Robust Testing Of the Allais Paradox By Paired Choices vs. Paired Valuations

Diese Studie widerlegt die Behauptung, dass Paarwahltests des Allais-Paradoxons strukturell verzerrt seien, indem sie nachweist, dass Bewertungstests unter stochastischen Wahlannahmen inhärent verzerrt sind, während ein „starker" Paarwahltest das weit verbreitete Phänomen des Common-Ratio-Effekts robust bestätigt.

Das Wesentliche

Der große Streit um die "Allais-Paradoxie": Zählen oder Schätzen?

Stell dir vor, du bist ein Detektiv, der herausfinden will, ob Menschen wirklich rational entscheiden oder ob sie manchmal verrückt spielen. Das Thema ist das Allais-Paradoxon (oder genauer: der "Common Ratio Effect").

Die Grundidee:
Normalerweise sagen wir: Wenn du lieber einen sicheren Apfel (A) als eine unsichere Chance auf eine große Apfelernte (B) willst, dann solltest du auch lieber einen kleinen Apfel (C) als eine kleine Chance auf eine große Ernte (D) wollen.
Aber viele Menschen machen genau das Gegenteil: Sie wollen den sicheren Apfel, aber bei den kleinen Chancen nehmen sie lieber das Risiko. Das ist das Paradoxon.

Bisher haben Forscher das so getestet: Sie haben Tausende von Leuten gefragt: "Wählst du A oder B?" und "Wählst du C oder D?". Wenn mehr als die Hälfte A wählt, aber weniger als die Hälfte C wählt, sagen sie: "Aha! Die Menschen sind irrational!"

Das neue Problem:
Eine Gruppe von Forschern (MNOSS) kam und sagte: "Moment mal! Das ist unfair. Menschen machen Fehler oder sind einfach unentschlossen. Wenn man zufällige Fehler zulässt, sieht es so aus, als wären sie irrational, obwohl sie es gar nicht sind. Sie schlugen eine neue Methode vor: Statt zu fragen 'Was wählst du?', fragten sie 'Wie viel Geld würdest du für diesen Apfel geben?' (eine Bewertung/Valuation). Mit dieser neuen Methode fanden sie heraus: Die Menschen sind eigentlich ganz rational! Das Paradoxon existiert gar nicht."

Die Reaktion der Autoren dieses Papiers:
Echenique und Tserenjigmid sagen: "Halt! Da ist etwas faul an eurer neuen Methode. Wir haben bewiesen, dass eure 'Bewertungsmethode' genauso fehlerhaft ist wie die alte, nur auf eine andere Weise. Wenn wir die alte Methode aber richtig anwenden, finden wir das Paradoxon immer noch überall."

Hier ist die Erklärung ihrer Argumente mit einfachen Bildern:

1. Die alte Methode: Der "Zähl-Test" (Paired Choice)

Stell dir vor, du hast eine Waage.

• Der schwache Test (Weak Test): Du zählst nur, wie oft A gewählt wurde. Wenn 60% A wählen und 40% B, sagst du: "A ist besser."
• Das Problem: Wenn die Menschen zufällig wählen (wie beim Würfeln), kann es passieren, dass sie A öfter wählen als B, aber bei der zweiten Aufgabe (C vs. D) das Verhältnis verzerrt wird. Die Gegner sagten: "Das ist ein Messfehler!"

2. Die neue Methode: Der "Schätz-Test" (Valuation)

Statt zu wählen, sollen die Leute sagen: "Wie viel Euro ist dieser unsichere Apfel wert?"

• Die Gegner sagten: "Wenn wir den Durchschnittswert berechnen, sehen wir keine Verzerrung."
• Die Kritik der Autoren: Das ist wie wenn du versuchst, die Temperatur eines Raumes zu messen, indem du fragst: "Wie heiß ist es?" und die Leute antworten: "Ganz genau 20 Grad" oder "Ganz genau 25 Grad". Aber wenn die Leute unterschiedliche Thermometer haben (unterschiedliche Risikobereitschaft) und das Thermometer manchmal wackelt (Fehler), dann ist der Durchschnittswert völlig wertlos.
• Die Metapher: Stell dir vor, du willst wissen, ob ein Berg höher ist als ein Hügel.
  • Die alte Methode fragt: "Werft ihr den Ball über den Berg?" (Ja/Nein).
  • Die neue Methode fragt: "Wie hoch schätzt ihr den Berg?"
  • Die Autoren sagen: Wenn die Leute beim Schätzen unterschiedliche Maßstäbe haben (manche messen in Metern, manche in Fuß) und ihre Augen wackeln, dann ist der Durchschnitt der Schätzungen völlig nutzlos. Man kann alles beweisen, was man will ("Anything goes").

