Choice of Collateral Currency in Differential Swaps

본 논문은 계약 현금흐름과 담보 통화의 불일치가 차액 스왑의 가치 평가와 헤지 전략에 중대한 영향을 미칠 수 있음을 보여주며, 특히 외화 담보가 국내 통화로만 표시된 계약에도 추가적인 위험 노출을 초래할 수 있음을 명시적인 가격 결정 및 헤지 전략을 통해 규명합니다.

핵심

🏠 비유: "집을 빌릴 때, 보증금이 달러인가 유로인가?"

상상해 보세요. 당신이 미국 (USD) 에 사는 사람이고, 미국 달러로 된 월세를 내기로 한 계약을 맺었습니다. 하지만 이 계약의 **보증금 (담보)**을 미국 달러가 아니라 **유로 (EUR)**로 내야 한다고 가정해 봅시다.

이 논문은 바로 **"담보의 화폐 종류가 달라도, 월세 (거래 가격) 와 위험 관리 방식이 어떻게 변하는가?"**를 연구한 것입니다.

1. 왜 이 문제가 중요할까요? (2008 년 금융위기의 교훈)

과거에는 담보를 맡기는 것이 단순히 "상대방이 돈을 안 낼까 봐 걱정되는 것 (신용 위험)"을 막는 용도였습니다. 하지만 2008 년 금융위기 이후, 담보의 이자율과 통화가 거래 가격 자체를 결정하는 핵심 요소가 되었습니다.

• 기존 생각: "나는 미국 달러로 거래하니까, 담보도 미국 달러로 받으면 되지."
• 현실: "아니야, 담보로 유로를 받으면 그 유로의 이자율 (eSTR) 이 적용되고, 환율 변동까지 고려해야 해. 그래서 거래 가격이 달라져."

2. 연구의 핵심 발견: "보이지 않는 위험"

저자들은 다음과 같은 놀라운 사실을 발견했습니다.

"계약금 (수익) 이 모두 미국 달러로 정해져 있어도, 담보가 유로라면 당신은 '보이지 않는 유로 위험'을 안게 됩니다."

• 비유: 당신이 미국에서 사과를 파는 가게를 운영한다고 칩시다. 사과 값은 달러로 받지만, 가게를 지킬 경비 (담보) 를 유로로 내야 한다면?
  • 유로 가치가 떨어지거나 유로 이자율이 변하면, 당신의 가게 운영 비용이 달라집니다.
  • 그래서 당신은 사과 가격 (거래 가격) 을 계산할 때, 유로 상황까지 고려해야 합니다.
  • 만약 유로 상황을 무시하고 달러만 보고 가격을 매기면, 나중에 큰 손해를 볼 수 있습니다.

3. 가격에 미치는 영향 (할인율의 변화)

이 논문은 담보 화폐가 다르면 거래의 '공식 가격 (Par Swap Rate)'이 달라진다는 것을 수학적으로 증명했습니다.

• 상황: 미국 이자율 (SOFR) 이 3% 라면, 유로 이자율 (eSTR) 은 2% 일 수 있습니다.
• 영향: 담보로 유로를 받으면, 낮은 유로 이자율을 기준으로 계산하게 되어 거래의 가치가 달라집니다.
• 결과: 담보 화폐를 유로로 바꾸면, 장기 계약일수록 가격이 몇 '바시스 포인트 (bps)'씩 달라집니다. 이는 큰 금액의 거래에서는 무시할 수 없는 차이입니다.

4. 위험 관리 (헤징) 의 변화: "두 개의 방패가 필요하다"

가장 중요한 부분은 **위험을 막는 방법 (헤징)**입니다.

• 기존 방식: 미국 달러로 된 거래니까, 미국 달러 관련 상품 (SOFR 선물) 만 사서 위험을 막으면 된다고 생각했습니다.
• 새로운 발견: 담보가 유로라면, 미국 달러 위험 + 유로 위험 두 가지를 모두 막아야 합니다.
  • 비유: 비가 오니까 우산 (미국 달러 헤징) 만 쓰면 되는데, 갑자기 바람 (유로 위험) 이 불어옵니다. 우산만으로는 비를 막을 수 없죠. **방풍막 (유로 헤징)**도 함께 써야 합니다.
  • 연구 결과에 따르면, 담보가 외국 통화일 때 미국 상품만으로는 위험의 약 **95%**만 막을 수 있고, 나머지 **5%**는 여전히 위험에 노출된다고 합니다. 이 5% 도 큰 금액이라면 무시할 수 없습니다.

