A Dynamic Equilibrium Model for Automated Market Makers

이 논문은 자동화 시장 제조자 (AMM) 의 역학적 균형 모델을 제시하여, arbitrage 와 유동성 공급자 간의 전략적 상호작용을 분석하고, 데이터 기반의 검증과 확장된 모델을 통해 유동성 공급의 최적 조건과 복잡한 시장 역학을 규명합니다.

핵심

1. 기본 설정: 거대한 자동 판매기 (AMM)

생각해 보세요. 비트코인이나 이더리움 같은 코인을 사고팔 수 있는 거대한 자동 판매기가 있다고 상상해 봅시다.

• 유동성 공급자 (LP): 이 자동 판매기에 돈을 넣는 사람들입니다. (예: "이 기계에 코인 100 개와 달러 100 만 원을 넣어주세요. 대신 거래할 때마다 수수료를 드릴게요.")
• 거래소 (AMM): 기계는 수학적 공식 (보통 $x \times y = k$) 에 따라 가격을 정합니다.
• 문제: 이 기계는 외부 시장 (중앙화 거래소) 의 가격과 항상 같지 않습니다. 기계의 가격이 100 원인데, 외부 시장 가격은 105 원이라면 사람들은 기계에서 싸게 사서 비싸게 팔겠죠.

2. 첫 번째 발견: "사기"와 "팔기"의 불공정한 차이

논문은 첫 번째로 흥미로운 사실을 발견했습니다. 이 자동 판매기는 '사기'와 '팔기'의 난이도가 다릅니다.

• 비유: imagine 이 기계가 좁은 통로로 되어 있다고 칩시다.
  • 팔 때 (Sell): 통로가 넓어서 쉽게 지나갈 수 있습니다. (가격 영향이 적음)
  • 살 때 (Buy): 통로가 좁고 막혀 있어서, 많은 물건을 사려면 가격을 더 많이 올려야 합니다. (가격 영향이 큼)
• 결과: 같은 양을 사고팔더라도, 사기가 훨씬 더 비싸고 힘들게 이루어집니다. 논문은 실제 데이터를 분석해서 이 '비대칭성'이 존재함을 증명했습니다.

3. 두 번째 발견: 왜 유동성 공급자가 돈을 잃을까? (기초 모델의 실패)

연구진은 먼저 "지식 있는 도둑들 (정보를 가진 아비트라저)"만 있는 상황을 가정해 봤습니다.

• 상황: 외부 가격이 오르면, 도둑들은 자동 판매기에서 싼 코인을 사서 비싸게 팝니다.
• 결과: 자동 판매기에 돈을 넣은 사람 (LP) 은 코인 가격이 오를 때 코인을 잃고, 내릴 때 달러를 잃습니다. 이를 **'불영구적 손실 (Impermanent Loss)'**이라고 합니다.
• 핵심 문제: 도둑들이 가져가는 이득 (수수료) 이 LP 가 입는 손실보다 훨씬 큽니다.
• 결론: 만약 오직 '지식 있는 도둑들'만 있다면, 아무도 자동 판매기에 돈을 넣지 않을 것입니다. (이론상 유동성은 사라집니다.)

4. 세 번째 발견: 현실은 어떨까? (데이터 분석)

하지만 현실에서는 수많은 사람들이 여전히 돈을 넣고 있습니다. 왜일까요? 연구진이 실제 데이터를 뜯어보니 놀라운 사실이 나왔습니다.

1. 대부분의 거래는 '손해'를 봅니다: 거래의 80% 이상이 외부 시장 가격보다 비싸게 사거나 싸게 팔아 실제 수익이 나지 않는 거래였습니다.
2. 두 부류의 사람:
   • 프로 도둑 (Arbitrageurs): 소수지만 큰 금액을 거래하며, 거의 항상 수익을 냅니다.
   • 일반인 & 실패한 도둑 (Noise & Overrun): 대다수입니다. 이들은 사소한 이유로 거래하거나, 도둑들끼리 경쟁하다가 늦게 도착해서 손해를 보는 사람들입니다.

비유:

"경쟁 대회에 1 등만 상을 받습니다. 1 등 (성공한 도둑) 은 큰 상금을 얻지만, 2 등부터 100 등까지 (실패한 도둑) 는 상금도 못 받고 참가비 (수수료) 만 내고 가버립니다. 이 '실패한 도둑들'이 내는 참가비가 유동성 공급자 (LP) 의 수익원이 됩니다."

5. 네 번째 발견: 가스비 (수수료) 의 역할과 '볼록한' 관계

여기서 중요한 변수가 하나 더 생깁니다. 바로 **가스비 (거래 수수료)**입니다.

• 시장이 혼란스러울수록 (가격 변동이 심할수록), 도둑들이 더 많이 몰려듭니다.
• 도둑들이 몰리면 네트워크가 붐비고 가스비가 비싸집니다.
• 가스비가 비싸지면, 작은 금액으로 거래하려던 사람들은 거래를 포기합니다.

