Unsolved Problems in Group Theory. The Kourovka Notebook

《库罗夫卡笔记》第 21 版汇集了全球数百名数学家提出的群论未解难题，自 1965 年每隔 2 至 4 年出版一次，本版收录了 150 个新问题及针对往届问题的若干评注。

要点

这是一份关于数学界最著名、历史最悠久的“未解之谜”清单的说明。这份文件是**《库罗夫卡笔记本》（Kourovka Notebook）第 21 版**（2026 年版）的目录和部分内容预览。

为了让你轻松理解，我们可以把这份文件想象成数学界的“未解之谜大百科”或者“群论界的《达芬奇密码》线索集”。

1. 这是什么？（一本“数学寻宝图”）

想象一下，数学界有一个巨大的、由无数房间组成的迷宫，这个迷宫叫做**“群论”**（Group Theory）。群论是研究对称性、结构和变换的数学分支，它就像世界的底层代码，从晶体结构到量子物理，再到密码学，无处不在。

这本《库罗夫卡笔记本》就是这张迷宫的**“寻宝图”**。

• 起源：它始于 1965 年，由苏联数学家在科罗夫卡村（Kourovka）的一次会议上提出。
• 内容：它收集了全球 500 多位顶尖数学家提出的未解问题。
• 更新：就像游戏版本更新一样，这本书每 2-4 年更新一次。第 21 版（2026 年）是最新的，里面包含了 150 个全新的难题，同时也记录了以前那些已经被“通关”（解决）的问题。

2. 为什么叫“库罗夫卡笔记本”？

这就好比一个**“数学界的漂流瓶”**。

• 1965 年，数学家 M. I. Kargapolov 在一个小村庄的会议上提议：与其各自为战，不如把大家遇到的“拦路虎”（难题）都记在一个本子上，公之于众。
• 这个名字就像是一个**“数学界的通缉令”**，悬赏全球数学家来攻克这些难题。
• 经过 60 多年的努力，这本笔记里的很多“通缉犯”已经被抓住了（约 3/4 的早期问题已被解决），但新的难题又不断涌现。

3. 书里都在问什么？（用生活化的比喻）

书里的每一个问题，都是对“对称性”和“结构”的终极拷问。我们可以用几个比喻来理解：

• 问题 1.3：零因子的幽灵

  • 原文：无挠群（torsion-free group）的群环里会有“零因子”吗？
  • 比喻：想象你在玩一个数字游戏，规则是“任何两个非零数字相乘，结果都不可能是零”。这本笔记在问：如果我们把一群特殊的“数字”（群元素）组合在一起玩，会不会突然冒出一个“幽灵”，让两个非零的东西乘起来变成了零？如果会，那我们的游戏规则（数学逻辑）就需要重写。

• 问题 2.48：局部与整体的谎言

  • 原文：如果一个连通的拓扑群在单位元附近满足某个恒等式，那它在整个群中都满足吗？
  • 比喻：这就像是在说：“如果我在你家门口（局部）看到一只猫，是不是意味着整个宇宙（整体）都是猫？”或者“如果我在一个小房间里发现空气是静止的，是不是整个地球的大气层都是静止的？”数学家们发现，有时候局部是真的，整体却是假的（就像 2024 年发现的反例：在某个小范围内 $x^n=1$ 成立，但在整个大范围内不成立）。

• 问题 15.12：分形树与怪物

  • 原文：是否存在具有“分支群”（branch groups）性质的群？
  • 比喻：想象一棵无限生长的树，每一根树枝又长出无数根小树枝。有些“怪物”（群）就藏在这棵树的深处。这些怪物非常复杂，它们的行为既像分形（自相似），又像机器。数学家想知道：这些怪物里有没有那种“既疯狂（非阿梅纳）又不会包含自由群”的奇怪家伙？（2024 年有人找到了这样的怪物！）

• 问题 20.121：怪兽的弱点

  • 原文：关于有限单群（数学界的“原子”）的某些子群结构。
  • 比喻：如果把有限单群比作乐高积木中最基础、不可再分的“原子”，那么这个问题就是在问：如果你把这些原子堆成一个大城堡，能不能找到一种特定的“积木块组合”（子群），使得整个城堡的结构变得透明？这有助于我们理解宇宙中最复杂的对称结构。

4. 这本书有什么特别之处？

• 它是“活”的：这不是一本死板的教科书。你看目录里，很多问题的旁边都有星号（*）和最新的注释。比如，有些问题在 2024 年、2025 年甚至 2026 年刚刚被解决！
  • 例子：问题 14.19 问“双曲群是否有诺特方程性质？”，旁边写着“是的，2019 年解决了”。
  • 例子：问题 21.15 问“两个对称群的 amalgamated free product 能否嵌入对称群？”，旁边写着“不，2026 年 1 月刚被证明不行”。
• 它是“全球协作”的见证：这些问题来自世界各地。解决它们的人，可能是俄罗斯的教授，也可能是美国的博士后，或者是中国的研究生。这本笔记就是他们的“留言板”。
• 它是“未来的路标”：对于年轻数学家来说，翻开这本书，就像拿到了**“未来十年的研究指南”**。如果你能解开其中任何一个问题，你的名字就会像爱因斯坦、欧拉一样，被写进数学史。

