuchen, daraus eine Regel abzuleiten, um den nächsten Ton vorherzusagen. Manchmal glauben sie, die Melodie sei einfach und linear. Manchmal ist sie aber komplexer. Und das Schlimmste: Es kann passieren, dass das Orchester plötzlich in zwei oder mehr verschiedene, völlig unterschiedliche Melodien gerät, die alle stabil klingen, aber nichts miteinander zu tun haben.

Genau dieses Problem lösen Alexander Mayer und Davide Raggi in ihrer Arbeit. Hier ist eine einfache Erklärung ihrer Forschung, übersetzt in die Sprache des Alltags:

1. Das Problem: Das Orchester verliert den Takt

Die Autoren untersuchen einen speziellen Teil des Wirtschaftsmusikstücks: die Inflation (die Teuerung).

• Die alte Theorie: Alle wissen genau, wie die Welt funktioniert. Wenn die Noten (die Wirtschaftspolitik) stimmen, ist alles perfekt.
• Die neue Realität: Die Leute lernen nur „am Rande". Sie schauen sich die letzten Preise an und sagen: „Na ja, wenn es gestern so war, wird es heute wahrscheinlich ähnlich sein." Sie nutzen eine einfache Faustformel (ein sogenanntes AR(1)-Modell), die oft gar nicht ganz richtig ist.

Das Tückische: Weil alle diese einfache, aber fehlerhafte Regel benutzen, kann das System in mehrere stabile Zustände kippen.

• Szenario A: Alle glauben, die Preise bleiben stabil. Und weil sie das glauben, bleiben sie stabil.
• Szenario B: Alle glauben, die Preise werden explodieren. Und weil sie das glauben, explodieren sie tatsächlich.

Beide Szenarien sind möglich, aber sie sind völlig unterschiedlich. Das ist wie ein Berg, auf dem es zwei Täler gibt. Ein Ball kann in das linke Tal rollen und dort bleiben, oder in das rechte. Welches Tal er nimmt, hängt davon ab, wo er losrollt.

2. Die Lösung: Ein neuer Kompass für Ökonomen

Bisher war es für Ökonomen fast unmöglich, aus den historischen Daten zu berechnen, in welchem Tal sich das Orchester gerade befindet oder wie stark die Musiker lernen. Die Mathematik war zu kompliziert, weil das System nicht-linear ist (kleine Änderungen haben große, unvorhersehbare Effekte).

Mayer und Raggi haben nun einen neuen mathematischen Kompass entwickelt.

• Schritt 1: Der Tanz ist stabil. Zuerst beweisen sie, dass das Orchester nicht völlig verrückt spielt. Auch wenn die Musiker lernen und sich ändern, bewegt sich das System innerhalb bestimmter Grenzen. Es wird nicht chaotisch, sondern „geordnet chaotisch" (mathematisch: geometrisch ergodisch). Das bedeutet: Egal, wie das Orchester heute spielt, es wird sich früher oder später auf einen bestimmten Rhythmus einpendeln.
• Schritt 2: Den Takt finden. Sie haben eine Methode entwickelt (eine Art „Nichtlineare Kleinste-Quadrate-Methode"), um aus den vergangenen Daten herauszufinden:
  1. Wie schnell lernen die Musiker? (Wie stark gewichten sie neue Informationen?)
  2. Wie stark reagieren die Preise auf die Wirtschaftslage?
  3. Wichtig: In welchem der möglichen Täler (Gleichgewichte) befindet sich die Wirtschaft gerade?

3. Die Überraschung: Wenn es zwei Töne gleichzeitig gibt

Das Spannendste an ihrer Arbeit ist, was passiert, wenn die Wirtschaft genau auf der Kante zwischen zwei Tälern balanciert.
Stellen Sie sich vor, Sie suchen nach einem Punkt auf einer Kurve, wo die Kurve die Nulllinie berührt.

• Wenn die Kurve die Linie schneidet, ist das einfach zu finden.
• Wenn die Kurve die Linie aber nur berührt (wie eine Kugel, die oben auf einem Hügel balanciert), wird es mathematisch sehr tricky.