3. Die Lösung: Der "Starke Zähl-Test" (Strong Paired Choice)

Die Autoren sagen: "Wir müssen den alten Zähl-Test retten, aber wir müssen ihn strenger machen."

Statt nur zu zählen, wer gewinnt, fragen wir: "Ist die Wahrscheinlichkeit, dass A gewählt wird, größer als 50%?"

• Wenn mehr als die Hälfte der Leute A wählen, dann mögen sie A wirklich.
• Wenn weniger als die Hälfte C wählen, dann mögen sie C nicht wirklich.

Das ist wie bei einer Wahl: Wenn 60% für Partei A stimmen und 40% für Partei B, dann hat Partei A gewonnen. Es ist egal, ob es ein paar zufällige Stimmen gab. Solange die Mehrheit klar ist, ist das Ergebnis gültig.

Warum ist das besser?
Die Autoren beweisen mathematisch, dass dieser "starke Test" (Mehrheit > 50%) unter fast allen vernünftigen Annahmen über menschliches Verhalten immer fair ist. Er wird nicht durch zufällige Fehler oder unterschiedliche Risikobereitschaft der Leute in die Irre geführt.

4. Das Ergebnis: Das Paradoxon lebt!

Als die Autoren ihre Daten mit diesem "starken Test" neu analysierten, passierte Folgendes:

• Die Gegner sagten: "Es gibt kein Paradoxon."
• Die Autoren sagten: "Doch! Wenn wir die Daten richtig lesen, sehen wir, dass über 40% der Studien zeigen, dass Menschen das Paradoxon erleben. Bei den Daten der Gegner selbst sind es immer noch 10%."

Es ist wie bei einem Wetterbericht:

• Die Gegner sagten: "Es regnet nicht, weil wir die Wolken gemessen haben und sie nicht dunkel genug waren."
• Die Autoren sagen: "Schaut auf den Boden! Die Leute sind nass. Der starke Test (nasse Schuhe) zeigt eindeutig, dass es regnet."

Fazit für den Alltag

Die Botschaft dieses Papiers ist:

1. Vorsicht bei neuen Methoden: Nur weil eine neue Methode (Bewertungen statt Wahlen) anders aussieht, heißt das nicht, dass sie besser ist. Sie kann neue, versteckte Fehler haben.
2. Einfache Regeln funktionieren: Manchmal ist der einfachste Weg der beste. Wenn die Mehrheit der Menschen eine Entscheidung trifft, ist das ein starkes Signal, auch wenn sie nicht perfekt sind.
3. Menschen sind vorhersehbar verrückt: Das Allais-Paradoxon (dass wir uns bei kleinen und großen Risiken anders verhalten) ist kein Messfehler. Es ist ein echtes, weit verbreitetes Phänomen, das wir verstehen müssen, um Wirtschaft und Psychologie besser zu verstehen.

Kurz gesagt: Die Autoren haben gezeigt, dass die "neue Art zu messen" (Bewertungen) trügerisch ist und dass die "alte Art" (Wahlen), wenn man sie richtig anwendet, immer noch beweist, dass wir Menschen bei Risiken oft unsere eigene Logik brechen.

Technische Zusammenfassung

1. Problemstellung und Hintergrund

Das Paper adressiert ein zentrales methodisches Problem in der experimentellen Wirtschaftsforschung: die robuste Testung des Allais-Paradoxons (insbesondere des Common Ratio Effect, CRE) unter Berücksichtigung von stochastischen (zufälligen) Entscheidungen.

• Hintergrund: Der Common Ratio Effect beschreibt ein Phänomen, bei dem Entscheidungsträger eine sichere Option $A$ gegenüber einer riskanten Option $B$ bevorzugen, aber bei skalierten Versionen derselben Lotterien ($C$ und $D$) die Präferenz umkehren und $D$ über $C$ wählen. Dies widerspricht dem Erwartungsnutzentheorem (Expected Utility Theory, EU).
• Das Dilemma: McGranaghan et al. [2024] (im Folgenden MNOSS) argumentierten, dass herkömmliche Tests auf Basis von gepaarten Wahlen (Paired Choice Tests) bei stochastischem Verhalten strukturell verzerrt (biased) seien. Sie schlugen stattdessen gepaarte Bewertungen (Paired Valuation Tests, z.B. das Erheben von Sicherheitsäquivalenten) als robustere Alternative vor.
• Die Behauptung von MNOSS: MNOSS fanden mit ihren Valuationstests keine systematischen Belege für den Common Ratio Effect und stellten damit einen Großteil der bisherigen empirischen Literatur in Frage, die den Effekt als weit verbreitet ansieht.
• Die Fragestellung der Autoren: Eichenique und Tserenjigmid untersuchen, ob die Schlussfolgerungen von MNOSS haltbar sind, wenn man verschiedene Modelle stochastischer Wahl (Stochastic Choice Models) und die zugrundeliegenden Annahmen über Rauschen und Heterogenität kritisch analysiert.

