Comment on "Quantum theory based on real numbers cannot be experimentally falsified": On the compatibility of physical principles with information theory for fermions

Diese Arbeit widerlegt die Allgemeingültigkeit eines von einer kürzeren Studie vorgeschlagenen physikalischen Postulats zur Auswahl der Quantentheorie über reellen Hilberträumen, indem sie zeigt, dass dieses Postulat mit der Fermionischen Informationstheorie unvereinbar ist.

Das Wesentliche

Die große Frage: Ist das Universum mit „echten" Zahlen oder mit „komplexen" Zahlen gebaut?

Stellen Sie sich vor, Physiker versuchen herauszufinden, woraus die Realität eigentlich besteht. Seit langem wissen wir, dass die Quantenphysik (die Regeln für die winzigsten Teilchen) normalerweise mit komplexen Zahlen arbeitet. Das sind Zahlen, die eine spezielle „imaginäre" Komponente haben, die sich wie eine Drehung verhalten.

In den letzten Jahren haben einige Forscher jedoch gefragt: Müssen wir diese komplexen Zahlen wirklich? Könnte das Universum nicht auch nur mit reellen Zahlen (den ganz normalen Zahlen, die wir im Alltag nutzen: 1, 2, 3...) funktionieren?

Der Streit um die „Unabhängigkeit"

Um diese Frage zu klären, gab es zwei konkurrierende Theorien für eine Welt nur mit reellen Zahlen:

1. Theorie A (Die strenge Version): Hier gilt: Wenn zwei Leute (nennen wir sie Alice und Bob) etwas unabhängig voneinander vorbereiten, dann ist das Ergebnis einfach das Produkt ihrer beiden Aktionen. Wie zwei separate Würfel, die man gleichzeitig wirft.
2. Theorie B (Die flexible Version): Hier gibt es mehr Möglichkeiten. Alice und Bob können unabhängig voneinander arbeiten, aber das Ergebnis kann trotzdem eine Art „versteckte Verbindung" haben, die in der strengen Theorie nicht erlaubt wäre.

Ein neuer Artikel (von Hoffreumon und Woods) behauptete nun: „Theorie B ist die richtige!"
Ihr Argument war ein physikalisches Prinzip (ein „Postulat"):

„Wenn Alice und Bob unabhängig handeln, dann dürfen ihre Messergebnisse auch statistisch unabhängig sein. Wenn die Ergebnisse unabhängig sind, dann müssen sie auch unabhängig vorbereitet worden sein."

Das klingt logisch, oder? Wenn zwei Würfelwürfe nichts miteinander zu tun haben, sind sie auch unabhängig. Die Autoren sagten: „Nur Theorie B erfüllt dieses Prinzip. Also ist Theorie B die wahre Quantenphysik."

Der Einwand: „Aber was ist mit den Fermionen?"

Hier kommen die Autoren des vorliegenden Kommentars (Moradi Kalarde, Xu und Renou) ins Spiel. Sie sagen: „Moment mal! Eure Regel funktioniert nicht für alle Teilchen im Universum."

Um das zu verstehen, brauchen wir eine Analogie:

Die Analogie: Das Tanzpaar mit dem strengen Takt

Stellen Sie sich vor, Alice und Bob sind Tänzer.

• In der normalen Welt (QIT) können sie sich frei bewegen. Wenn sie unabhängig tanzen, sehen ihre Bewegungen auch unabhängig aus.
• Aber es gibt eine spezielle Gruppe von Teilchen, die Fermionen (das sind die Bausteine der Materie, wie Elektronen). Diese unterliegen einer strengen Regel, dem Paritäts-Superselektions-Regel.

Die Regel der Fermionen:
Stellen Sie sich vor, Fermionen sind wie Tänzer, die nur in Paaren auftreten dürfen, und zwar nur in bestimmten Kombinationen (z. B. immer nur „gerade" oder immer nur „ungerade" Schritte). Sie dürfen nicht einfach so zwischen den Schritten hin und her springen.