Die Autoren zeigen: In diesem Fall ist es extrem schwer, genau zu sagen, wo der Punkt ist. Die Schätzung wird langsamer und unsicherer. Aber sie haben auch eine Lösung dafür: Sie können Bereiche (Konfidenzbanden) berechnen, in denen sich die Wahrheit mit hoher Wahrscheinlichkeit befindet. Es ist wie bei einer Wettervorhersage: „Es wird nicht genau 20 Grad, aber mit 95% Wahrscheinlichkeit zwischen 18 und 22 Grad."

4. Der Test: Die USA als Labor

Um zu beweisen, dass ihre Methode funktioniert, haben sie echte Daten aus den USA (von 1960 bis 2019) analysiert.

• Ergebnis: Je nachdem, welche Daten man nimmt (z.B. Lücken in der Produktion vs. Lohnkosten), sieht die Welt unterschiedlich aus.
• Mit einer Messgröße fanden sie drei mögliche stabile Zustände der Inflationserwartungen.
• Mit einer anderen Messgröße fand man nur einen.

Das zeigt: Die Wirtschaft ist nicht starr. Je nachdem, wie die Leute ihre Daten interpretieren, kann sich die ganze Wirtschaft in einem anderen „Glaubensregime" befinden.

Fazit: Warum ist das wichtig?

Stellen Sie sich vor, Sie sind der Dirigent (die Zentralbank). Wenn Sie nicht wissen, in welchem Tal das Orchester spielt, können Sie die falschen Signale geben.

• Glauben Sie, das Orchester ist stabil, aber es ist eigentlich instabil? Dann könnten Ihre Maßnahmen die Inflation aus dem Ruder laufen lassen.
• Glauben Sie, es gibt nur eine stabile Melodie, aber es gibt drei? Dann wundern Sie sich, warum Ihre Politik manchmal wirkt und manchmal nicht.

Diese Arbeit gibt den Dirigenten endlich ein Werkzeug an die Hand, um zu erkennen:

1. Wie schnell die Musiker lernen.
2. Ob wir in einem stabilen oder einem instabilen Zustand sind.
3. Wie unsicher unsere Vorhersagen sind, besonders wenn die Wirtschaft an der Grenze zwischen zwei Welten steht.

Kurz gesagt: Sie haben die Mathematik dahinter geliefert, um das „Blindenfieber" der Wirtschaftsvorhersagen zu verstehen und zu messen, statt es einfach zu ignorieren.

Technische Zusammenfassung

Hier ist eine detaillierte technische Zusammenfassung des Papiers „Estimation and inference in models with multiple behavioural equilibria" von Alexander Mayer und Davide Raggi auf Deutsch.

1. Problemstellung und Motivation

Das Papier adressiert die ökonometrische Herausforderung der Schätzung und Inferenz in makroökonomischen Modellen, die multiple Verhaltensgleichgewichte (behavioural equilibria) aufweisen und in denen Akteure ihre Erwartungen mittels eines adaptiven Lernprozesses (adaptive learning) bilden.

• Hintergrund: Das klassische Rational Expectations (RE)-Paradigma wird zunehmend durch Modelle mit begrenzter Rationalität (bounded rationality) ergänzt. In diesen Modellen behandeln Agenten sich wie Statistiker, die ein vereinfachtes, oft fehlspezifiziertes Modell (Perceived Law of Motion, PLM) verwenden, um Erwartungen zu bilden.
• Spezifisches Modell: Die Autoren betrachten eine New-Keynesianische Phillips-Kurve (NKPC), in der Agenten die Inflationsdynamik fälschlicherweise als AR(1)-Prozess modellieren, obwohl die wahre Dynamik komplexer ist.
• Das Kernproblem: Durch die nichtlineare Interaktion zwischen den Lernregeln der Agenten und der tatsächlichen Wirtschaftsdynamik (Actual Law of Motion, ALM) können multiple Gleichgewichte entstehen. Diese sind Fixpunkte der erwarteten Dynamik, die nicht notwendigerweise mit dem rationalen Erwartungsgleichgewicht übereinstimmen.
• Herausforderung für die Ökonometrie:
  1. Die Dynamik ist hochgradig nichtlinear und nicht stationär im klassischen Sinne, was die Etablierung stochastischer Eigenschaften (wie Ergodizität) erschwert.
  2. Bei Vorhandensein mehrerer Gleichgewichte können Standard-Asymptotiken versagen, insbesondere wenn Gleichgewichtslösungen mehrfach auftreten (repeated roots).
  3. Es gibt bisher kaum theoretische Grundlagen für die Eigenschaften von Schätzern (wie der nichtlinearen Kleinsten-Quadrate-Methode, NLS) in diesem Kontext.