5. "가장 싼 담보"를 고르는 게임 (Cheapest-to-Deliver)

실제 시장에서는 여러 나라의 통화를 담보로 쓸 수 있는 경우가 많습니다. 이때 거래 당사자는 가장 이득이 되는 (가장 싼) 담보 화폐를 선택합니다.

• 이 논문은 이 '선택권'이 가격에 얼마나 큰 영향을 미치는지 계산했습니다. 마치 쇼핑할 때 "할인된 물건"을 고르는 것처럼, 담보 화폐를 잘 고르면 거래 가격을 유리하게 만들 수 있다는 뜻입니다.

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💡 한 줄 요약

"거래의 돈은 미국 달러로 받더라도, 담보로 유로를 맡기면 '유로'라는 보이지 않는 손이 가격과 위험을 움직입니다. 따라서 현대 금융에서는 담보의 화폐 종류까지 꼼꼼히 계산하고, 미국 상품뿐만 아니라 유로 상품으로도 위험을 막아야 합니다."

이 연구는 복잡한 수학 공식을 통해, **"담보의 통화가 바뀌면 금융 시장의 규칙이 바뀐다"**는 중요한 교훈을 남겼습니다.

기술 요약

1. 연구 배경 및 문제 제기 (Problem)

• 배경: 2008 년 금융위기 이후 담보화 (Collateralisation) 가 표준화되었고, LIBOR 에서 무위험 금리 (RFR, 예: SOFR, eSTR) 로의 전환이 이루어졌습니다. 또한, 담보 계약 (CSA) 에서 담보 통화와 계약 결제 통화가 일치하지 않는 경우가 빈번해졌습니다 (예: USD SOFR 스왑을 EUR 현금으로 담보화).
• 문제: 기존 연구들은 주로 담보가 계약 통화와 일치하는 경우를 가정하거나, 무위험 자금 조달 금리를 기준으로 삼았습니다. 그러나 담보 통화가 다르면 **유효 할인율 (Effective Discount Rate)**이 변하고, 담보 계좌의 가치 변동이 추가적인 확률적 요인 (Stochastic Driver) 으로 작용하여 가치 평가와 헷징에 중대한 영향을 미칩니다.
• 핵심 질문: 계약 현금 흐름이 순수하게 국내 통화 (USD) 로만 이루어지더라도, 담보가 외화 (EUR) 일 때 가치 평가와 헷징 전략은 어떻게 달라지는가?

2. 방법론 (Methodology)

저자들은 다음과 같은 수학적 프레임워크를 구축했습니다.

• 시장 모델:
  • 2 통화 환경: 국내 통화 (USD, SOFR) 와 외화 (EUR, eSTR) 를 가정합니다.
  • 담보화 조건: 비례 담보화 (Proportional Collateralisation, $\beta$) 를 도입합니다. 즉, 포트폴리오 가치의 $\beta$ 부분은 담보 금리 ($r_c$) 로, 나머지 $1-\beta$부분은 자금 조달 금리 ($r_h$) 로 할인됩니다.
  • 유효 자금 조달 금리: $r_\beta = (1-\beta)r_h + \beta r_c$로 정의되며, 이는 담보 통화 선택에 따라 결정됩니다.
• 가격 평가 측정 (Pricing Measure):
  • 담보화 조건 하에서 자기 자금 조달 (Self-financing) 전략을 정의하고, 유효 금리 $r_\beta$에 기반한 가격 평가 마팅게일 측정 (Pricing Martingale Measure, $\tilde{Q}$) 을 도입합니다.
  • 가우스 (Gaussian) 기간 구조 모델 (Vasicek-Garman-Kohlhagen) 을 사용하여 금리 ($r_d, r_f$) 와 환율 ($Q$) 의 동역학을 설정합니다.
• 헤징 도구:
  • 선물 기반 복제 (Futures-based Replication): SOFR 선물과 eSTR 선물을 사용하여 위험을 헷징합니다.
  • 외화 선물 변환: 외화 선물 (eSTR) 의 일일 정산 (Daily Settlement) 과 환율 변동으로 인해 발생하는 이차 공분산 (Quadratic Covariation) 항을 고려하여, 외화 선물을 국내 통화 가치로 변환된 과정 ($F^{f,q}$) 을 정의합니다.