Die Autoren zeigen nun ein Beispiel (ein Gegenbeispiel):
Sie konstruieren einen Zustand (eine spezielle Tanzformation), der operational unabhängig ist. Das bedeutet: Wenn Alice und Bob ihre eigenen Sensoren (ihre eigenen Tanzschritte) messen, sehen die Ergebnisse so aus, als hätten sie gar nichts miteinander zu tun. Die Zahlen passen perfekt zusammen, als wären sie zufällig.

ABER: Dieser Zustand kann nicht durch unabhängiges Vorbereiten entstanden sein!
Warum? Weil die strengen Regeln der Fermionen (die Paritäts-Regel) es verbieten, diesen Zustand einfach durch zwei separate Tänzer zu erzeugen. Um diesen Zustand zu bekommen, müsste man die Tänzer von Anfang an als ein einziges, untrennbares Ganzes betrachten.

Das Dilemma:

• Die Messergebnisse sehen unabhängig aus (wie bei zwei getrennten Würfen).
• Aber die Vorbereitung war nicht unabhängig (es war ein einziges, verflochtenes System).

Das bedeutet: Die Regel „Unabhängige Ergebnisse = Unabhängige Vorbereitung" ist für Fermionen falsch.

Die große Erkenntnis

Die Autoren des Kommentars sagen:

1. Das Prinzip, das die anderen Forscher aufgestellt haben, ist nicht universell. Es funktioniert für normale Teilchen, aber es scheitert bei Fermionen (den Bausteinen unserer Welt).
2. Wenn ein physikalisches Gesetz nicht für alle Teilchen gilt, kann man es nicht als „allgemeines Prinzip" verwenden, um die Struktur des Universums zu definieren.
3. Man darf nicht einfach annehmen, dass die Welt so funktioniert, wie es die einfache Mathematik der reellen Zahlen nahelegt. Die Natur ist komplizierter (sie hat „Superselektionsregeln" und andere Eigenheiten).

Fazit in einem Satz

Der Artikel warnt davor, zu schnell zu urteilen: Nur weil eine mathematische Regel (Postulat 1) in einer einfachen Theorie funktioniert, heißt das nicht, dass sie die wahre Natur der Physik beschreibt – besonders wenn man Teilchen wie Elektronen (Fermionen) betrachtet, die sich anders verhalten als unsere Intuition es erwartet.

Die Moral der Geschichte:
Bevor man behauptet, das Universum sei einfach nur mit „reellen Zahlen" gebaut, muss man sicherstellen, dass diese Regel auch für die komplizierten, sperrigen Tänzer (die Fermionen) funktioniert. Und da sie dort versagt, ist die Theorie, die auf dieser Regel basiert, wahrscheinlich nicht die richtige Beschreibung der Realität.

Technische Zusammenfassung

Titel des Kommentars

„Quantum theory based on real numbers cannot be experimentally falsified": On the compatibility of physical principles with information theory for fermions

1. Problemstellung

Die Arbeit adressiert eine aktuelle Debatte in den Grundlagen der Quantenphysik: Kann die Quantentheorie auf reellen Hilbert-Räumen formuliert werden, oder sind komplexe Zahlen fundamental notwendig?