연구진은 이 모든 요소를 종합한 확장된 모델을 만들었습니다. 여기서 놀라운 결론이 나왔습니다.

"유동성 공급은 '볼록한 (Hump-shaped)' 형태를 띤다."

• 변동성이 너무 낮을 때: 도둑들이 오지 않아서 수수료 수입이 적습니다. (유동성 공급 동기 약함)
• 변동성이 적당할 때: 도둑들이 몰려오고, 실패한 도둑들 (손해 보는 거래) 이 많아져서 수수료 수입이 폭발합니다. 이때가 유동성 공급자가 가장 돈을 많이 벌고, 가장 많이 자산을 넣는 '황금기'입니다.
• 변동성이 너무 높을 때: 가스비가 너무 비싸져서 거래가 막히고, 가격 변동이 너무 커서 LP 가 입는 손실 (불영구적 손실) 이 너무 큽니다. 이때는 유동성 공급을 줄입니다.

6. 요약: 이 논문이 말하고자 하는 것

이 논문은 **"자동화 시장 메이커 (AMM) 는 단순히 수학 공식만 있는 게 아니라, 살아있는 생태계"**라고 말합니다.

1. 비대칭성: 이 시스템은 사기와 팔기가 다르게 작동합니다.
2. 손해 보는 거래의 가치: 우리가 '손해 보는 거래 (실패한 도둑)'라고 생각한 것들이, 사실은 유동성 공급자를 먹여 살리는 필수적인 연료였습니다.
3. 최적의 균형: 유동성 공급자는 변동성이 너무 낮거나 너무 높을 때는 돈을 넣지 않고, 적당한 변동성이 있을 때 가장 많이 돈을 넣습니다.

한 줄 요약:

"자동 판매기에 돈을 넣는 건, '지식 있는 도둑'들이 가져가는 손실을 '실패한 도둑'들이 내는 수수료로 메꾸는 게임이며, 이 게임은 시장이 너무 조용하거나 너무 시끄러울 때는 재미없지만, 적당히 시끄러울 때 가장 재미있고 수익이 난다는 것을 수학적으로 증명했습니다."

기술 요약

논문 요약: 자동화 시장 maker (AMM) 를 위한 동적 균형 모델

이 논문은 탈중앙화 금융 (DeFi) 의 핵심 인프라인 자동화 시장 maker(AMM), 특히 상수 함수 시장 maker(CFMM) 의 경제적 기초와 미시적 메커니즘을 규명하기 위해 동적 균형 프레임워크를 개발합니다. 저자들은 정보에 기반한 차익거래자 (arbitrageurs) 와 유동성 공급자 (LP) 간의 전략적 상호작용을 시간의 흐름에 따라 모델링하며, 기존 이론의 한계를 넘어선 실증 데이터 기반의 새로운 통찰을 제시합니다.

1. 연구 배경 및 문제 제기

• 현황: Uniswap 등 AMM 기반 DEX 는 막대한 거래량과 총예치액 (TVL) 을 기록하고 있으나, 유동성 공급의 경제적 기반은 여전히 불명확합니다.
• 핵심 딜레마: AMM 의 LP 는 정보에 기반한 거래 (adverse selection) 로 인한 불영구적 손실 (Impermanent Loss) 에 노출되지만, 실제로는 대규모 유동성이 지속적으로 공급됩니다.
• 기존 연구의 한계: 기존 이론들은 대부분 외부에서 주어진 '노이즈 거래 (무작위 거래)'가 LP 의 손실을 보전해 준다고 가정합니다. 그러나 온체인 데이터상 이러한 노이즈 거래가 실제로 존재하는지, 혹은 그 메커니즘이 무엇인지에 대한 검증이 부족했습니다.

2. 방법론 및 모델링 접근

저자는 세 단계에 걸쳐 모델을 발전시킵니다.

• 1 단계: 기준 모델 (Baseline Model)

  • 가정: 외부 참조 가격 (중앙화 거래소, CEX) 과의 차익거래만 존재하는 환경. LP 는 오직 정보에 기반한 차익거래자만 상대함.
  • 수학적 도구: 기하학적 브라운 운동 (GBM) 을 따르는 자산 가격, 상수곱 (Constant Product, $xy=k$) AMM 규칙, 그리고 LP 수수료 구조를 포함한 동적 최적화 문제 설정.
  • 결과: 정보에 기반한 거래만 존재할 경우, LP 에게 유동성 공급은 직접 자산 보유에 비해 **엄격하게 열세 (strictly dominated)**임을 증명. 수수료만으로는 차익거래로 인한 가격 충격 (불영구적 손실) 을 상쇄할 수 없어 균형 상태에서 유동성 공급이 최소화됨.

