Varying risk exposure in auto insurance: a weighted tweedie framework for experience rating an cancellation penalties

Diese Arbeit stellt ein neues gewichtetes Tweedie-Modell für das Erfahrungsraten vor, das durch die Einführung flexibler Gewichtungsfunktionen und einer kündigungsbasierten Prämienstrafe die unterschiedliche Risikobloßstellung von Versicherungsnehmern, die ihre Police vorzeitig kündigen, im Vergleich zu solchen mit vollständiger Laufzeit berücksichtigt und so eine statistisch konsistente sowie wettbewerbsfähige Risikoprämierung ermöglicht.

Das Wesentliche

🚗 Das Problem: Warum ist ein halbes Jahr Versicherung teurer als gedacht?

Stellen Sie sich vor, Sie mieten eine Wohnung für ein Jahr. Wenn Sie nach drei Monaten wieder ausziehen, erwartet der Vermieter, dass Sie nur ein Viertel der Miete zahlen. Das ist fair, oder?

In der Kfz-Versicherung ist das ähnlich, aber es gibt einen großen Haken:
Manche Leute kündigen ihre Versicherung mitten im Jahr, weil sie ein schweres Unfallschaden hatten (z. B. das Auto ist total abgeschrieben) und ein neues Auto kaufen. Andere kündigen, weil sie das Auto verkaufen.

Die Forscher haben in Kanada Daten von über zwei Millionen Autos analysiert und eine schockierende Entdeckung gemacht:
Die Leute, die mitten im Jahr kündigen, sind oft viel riskanter als die, die das ganze Jahr durchfahren. Sie haben öfter Unfälle und verursachen höhere Schäden.

Das Dilemma:
Wenn die Versicherung einfach nur die Zeit berechnet (z. B. 3 Monate = 25 % der Jahresprämie), dann zahlen die riskanten Fahrer, die früh kündigen, zu wenig. Die Versicherung verliert Geld, und die ehrlichen Fahrer, die das ganze Jahr durchfahren, müssen quasi für die anderen mitbezahlen. Das ist wie bei einem Buffet: Wenn jemand nur eine kleine Portion nimmt, aber dafür bezahlt, als hätte er den ganzen Tisch geplündert, ist das unfair für alle anderen.

💡 Die Lösung: Ein intelligenter "Kündigungs-Aufschlag"

Die Autoren (Jean-Philippe Boucher und Kollegen) schlagen ein neues System vor. Statt einer starren Rechnung nutzen sie ein mathematisches Werkzeug namens Tweedie-Modell (klingt kompliziert, ist aber im Grunde ein sehr schlauer Rechner).

Stellen Sie sich das wie einen Drehregler vor:

1. Der alte Weg (Linear): Wenn Sie 50 % der Zeit fahren, zahlen Sie 50 % des Preises. Egal, ob Sie 50 % der Zeit nur langsam gefahren sind oder 50 % der Zeit Raserei betrieben haben.
2. Der neue Weg (Flexibel): Der Rechner schaut sich an, wie lange Sie gefahren sind, aber auch wie riskant diese Zeit war.

Das System führt eine Strafgebühr (Penalty) ein. Wenn Sie mitten im Jahr kündigen, zahlen Sie nicht nur den anteiligen Preis, sondern einen kleinen Aufschlag.

• Warum? Weil die Daten zeigen, dass Leute, die früh kündigen, oft gerade einen großen Unfall hatten. Dieser Aufschlag holt einen Teil der Kosten für diesen Unfall zurück.
• Der Clou: Da die Versicherung durch diesen Aufschlag mehr Geld von den Kündigern bekommt, kann sie den Jahrespreis für alle anderen senken. Die ehrlichen Fahrer, die das ganze Jahr durchfahren, profitieren also!

🎨 Die Analogie: Der "Schneeball-Effekt"

Stellen Sie sich vor, Sie bauen einen Schneemann.