• Kontext: Kürzlich erschienene Arbeiten (insbesondere arXiv:2603.19208 [1]) schlugen ein physikalisches Postulat vor, um zwischen zwei Theorien über reellen Hilbert-Räumen zu unterscheiden:
  • $T^R_1$: Eine Theorie, bei der unabhängig vorbereitete Zustände als Kronecker-Produktzustände ($\rho_A \otimes \rho_B$) definiert sind. Diese Theorie wurde in Nature (2021) als experimentell widerlegbar nachgewiesen, da sie nicht alle Vorhersagen der Standard-Quanteninformationstheorie (QIT) reproduziert.
  • $T^R_2$: Eine modifizierte Theorie, bei der unabhängig vorbereitete Zustände mit „operational unabhängigen" Zuständen (Zustände, bei denen lokale Messungen Produkt-Wahrscheinlichkeitsverteilungen ergeben) identifiziert werden. Diese Theorie ist operationell äquivalent zur Standard-QIT und damit experimentell nicht widerlegbar.
• Das Postulat 1: Die Autoren von [1] postulieren, dass in einer realen Formulierung der Quantentheorie „unabhängige Vorbereitung" mit „operationaler Unabhängigkeit" übereinstimmen muss. Dies selektiert $T^R_2$ und schließt $T^R_1$ aus.
• Die Kritik: Die Autoren des vorliegenden Kommentars (Moradi Kalarde et al.) argumentieren, dass ein solches „allgemeines physikalisches Postulat" zwingend auch für Fermionische Informationstheorie (FIT) gelten muss, da Fermionen in der Natur existieren. Sie zeigen auf, dass Postulat 1 in FIT versagt, und widerlegen somit dessen Allgemeingültigkeit.

2. Methodik

Die Autoren wenden eine methodische Herangehensweise an, die auf dem Test von foundationalen Prinzipien gegen etablierte physikalische Rahmenwerke basiert:

1. Definition des Gegenbeispiels: Sie nutzen die Fermionische Informationstheorie (FIT), einen etablierten Rahmen zur Beschreibung von Information in Systemen identischer Fermionen, der durch die Paritäts-Superselektionsregel (parity superselection rule) eingeschränkt ist. Diese Regel verbietet kohärente Superpositionen von Zuständen mit gerader und ungerader Fermionenzahl.
2. Konstruktion eines spezifischen Zustands: Sie konstruieren einen gemischten Zustand $\rho_{AB}$ für zwei Fermionen-Modi $A$ und $B$, der eine Mischung aus Bell-Zuständen gerader und ungerader Parität ist:
   $$\rho_{AB} = \frac{1}{2} (|\phi^+\rangle\langle\phi^+| + |\psi^+\rangle\langle\psi^+|)$$
3. Analyse der Vorbereitung: Sie untersuchen, ob dieser Zustand als „unabhängig vorbereitet" (d.h. als Tensorprodukt lokaler Zustände, die die Superselektionsregel erfüllen) dargestellt werden kann.
4. Analyse der Operationalen Unabhängigkeit: Sie prüfen, ob der Zustand „operational unabhängig" ist, d.h. ob alle lokalen Messungen, die mit der Paritäts-Superselektionsregel kompatibel sind, Produkt-Wahrscheinlichkeiten liefern.
5. Vergleich mit Postulat 1: Sie vergleichen die Ergebnisse und zeigen eine Diskrepanz auf.
6. Verallgemeinerung: Sie diskutieren die Implikationen für andere Theorien mit Superselektionsregeln und für alternative Postulate (wie Postulat 2 in [3, 4]).

3. Schlüsselbeiträge und Ergebnisse

A. Das Fermionische Gegenbeispiel

Der Kern des Arguments liegt in der Analyse des Zustands $\rho_{AB}$:

• Nicht unabhängig vorbereitbar: In FIT müssen lokal vorbereitete Zustände die Paritäts-Superselektionsregel erfüllen. Jede Zerlegung von $\rho_{AB}$ in lokale Zustände würde jedoch Zustände erzeugen, die diese Regel verletzen. Daher kann $\rho_{AB}$ nicht als Tensorprodukt lokal unabhängiger Zustände ($\rho_A \otimes \rho_B$) dargestellt werden. Er ist also nicht unabhängig vorbereitet.
• Operational unabhängig: Da lokale Messungen in FIT mit dem lokalen Paritätsoperator kommutieren müssen, sind sie gegenüber einer „Twirling"-Operation invariant, die den Zustand $\rho_{AB}$ in den maximal gemischten Zustand $I_{AB}/4$ überführt. Für diesen gemischten Zustand sind alle lokalen Messergebnisse statistisch unabhängig (Produktverteilung).
  • Ergebnis: $\rho_{AB}$ ist operational unabhängig, aber nicht unabhängig vorbereitet.