2. Methodik und Theoretischer Rahmen

Die Autoren vergleichen verschiedene Testverfahren unter unterschiedlichen Modellen stochastischer Präferenzen.

A. Testverfahren

1. Schwacher gepaarter Wahltest (Weak Paired Choice Test):
   • Prüft, ob die Wahrscheinlichkeit, $A$ über $B$ zu wählen, gleich der Wahrscheinlichkeit ist, $C$ über $D$ zu wählen: $\rho(A, B) = \rho(C, D)$.
   • MNOSS argumentieren, dieser Test sei verzerrt, wenn Rauschen im Spiel ist.
2. Starker gepaarter Wahltest (Strong Paired Choice Test):
   • Prüft, ob die Präferenzrichtung konsistent ist: $\rho(A, B) \geq 1/2 \iff \rho(C, D) \geq 1/2$.
   • Das bedeutet: Wenn ein Agent $A$ öfter als zufällig wählt, muss er auch $C$ öfter als zufällig wählen (und umgekehrt). Dies entspricht der Definition des Common Ratio Effects in der klassischen Literatur (z.B. Kahneman & Tversky).
3. Valuationstests (Bewertungstests):
   • Erheben von Sicherheitsäquivalenten ($m_{AB}$ und $m_{CD}$).
   • Sign-Test: Prüft $Pr(m_{AB} > m_{CD}) = 1/2$.
   • Mean-Test: Prüft $E[m_{AB}] = E[m_{CD}]$.

B. Modelle stochastischer Wahl

Die Autoren analysieren die Tests unter folgenden Modellen:

• i.i.d. Additive Random Expected Utility (iAREU): Ein Modell, bei dem ein deterministischer Erwartungsnutzen durch i.i.d. Rauschen gestört wird. Dies ist das Modell, das MNOSS als Ursache für die Verzerrung des schwachen Tests anführen.
• Random Expected Utility (REU) nach Gul und Pesendorfer: Ein Modell, bei dem die Nutzenfunktion selbst zufällig ist, aber mit Wahrscheinlichkeit 1 die Form des Erwartungsnutzens beibehält.
• Fechnerian Random Utility: Eine Verallgemeinerung, bei der die Wahrscheinlichkeit der Wahl eine Funktion der Nutzen Differenz ist.
• Assumptions von MNOSS (Assumption 2a/2b/3): Spezifische Annahmen über die Verteilung und Korrelation der Fehlerterme in den Valuationstests.

3. Key Contributions und Theoretische Ergebnisse

Die Hauptbeiträge des Papers liegen in der theoretischen Analyse der Verzerrungen (Bias) und der Vorhersagekraft der verschiedenen Tests.

A. Kritik an Valuationstests (Proposition 1)

Die Autoren zeigen, dass Valuationstests unter den Annahmen von MNOSS (Assumption 2b) extrem anfällig für Verzerrungen sind:

• „Anything Goes"-Ergebnis: Unter der Annahme eines CRRA-Nutzenfunktion (konstante relative Risikoaversion) und geeigneter Fehlerverteilungen kann man jede beliebige Kombination von erwarteten Bewertungen $(E[m_{AB}], E[m_{CD}])$ erzeugen.
• Mean-Test: Ist systematisch verzerrt, es sei denn, die Agenten sind exakt risikoneutral. Die Krümmung der Nutzenfunktion (Risikoaversion) verzerrt das Ergebnis.
• Sign-Test: Hängt von strengen Symmetrieannahmen bezüglich der Korrelation der Fehlerterme ab. Diese Annahmen sind empirisch schwer zu rechtfertigen und schränken die Korrelation der Schocks stark ein.

