A Model-Based Restricted Shapley Value to Measure the Players' Contribution to Shot Actions in Football

이 논문은 축구 공격 상황에서 선수들의 협력적 기여도를 측정하기 위해 협력 게임 이론의 제한된 섀플리 값을 적용하고, 패스 네트워크와 팀 상호작용을 반영한 '기대 골 액션 (xGA)' 지표를 도입하여 2022/23 시즌 세리에 A 데이터를 기반으로 선수 평가 및 스카우팅에 활용할 수 있는 새로운 분석 프레임워크를 제안합니다.

핵심

이 논문은 축구의 '골'이라는 결과 뒤에 숨겨진 팀워크의 마법을 수학적으로 증명하고, 각 선수의 진짜 기여도를 찾아내는 새로운 방법을 제안합니다.

기존의 축구 분석이 "누가 골을 넣었나?"에 집중했다면, 이 연구는 **"그 골이 만들어지기까지 누가, 어떻게 도왔는가?"**를 묻습니다.

이 복잡한 내용을 쉽게 이해할 수 있도록 요리사와 레시피에 비유해서 설명해 드릴게요.

---

1. 문제점: "골을 넣은 사람"만 칭찬받는 불공정한 세상

전통적인 축구 분석 (예: xG, 기대골) 은 마치 요리사가 요리를 완성했을 때, 그 요리를 맛본 사람만 칭찬하는 것과 비슷합니다.

• 기존 방식: 골을 넣은 공격수만 "잘했다"고 평가하고, 그 전에 공을 뺏어오거나, 패스를 주고, 공간을 만든 미드필더나 수비수는 무시합니다.
• 현실: 축구는 혼자 하는 스포츠가 아닙니다. 골은 10 명, 11 명이 협력해서 만들어낸 결과물입니다. 하지만 기존 통계는 이 협력 과정을 놓치고 있었습니다.

2. 해결책 1: 'xGA' (기대 골 액션) - 레시피의 품질을 평가하다

저자들은 먼저 **'xGA (Expected Goal Action)'**라는 새로운 지표를 만들었습니다.

• 비유: 단순히 "요리 결과물 (골)"만 보는 게 아니라, 요리를 만들기까지 쓰인 재료의 질, 조리사의 기술, 그리고 함께 일한 팀원들의 협력까지 모두 고려한 '레시피의 완성도'를 점수화하는 것입니다.
• 기능: 골을 넣기 직전의 패스, 선수들의 위치, 경기 상황 등을 모두 분석하여 "이 공격 플레이가 얼마나 골을 낼 확률이 높은지"를 계산합니다.

3. 해결책 2: 'PRS' (제한된 샤플리 값) - 협력의 공을 나누어 주다

이제 가장 중요한 부분입니다. 이 '레시피의 완성도 (xGA)'를 누가, 얼마나 기여했는지 나누어 주는 방법입니다. 여기서는 **게임 이론의 '샤플리 값 (Shapley Value)'**을 활용했습니다.

• 샤플리 값의 기본 개념: 여러 사람이 함께 일해서 돈을 벌었을 때, 각자가 얼마나 공을 들였는지 계산해서 공평하게 나누는 방법입니다.
• 이 연구의 혁신 (제한된 협력):
  • 기존의 문제: 이론상 모든 선수들이 다 같이 일할 수 있다고 가정하면 계산이 너무 복잡하고, 실제 축구에서는 11 명 중 일부만 특정 플레이에 참여합니다.
  • 이 연구의 해결 (PRS): "실제 경기에서 공을 주고받은 사람들만 모인 팀 (연합)"만 고려합니다. 마치 실제 함께 일한 요리사들만 모여서 그 요리의 성공 공을 나누는 것과 같습니다.
  • 결과: 골을 넣은 선수뿐만 아니라, 그 골을 만들기 위해 공을 뺏고, 패스하고, 공간을 만든 모든 선수에게 '공헌도 점수 (PRS)'가 부여됩니다.