• 2 단계: 실증 분석 (Empirical Evidence)

  • 데이터: Uniswap 및 Binance-AMM 의 온체인 트랜잭션 데이터와 주요 CEX 의 고빈도 가격 데이터를 결합.
  • 분석: 거래를 '수익성 (Profitable)'과 '비수익성 (Unprofitable)'으로 분류.
  • 발견:
    1. 매수/매도 비대칭성: 가격 변동이 없는 구간에서도 매수 (Buy) 보다 매도 (Sell) 거래에서 수익성이 훨씬 높게 나타남. 이는 CFMM 의 기하학적 구조로 인한 가격 충격 (Slippage) 의 비대칭성 때문임.
    2. 거래자 이질성: 수익성 있는 거래는 소수지만 거래 규모가 크고, 비수익성 거래는 다수지만 규모가 작음. 이는 전통 금융시장의 정보형 투자자 vs. 개인 투자자 패턴과 유사함.
    3. 비수익성 거래와 변동성의 상관관계: CEX 가격 변동성이 높을수록 AMM 의 비수익성 거래량이 급증함. 이는 단순한 노이즈가 아니라, **차익거래 경쟁 (Arbitrage Race)**의 결과로 해석됨.

• 3 단계: 확장 모델 (Extended Model)

  • 새로운 요소 도입:
    1. 시간에 따른 변동성 (Stochastic Volatility): 평균 회귀 과정을 따르는 변동성.
    2. 내생적 가스비 (Endogenous Gas Fees): 변동성과 네트워크 혼잡도에 따라 결정되는 거래 비용.
    3. 실제 노이즈 트레이더: 가격 차익이 아닌 고유한 필요 (지불, 프라이버시 등) 로 거래하는 행위자.
    4. 차익거래 경쟁 (Arbitrage Race): 여러 차익거래자가 동시에 진입하려다, 승자만 수익을 얻고 패자 (Overrun arbitrageurs) 는 비수익성 거래로 기록되는 메커니즘.

3. 주요 기여 및 결과

1. 내재적 매수/매도 비대칭성 (Intrinsic Buy-Sell Asymmetry)

   • CFMM 의 기하학적 구조상, 동일한 규모의 거래라도 매수 시 매도보다 더 큰 가격 충격 (Slippage) 을 발생시킴.
   • 이 비대칭성은 온체인 데이터를 통해 실증적으로 검증되었으며, 정보에 기반한 거래자가 매수할 때 더 큰 가격 오차가 필요함을 의미함.

2. 유동성 공급의 '언내성 (Hump-shaped)' 최적화

   • 핵심 발견: 변동성과 유동성 공급량 사이의 관계가 단순한 선형이 아니라 **역 U 자형 (Hump-shaped)**임을 증명.
   • 메커니즘:
     • 낮은 변동성: 노이즈 거래자가 활발하여 수수료 수입이 안정적.
     • 중간 변동성: 변동성 증가로 인해 '차익거래 경쟁'으로 인한 비수익성 거래 (Overrun trades) 가 증가하고, 이는 LP 에게 추가적인 수수료 수익을 창출함. 이 시점에서 유동성 공급이 최대화됨.
     • 높은 변동성: 가스비가 급증하고 가격 충격이 커져 불영구적 손실이 수수료 수익을 압도함. 결과적으로 LP 는 유동성을 축소함.
   • 의의: 기존 모델들이 예측한 '정보형 거래만 있는 환경에서의 유동성 붕괴'를 해결하고, 왜 실제 시장에서는 변동성 구간별로 유동성이 유지되는지 설명함.

3. 비수익성 거래의 내생적 기원 규명

   • 많은 비수익성 거래가 외부의 무작위 노이즈가 아니라, **경쟁적인 차익거래 과정 (Race)**에서 발생한 결과임을 이론화함. 이는 AMM 의 유동성 유지에 필수적인 '수수료 원천'으로 작용함.

4. 연구의 의의 및 결론

• 이론적 기여: AMM 의 균형을 분석할 때 정보형 거래자, 노이즈 트레이더, 거래 비용 (가스비), 그리고 변동성 동학을 통합한 최초의 동적 균형 모델을 제시함.
• 실증적 기여: 온체인 데이터의 방대한 분석을 통해 이론적 예측 (비대칭성, 변동성 - 유동성 관계) 을 검증함.
• 실무적 함의:
  • AMM 유동성 공급자는 단순히 '수수료 vs 불영구적 손실'만 고려하는 것이 아니라, 변동성 환경에서의 차익거래 경쟁 강도를 고려해야 함.
  • 고변동성 구간에서는 유동성 공급이 비효율적일 수 있음을 시사하며, 향후 집중 유동성 (Concentrated Liquidity) 이나 동적 수수료 모델 설계에 중요한 기초를 제공함.

이 논문은 AMM 이 단순한 알고리즘이 아니라, 다양한 행위자와 시장 마찰이 복잡하게 상호작용하는 동적 시장임을 보여주며, 탈중앙화 거래소의 지속 가능한 유동성 공급 메커니즘을 이해하는 데 중요한 이정표가 됩니다.