5. 总结：为什么普通人应该关心？

你可能觉得“群论”离生活很远，但这本笔记里的每一个问题，都在挑战人类认知的边界。

• 密码学：很多加密算法依赖于群论的复杂性。如果某些“未解之谜”被解开，可能会让现有的加密系统失效，或者创造出更安全的加密方式。
• 物理世界：粒子物理中的对称性（如标准模型）就是群论的应用。理解这些结构，有助于我们理解宇宙是如何构成的。
• 人类智慧：这本笔记展示了人类最聪明的大脑是如何像探险家一样，在未知的数学荒原上插旗。每一个被解决的“问题”，都是人类智慧的一座新里程碑。

一句话总结：
《库罗夫卡笔记本》第 21 版，就是一份2026 年的“数学界通缉令”。它列出了 150 个最狡猾的“数学怪兽”，邀请全世界的数学家去挑战。如果你能解开其中一个，你就将名垂青史。而这本书本身，就是这场持续了 60 年的伟大探险的最新地图。

技术摘要

这是一份关于《库罗夫卡笔记》（The Kourovka Notebook）第 21 版（2026 年）的详细技术总结。该文件是群论领域最著名、历史最悠久的未解决问题集。

1. 问题背景与概述 (Problem Background)

• 来源与历史：《库罗夫卡笔记》由 M. I. Kargapolov 于 1965 年在苏联斯维尔德洛夫斯克附近的库罗夫卡村举行的全联盟群论研讨会（Problem Day）上提出。自那时起，每 2-4 年出版一期，旨在收集群论及相关数学领域的未解决问题。
• 当前版本：本文档为第 21 版（2026 年），由 E. I. Khukhro（英国林肯大学）和 V. D. Mazurov（俄罗斯新西伯利亚 Sobolev 数学研究所）编辑。
• 规模与范围：本期包含 150 个新问题，并收录了从 1965 年第 1 期到 2022 年第 20 期的所有历史问题。其中，许多旧问题已得到解决，并在文中附有评论和参考文献。
• 核心领域：涵盖群论的几乎所有分支，包括有限群、无限群、有限生成群、拓扑群、李群、辫群、Burnside 问题、群环、表示论、组合群论以及群与图论的交叉领域。

2. 方法论与结构 (Methodology and Structure)

本文并非传统的研究论文，而是一份问题集（Problem Collection），其方法论体现在：

• 分类编排：问题按出版年份（第 1 期至第 21 期）分类，便于追踪问题的历史演变。
• 状态标注：
  • 未解决问题：列出问题陈述、提出者及背景。
  • 已解决问题：在问题旁标注星号（*）或“Editors' comment"，提供解决方案的简要说明、关键定理及参考文献（通常指向最新的预印本或期刊论文，包括 2024-2026 年的最新成果）。
  • 部分解决/进展：对于尚未完全解决但取得重大进展的问题，提供当前研究状态。
• CFSG 的使用：文中明确区分了依赖“有限单群分类定理”（CFSG）的解法和独立于 CFSG 的解法，体现了现代群论对基础定理依赖性的反思。
• 索引与档案：包含“已解决问题档案”（Archive of Solved Problems）和“人名索引”，方便研究者检索特定领域或特定作者的工作。

3. 关键贡献与主要内容 (Key Contributions and Content)

本期笔记的主要贡献在于更新和整合了过去 60 多年的群论研究进展。以下是几个关键领域的重点内容：

A. 有限群与表示论 (Finite Groups and Representation Theory)

• 特征标理论：包含大量关于特征标度数、核、代码度（codegrees）以及特征标表确定群结构的问题。例如，问题 20.78-20.80 探讨了特征标代码度与群结构（如可解性、单群识别）的关系。
• 单群识别：涉及通过谱（元素阶集合）、特征标度数集合或格结构来识别有限单群的问题（如问题 18.62, 20.31, 21.94）。
• 块理论 (Block Theory)：包含关于缺陷群、高度、Brauer 猜想及相关不变量的问题（如问题 13.43, 18.64, 21.91）。
• 近期解决示例：
  • 问题 12.37：关于群类型（元素阶分布）是否决定可解性的猜想被证伪（P. Piwek, 2025）。
  • 问题 14.4：关于 nilpotent 群拓扑格模性的问题被解决（V. Arnautov, 2023）。