4. 실제 적용: AC 밀란과 나폴리의 사례

이론을 2022-23 시즌 세리에 A (이탈리아 리그) 데이터에 적용해 보았습니다.

• 발견 1: 팀워크의 차이

  • 나폴리: 오시멘 (Osimhen) 이 골을 많이 넣었지만, 그 뒤에는 카바타 (Kvaratskhelia) 나 안구이사 (Anguissa) 같은 선수들이 골을 만들어내는 데 큰 역할을 했습니다. PRS 점수는 오시멘이 가장 높았지만, 다른 선수들의 협력도 뚜렷하게 드러났습니다.
  • AC 밀란: 레앙 (Leão) 이 골과 도움 모두에서 뛰어난 '협력 점수'를 보였습니다. 반면, 골은 잘 넣지만 팀 플레이에 기여도가 낮은 선수나, 골은 못 넣지만 팀 플레이의 핵심인 선수들도 명확하게 구분되었습니다.

• 발견 2: '협력' vs '결정력'의 균형

  • 논문의 그림 2 는 선수들을 두 가지 축으로 나눕니다.
    1. 협력 기여도 (PRS): 팀 플레이를 얼마나 잘 이끌었는가?
    2. 결정력 (G90-xG90): 골을 넣는 능력은 얼마나 뛰어난가?
  • 스타 플레이어: 두 가지 모두 높은 선수 (예: AC 밀란의 레앙).
  • 은둔형 조력자: 골은 잘 못 넣지만, 팀 플레이를 이끄는 핵심 (PRS 는 높음, 결정력은 낮음).
  • 혼자 잘하는 선수: 팀 플레이에는 기여가 적지만, 골은 잘 넣는 선수.

5. 왜 이 연구가 중요한가요?

이 방법은 축구 클럽이 선수를 영입하거나 평가할 때 더 현명한 결정을 내리도록 도와줍니다.

• 기존: "골을 많이 넣는 선수"만 사려고 합니다.
• 이 연구 후: "골을 넣지 않아도 팀의 공격을 가장 잘 만들어내는 선수"를 발견할 수 있습니다. 마치 요리사가 요리를 완성하지 못해도, 최고의 재료를 준비하고 조리 과정을 이끈 '수석 셰프'를 알아보는 것과 같습니다.

요약

이 논문은 **"축구는 혼자 하는 게 아니라, 11 명이 함께 만드는 예술작품"**임을 수학적으로 증명했습니다.
기존의 통계가 놓친 **'협력의 가치'**를 찾아내고, 각 선수의 진짜 기여도를 공정하게 평가할 수 있는 새로운 나침반 (PRS) 을 제시했습니다. 이는 단순한 점수 매기기를 넘어, 축구라는 복잡한 게임의 본질을 이해하는 데 큰 도움이 될 것입니다.

기술 요약

1. 연구 배경 및 문제 제기 (Problem)

• 기존 지표의 한계: 축구의 전통적인 성과 지표 (득점, 어시스트 등) 나 최근의 기대득점 (xG, Expected Goals) 은 개별 선수의 슈팅 순간의 질을 평가하는 데 유용하지만, **공격의 협력적 성격 (Cooperative Nature)**을 충분히 반영하지 못합니다.
• 맥락 부재: xG 는 주로 슈팅 위치와 각도 등 슈팅 자체의 특징에 의존하며, 슈팅에 이르기까지의 빌드업 (Build-up), 패스 네트워크, 선수들의 위치 및 팀워크와 같은 광범위한 맥락을 고려하지 않습니다.
• 기존 협력 지표의 부족: xGChain(전체 시퀀스의 기대득점 합계) 이나 xGThreat(공간적 위협도) 와 같은 지표는 팀의 공격 참여도를 보여주지만, 특정 행동에서의 개별 선수의 한계 기여도 (Marginal Contribution) 를 정량화하거나 전술적으로 허용 가능한 선수 조합 (Coalition) 을 고려하지 못한다는 한계가 있습니다.
• 핵심 문제: 축구는 본질적으로 협력 게임이지만, 모든 선수 조합이 무작위로 발생하는 것이 아니며 (코치의 전술, 포지션 제약 등), 기존 샤플리 값 (Shapley Value) 접근법은 관찰되지 않은 모든 조합을 가정하여 실제 축구 상황에 적합하지 않을 수 있습니다.