• Der alte Ansatz: Wenn Sie nur eine Stunde Zeit haben, bauen Sie einen winzigen Schneemann und zahlen dafür 10 €. Wenn Sie einen ganzen Tag haben, bauen Sie einen großen und zahlen 100 €.
• Das neue System: Die Forscher sagen: "Moment mal! Die Leute, die nur eine Stunde Zeit haben, bauen oft einen sehr wackeligen Schneemann, der sofort umfällt (Unfall). Wenn sie gehen, hinterlassen sie ein Chaos."
• Also sagen sie: "Wenn du nach einer Stunde gehst, zahlst du nicht nur für die Stunde, sondern auch einen kleinen 'Aufräum-Aufschlag'."
• Das Ergebnis: Die Leute, die den ganzen Tag bleiben und einen stabilen Schneemann bauen, müssen weniger zahlen, weil die "Aufräum-Gebühren" der anderen die Kosten decken.

🛠️ Wie funktioniert das technisch? (Ganz einfach)

Die Wissenschaftler haben drei verschiedene Methoden getestet, wie man diesen "Aufschlag" berechnet:

1. Konstant: Jeder zahlt gleich viel, egal wie lange er fährt (wie eine Flatrate).
2. Gamma: Der Aufschlag steigt, je länger man fährt.
3. Exponiert (Der Gewinner): Eine Mischung aus beidem, die sich an die Daten anpasst.

Sie haben festgestellt, dass die dritte Methode am besten funktioniert. Sie passt sich so an, dass sie fair ist, aber auch die Versicherung vor Verlusten schützt.

📉 Was bedeutet das für Sie?

1. Fairness: Die Versicherung wird fairer. Wer ein Risiko eingeht und dann kündigt, zahlt mehr dafür. Wer treu bleibt, zahlt weniger.
2. Transparenz: Die Versicherung muss im Vertrag klar sagen: "Wenn Sie mitten im Jahr kündigen, fällt ein kleiner Aufschlag an." Das ist erlaubt, solange es im Vertrag steht.
3. Wettbewerb: Versicherungen, die dieses System nutzen, können ihre Jahrespreise senken und damit wettbewerbsfähiger werden, ohne Geld zu verlieren.

Fazit

Die Forscher haben im Grunde gesagt: "Wir dürfen nicht blindlings annehmen, dass ein halbes Jahr Versicherung genau die Hälfte kostet."

Manche halben Jahre sind voller Risiko. Mit ihrem neuen "intelligenten Rechner" können Versicherungen diese Risiken besser einkalkulieren, indem sie eine kleine Gebühr für vorzeitige Kündigungen verlangen. Das schützt die Versicherung, belohnt die treuen Kunden und sorgt dafür, dass am Ende alle besser dastehen.

Es ist wie bei einem Fitnessstudio: Wenn jemand nur einen Monat läuft und dann aufgibt, weil er sich verletzt hat (oder weil er merkt, dass er es nicht durchzieht), sollte er vielleicht etwas mehr zahlen als jemand, der einfach nur die Hälfte der Zeit kommt. So bleibt das Studio für alle anderen bezahlbar.

Technische Zusammenfassung

Titel

Variierende Risikobelastung in der Kfz-Versicherung: Ein gewichtetes Tweedie-Framework für Erfahrungstarifierung und Kündigungsstrafen

1. Problemstellung

In der Kfz-Versicherung werden Verträge typischerweise für ein Jahr abgeschlossen. Während die meisten Änderungen zum Verlängerungszeitpunkt erfolgen, sind mittelfristige Kündigungen (vor Ablauf der Vertragslaufzeit) in Nordamerika häufig. Diese werden oft durch den Verkauf des Fahrzeugs, einen Totalschaden (Fahrzeugwechsel) oder den Wechsel zu einem günstigeren Anbieter ausgelöst.

Das zentrale Problem besteht darin, dass traditionelle Tarifierungsmodelle eine lineare Proportionalität zwischen der Risikobelastung (Exposure $t$) und dem erwarteten Schaden ausgeben. Die Standardformel lautet:
$$\mu = t \cdot \exp\{x^\top \beta\}$$
Dabei wird angenommen, dass die Prämie linear mit der verbleibenden Laufzeit skaliert.