B. 无限群与组合群论 (Infinite Groups and Combinatorial Group Theory)

• Burnside 问题：关于 Burnside 群 $B(m, n)$ 的有限性、自同构群结构及零因子问题（如问题 11.36, 18.88）。
• 自由群与自同构：关于自由群 $F_n$ 的自同构群、特征子群、测试集（test sets）及不变子群的问题（如问题 14.17, 19.102-19.105）。
• Engel 条件：关于 Engel 元素是否构成子群、Engel 群的局部有限性及可解性问题（如问题 16.15, 17.4-17.11）。
• 近期解决示例：
  • 问题 19.102-19.105：关于自由群中压缩子群（compressed subgroups）与惰性子群（inert subgroups）的关系，由 A. Jaikin-Zapirain (2024) 证明压缩子群是惰性的，且其交也是压缩的。
  • 问题 15.14：关于分支群（branch groups）的非可解性，由 S. Kionke 和 E. Schesler (2024) 构造了反例。

C. 拓扑群与几何群论 (Topological Groups and Geometric Group Theory)

• 局部紧群：关于局部紧群的结构、闭子群格、极小群及可解性问题（如问题 6.11, 9.35, 19.21）。
• 超双曲群 (Hyperbolic Groups)：关于超双曲群的共轭问题、稳定性、边界映射（Cannon-Thurston map）及性质（如问题 13.12, 19.42, 21.39）。
• 分支群与自相似群：关于分支群的可解性、增长速率及在树上的作用（如问题 15.12-15.16, 20.101）。
• 近期解决示例：
  • 问题 19.74：关于是否存在不含非平凡真异常子群（abnormal subgroups）的无限单群，由 S. Corson (2025) 给出肯定回答。

D. 群环与代数结构 (Group Rings and Algebraic Structures)

• 零因子猜想：关于群环 $Z[G]$ 是否存在零因子的经典问题（如问题 1.3, 1.5）。
• 单位群结构：关于整群环单位群的结构、Bass 子群及有限生成问题（如问题 12.1, 20.5）。
• 近期解决示例：
  • 问题 11.36：关于 Burnside 群环中零因子的存在性，由 S. V. Ivanov 和 R. Mikhailov (2014) 证明存在非平凡零因子。

E. 新提出的前沿问题 (New Problems in Issue 21)

第 21 期提出了 150 个新问题，反映了当前研究热点：

• 超稳定与置换稳定性：关于群的置换稳定性（permutation stability）和灵活置换稳定性（flexibly permutation stable）（问题 21.83-21.85）。
• Sofic 群：关于所有群是否都是 Sofic 群的著名猜想（问题 21.86）。
• Rota-Baxter 算子：关于群上 Rota-Baxter 算子的存在性及像的结构（问题 20.124-20.125）。
• Braces 与 Yang-Baxter 方程：关于 Brace 结构、预李代数（pre-Lie algebras）与 Yang-Baxter 方程解的联系（问题 20.92, 21.123）。
• Thompson 群 F：关于 Thompson 群 F 的自动机性质、准同构及子群结构（问题 21.43, 21.45-21.47, 21.143-21.145）。

4. 主要结果与解决状态 (Key Results and Status)

• 解决率：据前言所述，前 1-2 期中的问题超过 3/4 已解决。第 21 期特别强调了 2022 年之后的最新进展。
• 依赖 CFSG 的解决：许多关于有限单群结构、极大子群分类及特征标理论的问题，其解决方案依赖于有限单群分类定理（CFSG）。
• 独立于 CFSG 的进展：编辑们特别关注那些不依赖 CFSG 的解法，例如在 Burnside 问题、Engel 条件及某些有限群分类中的进展。
• 反例构造：许多长期猜想通过构造复杂的反例（如利用 Golod 群、Olshanskii 的几何方法、分支群等）被证伪。

5. 意义与影响 (Significance)

• 研究指南针：《库罗夫卡笔记》是群论研究者的“圣经”，为年轻学者提供了明确的研究方向，也为资深专家提供了挑战性的课题。
• 学术交流枢纽：通过记录问题的提出、进展和解决，它促进了全球群论学者的交流，避免了重复劳动，并揭示了不同领域（如几何群论与有限群论）之间的深刻联系。
• 历史见证：作为一份持续 60 多年的文档，它记录了群论从经典结构理论向几何、拓扑、逻辑及计算复杂性方向发展的历史轨迹。
• 推动数学发展：许多问题的解决直接推动了相关数学分支的发展，例如 Burnside 问题的解决推动了组合群论和几何群论的爆发式增长；特征标问题的解决深化了对有限单群表示的理解。

总结：
《库罗夫卡笔记》第 21 版不仅是一份未解决问题清单，更是一部群论研究的动态百科全书。它通过系统整理 1965 年至 2026 年的核心问题，展示了群论领域的辉煌成就与未竟挑战。对于任何从事代数、几何或逻辑研究的数学家而言，这都是不可或缺的重要文献。