B. Robustheit des starken Wahltests

Im Gegensatz dazu zeigen die Autoren, dass der starke gepaarte Wahltest robust und unverzerrt (unbiased) ist:

• Unter Random Expected Utility (REU): Der schwache Test ist hier unverzerrt, da REU die Unabhängigkeitsaxiome stochastisch erfüllt.
• Unter iAREU und Fechnerian-Modellen: Während der schwache Test hier verzerrt ist (er findet einen CRE, wo keiner existiert), bleibt der starke Test unverzerrt.
  • Begründung: Ein Agent bevorzugt $A$ über $B$ genau dann, wenn $E[u(A)] \geq E[u(B)]$. Da $C$ und $D$ skalierte Versionen sind, gilt $E[u(A)] \geq E[u(B)] \iff E[u(C)] \geq E[u(D)]$. Der Schwellenwert von $1/2$ (Mehrheitsentscheidung) bleibt unter allen gängigen stochastischen Modellen (einschließlich korrelierter Fehler und Perzeptionsfehler) erhalten.
• Proposition 4 & 5: Der starke Test bleibt auch unter den spezifischen Annahmen von MNOSS unverzerrt, sofern die Fehlerterme symmetrisch um Null verteilt sind (eine schwächere Bedingung als die von MNOSS geforderte).

C. Vergleich der Testleistung (Power)

Die Autoren demonstrieren, dass der von MNOSS favorisierte Ansatz (basierend auf Panel c in ihren Diagrammen, der sehr große Bereiche als mit EU vereinbar ansieht) eine extrem geringe Teststärke (Low Power) hat.

• Selbst bei simulierten Daten, die stark vom Prospect Theory-Modell (und damit von EU) abweichen, wird der EU-Nullhypothese in Panel (c) fast nie verworfen.
• Der starke Test hingegen verwirft die EU-Hypothese korrekt in den meisten Fällen, wo Prospect Theory vorliegt.

4. Empirische Ergebnisse

Die Autoren wenden den starken gepaarten Wahltest auf existierende experimentelle Daten an:

1. Meta-Analyse (Blavatskyy et al., 2023):
   • In 143 Studien wurde der Common Ratio Effect mit dem starken Test erneut analysiert.
   • Ergebnis: 41,26 % der Studien zeigen einen Common Ratio Effect, 7 % einen umgekehrten Effekt.
   • Wenn man nach Teilnehmerzahl gewichtet, zeigen über 50 % aller Teilnehmer in diesen Studien einen Verstoß gegen die EU im Sinne des Common Ratio Effects.
2. Daten von MNOSS:
   • Auch bei Anwendung des starken Tests auf die Daten von MNOSS findet sich ein Common Ratio Effect in 10 % der Fälle (und 10 % reverse).
   • Dies bestätigt, dass Parameterwahl (Parameter Selection) die Ergebnisse beeinflusst, aber widerlegt die Behauptung, es gäbe keine systematischen Effekte.

5. Signifikanz und Implikationen

• Wiederherstellung der Evidenz: Das Paper widerlegt die Schlussfolgerung von MNOSS, dass der Common Ratio Effect nicht systematisch existiert. Stattdessen zeigt es, dass die vorherige Evidenz (die den Effekt als weit verbreitet ansah) robust ist, wenn man den richtigen Test (starker Wahltest) und das richtige Modell (Random Expected Utility oder robuste Wahltests) verwendet.
• Methodologische Klarheit: Es wird gezeigt, dass Valuationstests keine universelle Lösung für Rauschen sind und unter bestimmten Annahmen sogar irreführend sein können („Anything Goes").
• Rolle des Rauschens: Die Wahl des Modells für stochastisches Verhalten ist entscheidend. Wenn man Random Expected Utility (Gul & Pesendorfer) als Standard annimmt, ist der schwache Test sogar unverzerrt. Wenn man robustere Modelle (wie iAREU) annimmt, ist der starke Test das unverzichtbare Werkzeug.
• Breite Anwendbarkeit: Die Methode des starken gepaarten Tests ist nicht auf das Allais-Paradoxon beschränkt. Sie kann allgemein zur Detektion von Verhaltensanomalien (z.B. Present Bias in der intertemporalen Wahl) angewendet werden, solange die Struktur der Präferenzumkehr analog ist.

Fazit: Eichenique und Tserenjigmid zeigen, dass der Common Ratio Effect ein robustes und weit verbreitetes Phänomen bleibt. Die Kritik von MNOSS basiert auf einer fehlerhaften Bewertung der Verzerrungen von Valuationstests und einer Unterschätzung der Teststärke des starken Wahltests. Die empirische Evidenz für das Allais-Paradoxon steht weiterhin fest.