Die Autoren zeigen jedoch anhand empirischer Daten, dass diese Annahme zu restriktiv ist:

• Verträge, die mittelfristig gekündigt werden (insbesondere nach schweren Schäden), weisen eine höhere Schadenfrequenz und -schwere auf als Verträge, die bis zum Ende laufen.
• Die Beziehung zwischen Exposure und Schadenkosten ist nicht linear; traditionelle Modelle unterschätzen die erwarteten Kosten bei kurzen Laufzeiten.
• Es besteht eine strategische Lücke: Versicherer können große Verluste indirekt über eine Kündigungsstrafe (Surcharge) kompensieren, um die Prämien für Kunden, die das gesamte Jahr versichert bleiben, wettbewerbsfähig zu halten.

2. Methodik

Das Paper schlägt ein neues Framework vor, das auf der Tweedie-Verteilung basiert, jedoch die starre Proportionalitätsannahme aufweicht.

A. Flexible Mittelwert-Spezifikation

Statt $\mu = t \cdot \exp\{x^\top \beta\}$ wird eine flexible Funktion eingeführt:
$$\mu = \gamma(t) \cdot \exp\{x^\top \beta\}$$
Hierbei ist $\gamma(t)$ eine glatte Funktion (geschätzt mittels Generalized Additive Models, GAMs mit Spline-Basen), die die Abweichungen von der Linearität abbildet. Dies ermöglicht eine differenzierte Behandlung von Kündigungen.

B. Gewichtungsfunktionen (Weighting Schemes)

Innerhalb des Tweedie-Rahmens ($Y \sim \text{Tweedie}(\mu, w, \phi, p)$) werden drei Varianten zur Spezifikation des Gewichtsparameters $w$ verglichen:

1. Constant-Weight Model (CWM): $w = 1$ (Verallgemeinerung des Offset-Ansatzes).
2. Gamma-Weight Model (GWM): $w = \gamma(t)^{p-1}$ (Verallgemeinerung des Ratio-Ansatzes, wobei das Gewicht in die Poisson-Komponente der zusammengesetzten Poisson-Gamma-Darstellung eingeht).
3. Exposure-Weighted Model (EWM): $w = t^{p-1}$ (Beibehaltung der klassischen Gewichtung, aber mit flexibler Mittelwertfunktion).

C. Kündigungsstrafen und Randbedingungen

Die Differenz zwischen dem flexiblen Modell und der linearen Proportionalität definiert die Kündigungsstrafe $\rho(t)$:
$$\rho(t) = \pi_{\text{Flex}} (\gamma(t) - t)$$
Um die Modelle praxistauglich zu machen, werden zwei Constraints auf die Funktion $\gamma(t)$ angewendet:

• (C1) Monotonie: $\gamma(t)$ muss monoton steigend sein (die Rückerstattung nimmt mit der Zeit ab).
• (C2) Nicht-Negativität der Strafe: $\rho(t) \ge 0$ (die Prämie für eine Teilzeitdeckung darf nicht unter dem linearen Benchmark liegen).

Da die rein empirisch geschätzte Funktion $\gamma(t)$ diese Bedingungen verletzen kann, wird eine glättende Transformation $\gamma_{\text{adj}}(t, a)$ vorgeschlagen, die einen Parameter $a \in [0, 1]$ einführt, um die Härte der Strafe zu steuern.

D. Modellselektion

Die Modelle werden nicht nur mittels Deviance verglichen, sondern auch durch:

• ABC-Kriterium (Area Between Curves): Basierend auf Konzentrations- und Lorenz-Kurven zur Bewertung der lokalen Balance.
• Murphy-Diagramme: Basierend auf Bregman-Dominanz, um die Vorhersagegüte über die gesamte Klasse von Verlustfunktionen zu bewerten.

