Beyond Black-Scholes: A Computational Framework for Option Pricing Using Heston, GARCH, and Jump Diffusion Models

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🍕 1. 문제: "완벽한 피자"는 없다 (기존 Black-Scholes 모델의 한계)

과거부터 금융가에서는 **'블랙 - 숄즈 (Black-Scholes)'**라는 공식을 써서 옵션 (주식을 미래에 사거나 팔 수 있는 권리) 의 가격을 계산해 왔습니다. 이 공식은 마치 **"피자가 항상 똑같은 크기와 재료를 가진다고 가정"**하는 것과 같습니다.

기존 방식의 문제점:
- 변동성 (Volatility) 은 일정하다: 주가가 흔들리는 정도가 항상 일정하다고 믿습니다. (실제로는 시장이 불안할 때 흔들림이 심해집니다.)
- 갑작스러운 충격은 없다: 주가가 갑자기 폭등하거나 폭락하는 '점프' 현상을 고려하지 않습니다. (예: 전쟁 발발, 금융 위기 등)
- 결과: 실제 시장은 이 가설과 다르게 매우 예측 불가능하고 급변하기 때문에, 이 공식으로 계산한 가격은 실제 시장 가격과 차이가 날 수밖에 없습니다.

🎲 2. 해결책: "수천 번의 시뮬레이션" (몬테카를로 방법)

저자들은 이 문제를 해결하기 위해 **'몬테카를로 (Monte Carlo)'**라는 방법을 도입했습니다.

비유: 주가 미래를 예측하는 대신, 컴퓨터로 주가 시나리오를 10,000 번 이상 돌려보는 것입니다.
- "내일 주가가 오를까?", "내일 주가가 떨어질까?"를 무작위로 수천 번 시뮬레이션해서, 그 결과들의 평균을 내어 가격을 산정합니다.
- 마치 주사위를 100 번 던져서 나올 확률을 계산하는 것과 비슷합니다. 이렇게 하면 단순한 공식보다 훨씬 다양한 상황을 반영할 수 있습니다.

🚀 3. 업그레이드된 3 가지 모델 (더 현실적인 시나리오)

저자들은 단순한 시뮬레이션에 세 가지 '특수 기능'을 추가하여 더 정교한 모델을 만들었습니다.

① GARCH 모델: "날씨 예보관"

비유: 주가의 흔들림 (변동성) 은 항상 일정하지 않고, 폭풍우가 몰아치면 다음 날도 폭풍우가 올 확률이 높고, 맑은 날은 다음 날도 맑을 확률이 높다는 '군집 (Clustering)' 현상이 있습니다.
역할: 과거 데이터를 분석해 앞으로의 '날씨 (변동성)'를 예측합니다. 이 예측된 날씨 정보를 시뮬레이션에 넣으면, 실제 시장 상황에 훨씬 더 가까운 가격을 계산할 수 있습니다.

② 헤스턴 (Heston) 모델: "유연한 고무줄"

비유: 기존 모델은 주가의 흔들림을 '단단한 막대기'처럼 고정시켰다면, 헤스턴 모델은 주가의 흔들림을 '유연한 고무줄'처럼 다룹니다.
역할: 주가가 오를 때 흔들림이 커지고, 내릴 때 줄어들 수 있는 **변동성의 변화 (확률적 변동성)**를 직접 모델에 포함시킵니다. 덕분에 시장이 급변할 때 더 정확한 가격을 보여줍니다.

③ 머튼 점프 (Merton Jump) 모델: "지진 발생"

비유: 주가는 보통 부드럽게 움직이지만, 가끔 지진처럼 갑자기 튀어 오르는 (점프) 현상이 발생합니다. 기존 모델은 이 지진을 무시했습니다.
역할: 이 모델은 **갑작스러운 주가 폭등/폭락 (점프)**을 시뮬레이션에 포함시킵니다. 특히 암호화폐나 뉴스에 민감한 주식처럼 가격이 급격히 변하는 자산의 가격을 계산할 때 매우 유용합니다.

🤖 4. 마법 같은 도구: 머신러닝 (기계 학습)

이 모델들은 수학적 변수 (파라미터) 가 많습니다. 이 변수들을 어떻게 설정하느냐에 따라 결과가 달라집니다.

방법: 저자들은 머신러닝 (기계 학습) 기술을 써서, 과거 시장 데이터와 가장 잘 맞는 '최적의 변수'를 자동으로 찾아냈습니다.
효과: 사람이 일일이 계산할 때보다 훨씬 빠르고 정확하게 모델이 실제 시장 가격에 맞춰지도록 '튜닝'했습니다.

📊 5. 연구 결과: 무엇이 더 좋았나?

저자들은 테슬라 (TSLA), 메타 (META), AMC 같은 실제 주식 데이터를 가지고 실험했습니다.