3. 주요 기여 (Key Contributions)

1. 명시적 가치 평가 공식 도출:
   • 비례 외화 담보화 하에서 USD 기준 차액 스왑의 **폐쇄형 해 (Closed-form solution)**를 유도했습니다.
   • 담보 통화 선택이 가치에 미치는 영향을 명시적인 볼록성 보정 (Convexity Correction) 항과 상관관계 조정 (Correlation Adjustment) 항으로 분리하여 제시했습니다.
2. 위험 노출의 재해석:
   • 계약 현금 흐름이 국내 통화만으로도, 외화 담보화는 추가적인 확률적 위험 요인 (외화 금리 및 환율) 을 도입함을 증명했습니다.
   • 이는 단순히 할인율의 변화뿐만 아니라, 헷징 포트폴리오의 구성에도 영향을 미쳐 **시스템적 잔여 위험 (Systematic Residual Exposure)**을 발생시킵니다.
3. 명시적 헷징 비율 (Hedge Ratios) 유도:
   • SOFR 선물과 eSTR 선물을 이용한 동적 헷징 전략을 개발했습니다.
   • 담보 통화 선택에 따라 필요한 헷징 비율이 어떻게 변하는지 (Proposition 5.2) 를 명시적으로 제시했습니다.

4. 수치적 결과 (Results)

실증 분석을 통해 다음과 같은 결과를 도출했습니다.

• 파생 스왑 금리 (Par Swap Rate) 의 이동:
  • 담보 통화가 USD 에서 EUR 로 변경되면 (외화 금리가 낮을 경우), 할인율이 낮아져 스왑의 현재 가치가 증가합니다. 이를 보상하기 위해 파생 스왑 금리가 상승합니다.
  • 만기가 길어질수록 담보화 효과 ($\beta$) 가 누적되어 금리 조정 폭이 커집니다 (예: 10 년 만기에서 약 7bp 이상의 조정 발생).
• 가장 싼 담보 (Cheapest-to-Deliver, CTD) 효과:
  • 다중 통화 CSA 하에서 담보 통화를 선택할 수 있는 옵션은 스왑 금리 스프레드로 나타납니다. 이는 담보 통화 선택이 가격에 실질적인 영향을 미친다는 것을 보여줍니다.
• 헷징 효과성 (Hedge Effectiveness):
  • 국내 선물만 이용한 헷징: 외화 담보화 하에서 국내 선물 (SOFR) 만으로 헷징할 경우, 약 5% 의 잔여 위험이 남는 것으로 나타났습니다. 이는 담보로 인한 외화 금리 리스크가 완전히 제거되지 않았기 때문입니다.
  • 국내 + 외화 선물 헷징: eSTR 선물까지 포함하여 헷징하면 잔여 위험이 거의 0 에 수렴하여 완전한 복제가 가능해집니다.

5. 의의 및 시사점 (Significance)

• 실무적 중요성: 현대의 다중 통화 담보 환경에서, 계약이 국내 통화로만 이루어지더라도 **담보 통화의 선택을 무시하고 가치 평가하거나 헷징하는 것은 심각한 오차 (Bias)**를 초래할 수 있음을 경고합니다.
• 리스크 관리: 외화 담보화는 단순한 자금 조달 비용의 문제를 넘어, 외화 금리 및 환율에 대한 새로운 위험 노출을 생성합니다. 따라서 리스크 관리 프레임워크에는 반드시 해당 통화의 선물 (예: eSTR 선물) 을 포함한 헷징 전략이 포함되어야 합니다.
• 이론적 확장: 기존 LIBOR 기반의 담보화 연구에서 벗어나, RFR 기반 시장과 비례 담보화 조건을 결합한 정교한 가격 평가 모델을 제시하여, 향후 다중 통화 파생상품의 표준 모델링에 기여합니다.

결론적으로, 이 논문은 담보 통화 선택이 파생상품의 가치와 위험 구조에 지대한 영향을 미치며, 이를 정확히 평가하고 헷징하기 위해서는 담보 통화와 관련된 금리 및 환율 리스크를 명시적으로 모델링해야 함을 강력하게 주장합니다.