3. Wichtige Beiträge

1. Theoretische Verallgemeinerung: Das Paper löst die starre Annahme der Proportionalität zwischen Prämie und Exposure auf und beweist die Konsistenz der Schätzer unter flexiblen Spezifikationen (im Gegensatz zu traditionellen Methoden, die nur konsistent sind, wenn die wahre Beziehung linear ist).
2. Strategische Kündigungsstrafen: Es wird ein Mechanismus entwickelt, der es Versicherern erlaubt, mittelfristige Kündigungen (oft ausgelöst durch schwere Schäden) durch höhere Prämien zu bestrafen. Dies ermöglicht eine indirekte Kostendeckung für Großschäden und senkt gleichzeitig die Jahresprämie für treue Kunden.
3. Heterogenität durch BMS-Level: Die Autoren zeigen, dass die Straffunktion $\gamma(t)$ nicht für alle Kunden gleich sein sollte. Durch Gruppierung nach dem Bonus-Malus-System (BMS)-Level (z.B. neue/riskante vs. erfahrene/sichere Fahrer) können unterschiedliche Spline-Funktionen geschätzt werden, was zu einer faireren und profitableren Risikoselektion führt.
4. Iterativer Schätzalgorithmus: Für das Gamma-Weight-Model (GWM), bei dem die Gewichte von der zu schätzenden Funktion abhängen, wird ein stabiler iterativer Algorithmus vorgestellt.

4. Ergebnisse

Die Analyse basiert auf einem Datensatz eines kanadischen Versicherers (über 2 Millionen Verträge, 13 Jahre).

• Empirische Evidenz: Kunden, die mittelfristig kündigen (XO-Typ), haben eine signifikant höhere Schadenfrequenz und -schwere als Kunden, die den Vertrag durchhalten (XX-Typ).
• Modellperformance:
  • Alle flexiblen Modelle (CWM, GWM, EWM) übertrumpfen das traditionelle lineare Modell deutlich (niedrigere Deviance auf Trainings- und Testdaten).
  • Das Exposure-Weighted Model (EWM) erzielt die besten Ergebnisse bei der Deviance und den ABC-Metriken.
  • Die Modelle leiden nicht unter Overfitting (kleine Lücke zwischen Trainings- und Test-Deviance).
• Auswirkung der Constraints: Die Anwendung der Constraints (C1, C2) und der Glättungsparameter $a$ führt zu einer leichten Verschlechterung der statistischen Güte (im Vergleich zum unbeschränkten Modell), verbessert aber die operative Umsetzbarkeit. Ein Wert von $a=100\%$ (volle Strafe) bietet die beste Vorhersageleistung.
• Wettbewerbsvorteil: Durch die Einführung von Kündigungsstrafen kann das Modell die Jahresprämie für Volljahreskunden um bis zu 25% senken (bei bestimmten Risikoprofilen), während die Gesamteinnahmen des Portfolios durch die Strafen für Kündiger stabil bleiben oder steigen.
• BMS-Gruppierung: Die Trennung nach BMS-Level zeigt, dass für neue/riskante Kunden (Gruppe 2) eine steilere Strafkurve gerechtfertigt ist, da diese häufiger mittelfristig kündigen.

5. Bedeutung und Fazit

Das Paper liefert einen wichtigen Beitrag zur modernen Tarifierung, indem es die oft ignorierte Dynamik mittelfristiger Kündigungen in das Risikomodell integriert.

• Aktuarielle Kohärenz: Es wird gezeigt, wie man statistische Konsistenz mit praktischen Anforderungen (Transparenz, Regulierung) in Einklang bringt.
• Risikoselektion: Das Modell hilft, "schlechte Risiken" (die nach einem Schaden kündigen) durch höhere Strafen zu identifizieren und zu bestrafen, was die Cross-Subventionierung durch "gute Risiken" reduziert.
• Zukunftsperspektive: Die vorgeschlagene Methode ist skalierbar und kann auf weitere Kovariaten erweitert werden, um die Heterogenität der Kündigungsverhalten noch präziser abzubilden.

Zusammenfassend bietet das vorgestellte Framework einen Weg, um die Prämienstruktur realistischer zu gestalten, die Profitabilität zu steigern und gleichzeitig faire Prämien für treue Kunden zu gewährleisten, indem die "versteckten" Kosten von Kündigungen explizit modelliert werden.