2. Methodik

Die Autoren entwickeln einen rigorosen theoretischen Rahmen, der auf der Analyse nichtlinearer Zeitreihenmodelle und Markov-Ketten basiert.

A. Modellierung und Daten generierender Prozess (DGP)

• PLM: Agenten schätzen einen AR(1)-Prozess für die Inflation $\pi_t$ mit Parametern $(\alpha, \beta)$ unter Verwendung eines konstanten Gain-Lernens (constant-gain learning, $\gamma > 0$).
• ALM: Die tatsächliche Inflation folgt einer nichtlinearen Funktion der geschätzten Parameter und der Wirtschaftslage (Output Gap).
• Zustandsvektor: Der DGP wird als 5-dimensionaler nichtlinearer Markov-Zustandsvektor $s_t = (\pi_t, \alpha_t, y_t, \beta_t, r_t)^\top$ formuliert, wobei $r_t$ ein Hilfsparameter für die Varianzschätzung ist.

B. Stochastische Eigenschaften (Ergodizität)

• Geometrische Ergodizität: Ein zentraler Schritt ist der Beweis, dass der Prozess $s_t$ geometrisch ergodisch ist. Dies garantiert, dass das System unabhängig von den Anfangswerten zu einer eindeutigen stationären Verteilung konvergiert.
• Technische Neuheit: Herkömmliche Ergebnisse (z. B. Tong, 1990; Straumann & Mikosch, 2006) sind nicht direkt anwendbar, da die zugrundeliegende Differenzengleichung keine Lipschitz-Bedingung erfüllt (aufgrund der nichtlinearen Abhängigkeit von $\beta_t$). Die Autoren leiten die Eigenschaften daher aus ersten Prinzipien ab, indem sie eine Drift-Bedingung (Lyapunov-Foster) konstruieren und die Irreduzibilität sowie Aperiodizität des Markov-Prozesses nachweisen.

C. Schätzung (NLS)

• Schätzer: Die strukturellen Parameter $\theta = (\gamma, \delta, \psi)^\top$ werden mittels Nichtlinearer Kleinsten-Quadrate (NLS) geschätzt.
• Identifikation: Die Autoren zeigen, dass der Parameter $\gamma$ (Lernrate) nur gemeinsam mit $\delta$ identifiziert ist. Falls $\delta = 0$, ist $\gamma$ ein nicht identifizierter Störparameter (nuisance parameter).
• Konsistenz: Unter den Annahmen der Ergodizität und geeigneter Momentenbedingungen wird die starke Konsistenz des NLS-Schätzers bewiesen.
• Asymptotische Normalität: Für den Fall $\delta \neq 0$ wird die asymptotische Normalverteilung des Schätzers mit der üblichen $\sqrt{n}$-Konvergenzrate hergeleitet.

D. Inferenz bei multiplen Gleichgewichten

• Wurzelanalyse: Die Gleichgewichte $\beta$ sind die Nullstellen einer Funktion $G(\beta; \lambda) = 0$.
• Einfache vs. Mehrfache Wurzeln:
  • Bei einfachen Wurzeln (unique or simple roots) konvergiert der Schätzer mit Rate $\sqrt{n}$ und ist asymptotisch normal.
  • Bei mehrfachen Wurzeln (repeated roots, z. B. wenn $G(\beta)$ die Achse nur berührt) bricht die Standardtheorie zusammen. Die Konvergenzrate verlangsamt sich auf $n^{1/4}$, und die asymptotische Verteilung ist nicht normal, sondern hängt von der Verteilung eines Gauß-Prozesses ab.
• Inferenzverfahren:
  • Für strukturelle Parameter werden Wald-Tests und ein Supremum-F-Test (ähnlich Hansen, 1996a) für den Fall $\delta=0$ vorgeschlagen.
  • Für die Gleichgewichte werden uniforme Konfidenzbänder für die Funktion $G(\beta)$ entwickelt. Da die asymptotische Verteilung nicht pivotal ist, wird ein Gauß-Multiplikator-Bootstrap (Gaussian multiplier bootstrap) verwendet, um kritische Werte zu berechnen.