2. 제안된 방법론 (Methodology)

이 논문은 **모델 기반의 제한적 샤플리 값 (Model-Based Restricted Shapley Value)**을 도입하여 위 문제들을 해결합니다.

A. 기대 골 액션 (xGA, Expected Goal Action) 모델

• 정의: 전통적인 xG 를 확장한 새로운 지표로, 슈팅 자체뿐만 아니라 슈팅에 이르는 전체 공격 시퀀스 (빌드업, 패스 수, 참여 선수 수, 경기 상황 등) 를 고려하여 공격 행동 전체의 득점 확률을 평가합니다.
• 모델링:
  • 특징 (Features): 슈팅 좌표 (X, Y), 슈팅 각도, 첫 패스 위치, 패스 수, 참여 선수 수, 평균 패스 거리, 선수들의 퍼포먼스 지수 (Sofifa 데이터 기반), 경기 상황 (오픈 플레이, 프리킥 등) 등을 포함합니다.
  • 학습 알고리즘: 불균형 데이터 (득점은 드물게 발생) 에 적합한 **이진 회귀 (Binary Regression, cloglog link)**와 XGBoost를 비교 분석하여 최적의 모델을 선정했습니다.
  • 역할: xGA 는 협력 게임 이론에서 '결속 함수 (Cohesion Function, $v(S)$)'로 사용되어, 특정 선수 조합이 창출한 공격의 가치를 수치화합니다.

B. 선수의 제한적 샤플리 (PRS, Player's Restricted Shapley) 통계량

• 제한적 협력 (Restricted Cooperation): 실제 축구 경기에서 관찰된 패스 네트워크를 기반으로, 전술적으로 허용 가능한 선수 조합 (Coalition) 만을 고려합니다. 관찰되지 않은 조합은 제외하거나 가중치를 조정합니다.
• 계산식:
  • 기존 샤플리 값은 모든 가능한 조합을 고려하지만, PRS 는 관찰된 조합 ($C_i$) 에 조건부 (Conditional) 로 계산됩니다.
  • $PRS_i = \frac{\hat{\phi}^R_i}{SE(\hat{\phi}^R_i)}$
  • 여기서 $\hat{\phi}^R_i$는 제한된 조합 하에서의 한계 기여도 추정치이며, 분모는 부트스트랩 (Bootstrap) 을 통해 추정한 표준 오차입니다.
• 통계적 의미: PRS 는 **신호 대 잡음비 (Signal-to-Noise Ratio)**로 해석됩니다. 이는 개별 선수의 기여도가 추정 오차에 비해 얼마나 유의미한지를 나타내며, 참여 빈도가 다른 선수들 간의 공정한 비교를 가능하게 합니다.

3. 주요 기여 (Key Contributions)

1. 새로운 지표 (xGA) 의 제안: 빌드업 플레이와 팀 상호작용을 통합한 맥락 기반의 공격 질 측정 지표 개발.
2. 협력 게임 이론의 적용 및 수정: 축구라는 협력적 환경에 맞춰, 관찰된 패스 네트워크 기반의 '제한적 샤플리 값 (Restricted Shapley Value)'을 도입하고 이를 통계적으로 유의미한 PRS 통계량으로 변환.
3. 불확실성 고려: 부트스트랩 기법을 통해 추정치의 표준 오차를 계산하고, 이를 정규화하여 선수 간 기여도의 안정성과 신뢰도를 평가할 수 있는 프레임워크 제공.
4. 실증적 검증: 2022/23 시즌 세리에 A 의 8,421 건의 슈팅 데이터를 활용하여 AC 밀란과 SSC 나폴리 두 팀의 사례 연구를 통해 방법론의 유효성을 입증.