기존 모델 (블랙 - 숄즈): 가격이 너무 단순해서 실제 시장 가격과 차이가 컸습니다. 특히 주가가 급변할 때는 큰 오차가 발생했습니다.
새로운 모델 (헤스턴 + 머신러닝): 실제 시장 가격과 가장 근접한 결과를 보여줬습니다. 변동성이 심한 상황에서도 가격을 잘 예측했습니다.
머튼 점프 모델: 주가가 갑자기 튀는 상황에서는 이 모델이 가장 잘 작동했습니다.

💡 6. 결론: 왜 이 연구가 중요한가?

이 연구는 "이론적인 수학 공식"과 "실제 시장의 혼란" 사이의 간극을 메웠습니다.

투자자/트레이더: 더 정확한 가격을 알 수 있어 손실을 줄이고 수익을 극대화할 수 있습니다.
금융 기관: 리스크 (위험) 를 더 정확하게 관리할 수 있습니다.
미래: 이 연구는 머신러닝과 양자 컴퓨팅 같은 최신 기술을 더 접목하면, 훨씬 더 정교한 금융 시스템을 만들 수 있다는 가능성을 보여줍니다.

한 줄 요약:

"예전에는 주가 미래를 '단순한 공식'으로만 계산했지만, 이제는 컴퓨터로 수천 번 시뮬레이션하고, **날씨 예보 (GARCH)**와 **지진 예측 (점프)**을 추가하며, AI 가 가장 잘 맞는 설정을 찾아주게 함으로써, 훨씬 더 현실적인 옵션 가격을 예측할 수 있게 되었습니다."

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논문 요약: 헤스턴, GARCH, 점프 확산 모델을 활용한 옵션 가격 결정을 위한 계산 프레임워크

1. 문제 제기 (Problem Statement)

전통적인 블랙 - 숄즈 (Black-Scholes, BS) 모델은 옵션 가격 결정의 표준으로 자리 잡았으나, 다음과 같은 현실적인 한계를 가지고 있습니다.

일정한 변동성 가정: 실제 금융 시장은 변동성이 시간에 따라 변화하고 (변동성 군집 현상), 특정 사건 시 급격히 변합니다.
연속적인 가격 이동 가정: BS 모델은 기하 브라운 운동 (GBM) 을 기반으로 하여 가격이 연속적으로 움직인다고 가정하지만, 실제 시장에서는 2008 년 금융위기 등 갑작스러운 가격 점프 (Jump) 가 발생합니다.
유로형 옵션 제한: 미국식 옵션 등 경로 의존적 (Path-dependent) 옵션이나 배당금 지급을 고려하기 어렵습니다.

이 연구는 이러한 한계를 극복하고, 더 정교한 시장 역학을 반영하여 옵션 가격을 정확하게 추정하기 위한 계산 프레임워크를 개발하는 것을 목표로 합니다.

2. 방법론 (Methodology)

이 연구는 **몬테카를로 시뮬레이션 (Monte Carlo Simulation)**을 핵심 엔진으로 사용하여, 다음과 같은 4 가지 모델을 구현하고 비교 분석했습니다. 모든 모델은 Python으로 구현되었으며, Yahoo Finance API를 통해 실시간 및 과거 데이터를 활용했습니다.

A. 기본 몬테카를로 방법 (Black-Scholes Monte Carlo)

기하 브라운 운동 (GBM) 을 사용하여 수천 개의 자산 가격 경로를 시뮬레이션합니다.
BS 모델의 단순성과 몬테카를로의 유연성을 결합하여 경로 의존적 옵션이나 변동하는 시장 조건을 처리합니다.
공식: $S_{t+\Delta t} = S_t \exp[(r - \frac{1}{2}\sigma^2)\Delta t + \sigma Z_t]$

B. 머턴 점프 확산 모델 (Merton Jump Diffusion Model)

BS 모델의 연속성 가정을 보완하기 위해 **포아송 과정 (Poisson process)**을 도입하여 갑작스러운 가격 점프를 모델링합니다.
ML 기반 최적화: 점프 파라미터 ( $\lambda_j, \mu_j, \sigma_j$ ) 를 추정하기 위해 L-BFGS-B 최적화 알고리즘을 사용하여 시장 가격과 모델 가격 간의 오차 (MSE) 를 최소화합니다.
공식: $dS(t) = S(t)[\mu dt + \sigma dW(t) + (J-1)dN(t)]$

C. GARCH 모델 (Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity)

변동성의 시간 의존성과 **군집 현상 (Clustering)**을 포착하기 위해 GARCH(1,1) 모델을 적용합니다.
과거 데이터를 기반으로 미래 변동성을 예측하여, 이를 몬테카를로 시뮬레이션의 입력값 ( $\sigma$ ) 으로 사용합니다.
이를 통해 미래 3 일간의 옵션 가격을 예측합니다.