3. Wichtige Ergebnisse

1. Geometrische Ergodizität: Der DGP mit konstantem Gain-Lernen ist geometrisch ergodisch, was die Anwendbarkeit von Gesetz der großen Zahlen (LLN) und Zentralen Grenzwertsätzen (CLT) rechtfertigt.
2. Konsistenz und Normalität: Der NLS-Schätzer für die strukturellen Parameter ist stark konsistent und asymptotisch normalverteilt, sofern $\delta \neq 0$.
3. Spezialfall $\delta = 0$: Falls $\delta = 0$, ist $\gamma$ nicht identifiziert. Dennoch bleiben die Schätzer für $\delta$ und $\psi$ $\sqrt{n}$-konsistent. Ein spezieller Test (Sup-F) wird für diese Grenze entwickelt.
4. Verhalten bei multiplen Gleichgewichten:
   • Die Anzahl der Gleichgewichte ist im Allgemeinen nicht konsistent schätzbar, wenn sich das wahre Gleichgewicht im mehrfachen Fall befindet (die geschätzte Anzahl oszilliert asymptotisch zwischen $r_0-1$ und $r_0+1$).
   • Die Schätzer für die Lage der mehrfachen Gleichgewichte konvergieren mit der langsameren Rate $n^{1/4}$.
   • Ein Mittelwert der beiden geschätzten Wurzeln bei einem mehrfachen Gleichgewicht eliminiert den führenden Bias-Term und verbessert die Performance.
5. Empirische Anwendung (USA):
   • Anwendung auf US-Inflationsdaten (1960–2019).
   • Zwei Spezifikationen wurden getestet: Output-Lücke und reale Lohnstückkosten.
   • Ergebnis: Bei Verwendung der Output-Lücke werden drei Verhaltensgleichgewichte identifiziert (niedrige, mittlere und hohe Persistenz). Bei Verwendung der Lohnstückkosten nur ein einziges Gleichgewicht.
   • Dies deutet darauf hin, dass die Persistenz der treibenden Variablen ($\rho$) entscheidend für die Existenz multipler Gleichgewichte ist.

4. Bedeutung und Beitrag

• Theoretischer Fortschritt: Das Papier schließt eine Lücke in der ökonometrischen Literatur, indem es die ersten rigorosen Eigenschaften für Schätzer in nichtlinearen Lernmodellen mit multiplen Gleichgewichten herleitet. Es zeigt explizit, wann und warum Standard-Asymptotiken versagen.
• Methodische Innovation: Die Entwicklung von Inferenzverfahren für den Fall mehrfacher Wurzeln (mit $n^{1/4}$-Konvergenz und nicht-standardisierten Verteilungen) sowie die Konstruktion uniformer Konfidenzbänder für Gleichgewichtsfunktionen sind methodische Durchbrüche.
• Praktische Relevanz: Die empirische Anwendung demonstriert, wie die vorgeschlagenen Methoden genutzt werden können, um Unsicherheiten über die Lage von Gleichgewichten und Lernregime in der realen Wirtschaft zu quantifizieren. Die Ergebnisse unterstützen die Existenz von „Anker-Erwartungen" (niedrige Persistenz) und „beschleunigenden" Regimen (hohe Persistenz) in den US-Daten.
• Robustheit: Die Monte-Carlo-Simulationen bestätigen, dass die Schätzer auch in endlichen Stichproben gut funktionieren und die Konfidenzbänder eine angemessene Abdeckung bieten, auch wenn die Anzahl der Wurzeln schwankt.

Zusammenfassend liefert das Papier ein umfassendes Werkzeugset für die Analyse von makroökonomischen Modellen, in denen begrenzte Rationalität und adaptive Erwartungen zu komplexen, nichtlinearen Dynamiken mit mehreren möglichen Gleichgewichtszuständen führen.