4. 실증 분석 결과 (Results)

• 데이터: 2022/23 시즌 세리에 A 의 8,421 건 슈팅 행동 데이터 (Whoscored, Understat, Sofifa 데이터 통합).
• 모델 성능 (xGA vs xG):
  • XGBoost 기반의 xGA 모델이 기존 xG 모델 대비 MCC(매튜스 상관 계수) +10.5%, 정밀도 (Precision) +7.1%, F1 점수 +5.7% 등 주요 지표에서 유의미한 성능 향상을 보였습니다.
  • 특히 드물게 발생하는 득점 사건 (Rare events) 에 대한 분류 능력이 향상되었습니다.
• 선수 기여도 분석 (AC 밀란 vs SSC 나폴리):
  • 이질성 발견: 팀 내에서도 선수별 기여도 (PRS) 에 큰 편차가 존재함이 확인되었습니다.
  • SSC 나폴리: 빅터 오시멘 (Victor Osimhen) 이 가장 높은 PRS 값을 기록하며 팀 공격의 핵심 역할을 수행함을 확인.
  • AC 밀란: 올리비에 지루와 라파엘 레앙이 높은 기여도를 보였으며, 수비수 (토모리, 테오 에르난데스) 도 공격 빌드업에 상당한 기여를 하는 것으로 나타남.
  • 부정적 기여: 일부 선수 (예: AC 밀란의 조니 메시아스, SSC 나폴리의 스타니슬라브 로브트카 등) 는 PRS 가 음수 (-) 로 나타나, 그들이 포함된 조합이 평균 이하의 공격 질을 만들어냈음을 시사.
• 결합 분석 (PRS vs 개인 득점 효율성):
  • **PRS(협력 기여도)**와 **G90-xG90(개인 득점 효율성)**을 산점도로 분석.
  • 우상향 (High PRS, High Efficiency): 라파엘 레앙 (AC 밀란) 처럼 팀 빌드업과 개인 득점 능력을 모두 갖춘 '슈퍼스타' 유형.
  • 좌상향 (Low PRS, High Efficiency): 빌드업 참여는 적으나 득점 효율은 높은 '스노우 (Sniper)' 유형.
  • 우하향 (High PRS, Low Efficiency): 팀 공격을 주도하지만 개인 득점 효율은 낮은 '빌드업 플레이어' 유형 (예: 지루, 토모리).
  • 좌하향 (Low PRS, Low Efficiency): 두 가지 측면 모두 기여도가 낮은 선수.

5. 의의 및 결론 (Significance)

• 의사결정 지원: 이 프레임워크는 구단 스카우팅, 자원 배분, 전술 분석에 있어 경제적으로 지속 가능한 의사결정을 지원합니다. 전통적 통계로 과소평가되었던 '협력적 기여도'가 높은 선수들을 식별할 수 있게 합니다.
• 해석 가능성: PRS 는 단순한 순위 매기기를 넘어, 특정 전술적 맥락에서 선수의 한계 기여도와 그 불확실성을 동시에 제공하여 더 정교한 선수 평가를 가능하게 합니다.
• 미래 연구 방향: 향후 소유권 (Possession) 이 슈팅으로 이어지지 않는 시퀀스까지 확장하거나, 추적 데이터 (Tracking Data) 를 활용하여 오프볼 움직임과 공간적 상호작용을 더 정밀하게 모델링할 수 있는 가능성을 제시합니다.

요약하자면, 이 논문은 축구의 협력적 특성을 반영하기 위해 '모델 기반의 제한적 샤플리 값 (PRS)'을 제안하고, 이를 통해 개별 선수의 팀 기여도를 맥락적이고 통계적으로 유의미하게 측정하는 새로운 분석 체계를 확립했습니다.