B. Widerlegung von Postulat 1

Da Postulat 1 behauptet, dass „unabhängige Vorbereitung" und „operative Unabhängigkeit" identisch sein müssen, zeigt das Fermionen-Beispiel, dass dieses Postulat in FIT nicht erfüllt ist.

• Schlussfolgerung: Postulat 1 ist kein allgemeingültiges physikalisches Prinzip. Es kann nicht verwendet werden, um die Struktur der Quantentheorie über reellen Zahlen universell abzuleiten, da es fundamentale physikalische Systeme (Fermionen) ausschließt.

C. Verallgemeinerung und Zusammenhang mit der Lokalität

• Superselektionsregeln: Das Phänomen ist nicht auf Fermionen beschränkt, sondern gilt allgemein für Theorien mit Superselektionsregeln (z.B. Ladungserhaltung, Anyonen). In solchen Theorien kann eine eingeschränkte Menge erlaubter lokaler Operationen nicht zwischen lokal vorbereiteten und nicht-lokal vorbereiteten Zuständen unterscheiden.
• Lokale Tomographie: Die Autoren zeigen im Anhang C, dass die Äquivalenz von operationaler Unabhängigkeit und unabhängiger Vorbereitung äquivalent zur Eigenschaft der lokalen Tomographie ist.
  • Standard-QIT und $T^R_2$ sind lokal tomographisch.
  • $T^R_1$ und FIT sind nicht lokal tomographisch.
  • Da FIT nicht lokal tomographisch ist, kann Postulat 1 dort nicht gelten.

D. Kritik an alternativen Postulaten (Postulat 2)

Die Autoren diskutieren auch alternative Ansätze (arXiv:2503.17307 [3] und arXiv:2504.02808 [4]), die auf einem anderen Postulat (Postulat 2) basieren, das die Komposition von Subsystemen über eine bilineare Abbildung definiert. Sie argumentieren, dass die Anwendung dieses Postulats auf ununterscheidbare Teilchen (insbesondere im zweiten Quantisierungsrahmen der FIT) nicht trivial ist und weitere Begründungen erfordert, da die Konzepte von „lokalen Subsystemen" bei ununterscheidbaren Teilchen anders definiert sind als bei unterscheidbaren.

4. Bedeutung und Fazit

• Methodologische Warnung: Die Arbeit unterstreicht die Notwendigkeit, vorgeschlagene fundamentale Prinzipien der Physik nicht nur an idealisierten Modellen (wie unterscheidbaren Qubits), sondern auch an realistischen Rahmenwerken für ununterscheidbare Teilchen zu testen.
• Historische Parallele: Ähnlich wie historische Prinzipien (z.B. im EPR-Argument), die später durch Bell's Theorem widerlegt wurden, scheinen intuitive Prinzipien aus der klassischen oder standard-quantenmechanischen Sicht (wie die Gleichsetzung von operationaler und vorbereitender Unabhängigkeit) in Kontexten mit Superselektionsregeln zu versagen.
• Implikation für die Realität komplexer Zahlen: Die Ergebnisse zeigen, dass der Versuch, die Notwendigkeit komplexer Zahlen allein durch das Postulat 1 zu widerlegen (indem man $T^R_1$ zugunsten von $T^R_2$ verwirft), fehlerhaft ist, da das Postulat selbst nicht universell gültig ist. Die Struktur der Quantentheorie über reellen Zahlen bleibt eine offene Frage, die eine Berücksichtigung fermionischer Systeme erfordert.

Zusammenfassend demonstriert der Kommentar, dass die Fermionische Informationstheorie ein essentielles Testfeld für fundamentale physikalische Postulate darstellt und dass die Annahme einer universellen Äquivalenz zwischen „operationaler Unabhängigkeit" und „unabhängiger Vorbereitung" in der physikalischen Realität nicht haltbar ist.