1651 ورقة بحثية
تثبت هذه الورقة أن فضاء المودولي للأسطح التكعيبية المعقدة الناعمة ليس له تحويلات ذاتية بيهومورفية غير بديهية، وذلك من خلال إثبات أن زمرة القواسم في زمرة الأساس المدارية (orbifold fundamental group) هي زمرة مميزة، مما يؤدي إلى ترميز هندسة الأسطح التكعيبية العقيدية ضمن نظريتها الزمرية.
تقدم هذه الورقة مفهومًا جديدًا للمنحنيات الاستوائية المجردة يستوعب الأشعة المتوازية لتصحيح خلل في التعريف التقليدي، وتؤسس تكافؤًا فئويًا متغايرًا بين هذه المنحنيات ونصف حقول دوال عقلانية محددة، وتترجم المفاهيم الهندسية مثل أوزان الحواف وشرط التوازن إلى مصطلحات جبرية.
تُنشئ هذه الورقة تقابلاً بين فضاءات الموديولي للأقراص الهولومورفية التي يحدها تحت-منوع لاغرانج متماثل تحت تأثير مجموعة وبين نظيرها في ناتج GIT، مما يوفر صيغة فعالة حسابياً لاستخلاص جهد القرص للناتج من الجهد الأصلي عبر جهد القرص شبه المستقر.
تثبت هذه الورقة أنه إذا كانت درجات جبرين إيتال (étale algebras) أوليين فيما بينهما، وكانت توريات المعيار الواحد (norm one tori) الخاصة بهما عقلانية استقراراً (stably rational) أو عقلانية تراجعية (retract rational)، فإن توري المعيار الواحد لضربهما التنسوري يشترك في هذه الخصائص العقلانية، مما يضمن تحقق مبدأ معيار هاسي (Hasse norm principle) للتمديد الناتج فوق حقل عالمي.
تتقصى هذه الورقة العلاقة بين أقطاب الدوال الزالية (zeta functions) الدافعية والطوبولوجية للتشاكلات المنتهية بين الأسطح الطبيعية، حيث تثبت احتواءً عاماً للحالة الدافعية، وتوضح عدم وجود مثل هذا الاحتواء للحالة الطوبولوجية، وتؤسس للتساوي أو لمعايير محددة لخرائط القسمة الناتجة عن تأثيرات مجموعات أبيلية منتهية على .
تُوصّف هذه الورقة الاشتقاقات النجيلية الموضعية المتجانسة بالنسبة لـ في جبرات الثلاثيات الحدودية، والتي تعمل كحلقات كوكس للمتنوعات ذات فعل التوروس من التعقيد الواحد.
تقدم هذه الورقة متغيرات الرتب للمقاييس والمتراكبات فوق الأسطح الفائقة العامة باستخدام تمديد السكالات، مبرهنةً أن كل تنوع إسقاطي يمكن تحقيقه كمتغير رتبة من هذا النوع مع استقصاء خصائصها الأساسية.
تثبت هذه الورقة أن مخطط هيلبرت اللوغاريتمي لنقاط على منحنى أملس منقط هو عملية نفخ موزونة متكررة لمنتجه المتماثل، مع تحديد مراكز النفخ والأوزان صراحةً لاشتقاق حلقة تشو التكاملية للمخطط واستعادة بنيته كمخطط توريك في حالة .
توسع هذه الورقة نتائج فيال ومارتن-فيال حول الدورات الصفرية لتشمل فضاءات المودولي للملافيات الملتوية على سطوح K3، مبرهنةً أنه بالنسبة لرباعيات EPW المزدوجة، يمكن إثبات تكافؤ الدورات الصفرية الفعالة وتطابق فئات بوفيل-فواسان الملتوية والقياسية عبر تمثيلهما كفضاءات مودولي وارتباطهما برباعيات فيرا.
تصنف هذه الورقة الـ "لي ألبيربويد" (Lie algebroids) الجبرية المتعدية القابلة للتكامل على المتنوعات العقدية الإسقاطية الملساء، وتؤسس إطاراً "تاناكياً" (Tannakian) لبناء وتوصيف فضاءات تعديل الحزم الرئيسية ذات الاتصالات وحزم "هيغز" الملتوية المرتبطة بها، وتثبت تقابلاً "هودجياً" غير أبلي (non-abelian Hodge correspondence) موتيّفياً من خلال إثبات شبه إسقاطية فضاءات تعديل "هودج-" الناتجة.