D. 헤스턴 모델 (Heston Model)

**확률적 변동성 (Stochastic Volatility)**을 도입하여 변동성 자체가 확률 과정을 따르도록 모델링합니다.
변동성 스웨이크 (Skew) 와 군집 현상을 잘 설명할 수 있습니다.
ML 기반 최적화: 헤스턴 파라미터 ( $\kappa, \theta, \sigma_v$ ) 를 추정하기 위해 L-BFGS-B 최적화기를 사용하여 역사적 변동성과 모델 예측 변동성의 차이를 최소화합니다.

데이터셋: 테슬라 (TSLA), 메타 (META), AMC 엔터테인먼트, MARA 홀딩스, 쇼피파이 (SHOP) 등 5 종의 주식 옵션 데이터를 사용했습니다.

3. 주요 기여 (Key Contributions)

통합 계산 프레임워크 구축: 블랙 - 숄즈의 단순함과 몬테카를로의 계산 능력을 결합하여, GARCH, 헤스턴, 머턴 점프 확산 모델을 통합한 유연한 가격 결정 시스템을 제시했습니다.
머신러닝 기반 파라미터 최적화: 전통적인 최적화 기법 대신 L-BFGS-B와 같은 그래디언트 기반 최적화 알고리즘을 적용하여 헤스턴 및 머턴 모델의 파라미터를 시장 데이터에 맞춰 정밀하게 보정 (Calibration) 했습니다.
다양한 시장 조건 대응:
- GARCH: 변동성 군집을 반영한 미래 가격 예측.
- 머턴: 급격한 시장 충격 (점프) 이 있는 자산 (예: 암호화폐 관련 주식) 에 대한 가격 결정.
- 헤스턴: 장기 만기 옵션 및 변동성이 동적인 자산에 대한 정밀한 가격 결정.

4. 결과 (Results)

2024 년 11 월 실험 데이터를 기반으로 한 결과는 다음과 같습니다.

정확도 향상: 모든 고급 모델 (헤스턴, 머턴, GARCH) 이 전통적인 GBM 기반 몬테카를로 모델보다 시장 가격과 더 높은 일치도를 보였습니다.
헤스턴 모델의 우수성:
- 테슬라 (TSLA) 와 AMC 데이터에서 헤스턴 모델은 시장 가격과 가장 근접한 결과를 보였습니다.
- 특히 저행위 (Low Strike) 에서 GBM 이 과대평가하고, 고행위 (High Strike) 에서 과소평가하는 경향을 보인 반면, 헤스턴 모델은 변동성 스웨이크를 반영하여 전반적으로 오차를 줄였습니다.
머턴 점프 확산 모델:
- 메타 (META) 와 AMC 에서 점프 요소를 포함함으로써 급격한 가격 변동 시 더 현실적인 가격을 산출했습니다.
- 다만, 고행위 옵션에서 시장 가격보다 약간 과대평가하는 경향이 있었으며, 이는 역사적 데이터의 부족과 변동성의 확률적 성질 완전 포착의 어려움 때문으로 분석되었습니다.
GARCH 모델:
- 미래 3 일간의 가격 예측에서 변동성 군집을 잘 반영했으나, 특정 행가 (Strike Price) 에서 실제 시장 가격과의 편차가 발생했습니다. 이는 학습 데이터의 제한과 시장의 갑작스러운 심리 변화 (점프) 를 완전히 반영하지 못했기 때문입니다.

5. 의의 및 결론 (Significance & Conclusion)

실무적 적용성: 이 연구는 이론적 가정과 실제 시장 복잡성 사이의 간극을 해소하는 실용적인 도구를 제공합니다. 금융 관리자는 이를 통해 더 정확한 헤지 전략과 투자 결정을 내릴 수 있습니다.
모델의 진화: 블랙 - 숄즈 모델의 한계를 넘어, 변동성의 확률적 성질과 가격 점프를 동시에 고려한 하이브리드 접근법의 유효성을 입증했습니다.
향후 연구 방향:
- 신경망 (Neural Networks): 파라미터 최적화 및 동적 패턴 학습을 위해 딥러닝 (LSTM 등) 적용.
- 양자 워크 (Quantum Walks): 주식 가격 및 변동성 경로 시뮬레이션을 위한 양자 컴퓨팅 기법 도입을 통해 계산 효율성과 통찰력을 극대화할 것을 제안합니다.

이 논문은 금융 공학 분야에서 데이터 기반 접근법과 확률적 모델을 결합하여 복잡한 파생상품 가격 결정 문제를 해결하는 새로운 패러다임을 제시한다는 점에서 의의가 큽니다.