2022 ورقة بحثية
تُطوّر هذه الورقة طريقة "غاليركين" المتقطعة المحلية (LDG) باستخدام دالات أساس "ليجاندر" لحل معادلات الانتشار والحمل غير الخطية ذات مؤثرات كسرية في المكان والزمان، مع إثبات استقرارها ورتبة تقاربها المثلى من خلال التحليل العددي.
تقترح هذه الورقة طريقة تحويل محلي ضمني-صريح جديدة (IELDTM) للتكامل الزمني لمعادلات الانتشار-الحمل غير الخطية، والتي توفر عند دمجها مع طريقة كولكيشن طيف تشيبيشيف نهجاً عددياً عالي الرتبة، ومحافظاً على الاستقرار، وفعالاً حاسوبياً يتفوق على أدوات الحل القياسية في ماتلاب (MATLAB).
تقترح هذه الورقة إطار عمل تعاوني يدمج نهج CDIO ("كيفية التنفيذ") والتفكير الحوسبي ("كيفية التفكير") لحل مشكلات STEM المعقدة في نمذجة الأنظمة ومحاكاتها، باستخدام حساب دورة البندول الرياضي وطرق متنوعة لحساب التكاملات الإهليلجية الكاملة كمثال تطبيقي.
تقترح هذه الورقة إطار عمل جديداً للتعلم العميق لتسعير خيارات السلة الأوروبية في ظل نماذج الانتشار القفزي، وذلك باستخدام مخطط خطوة زمنية للحركة الدنيا ضمن صيغة ضمنية-صريحة، مقترناً بشبكات عصبية متخصصة وقواعد تربيع متقدمة للتعامل بكفاءة مع المعادلات التفاضلية التكاملية الجزئية عالية الأبعاد.
تقدم هذه الورقة تحليلاً عاماً لاضطرابات المتجهات والمتجهات الجزئية المفردة في نماذج الإشارة بالإضافة إلى الضجيج ذات الرتبة المنخفضة، حيث توسع نظرية ديفيس-كاهان-ويدين لتشمل حدود و دقيقة التفاصيل، وتستكشف تطبيقاتها في نماذج الخليط الغاوسي وتحديد موقع المصفوفات الفرعية.
تقدم هذه الورقة فئة جديدة من الشبكات العصبية المستندة إلى الفيزياء (PINNs) القائمة على تقنيات "رونج-كوتا" (Runge–Kutta) وتجزئة "غاليركين" الزمنية (time-Galerkin)، مبرهنةً أن هذه الطرق ترث خصائص الاستقرار والتقارب لخططها العددية الأساسية، مع تقديم براهين جديدة قائمة على الطاقة لتقديرات الانتظام الأقصى في المعادلات التكاثرية الخطية.
تقترح الورقة طريقة تكامل منتج "كلينشو-كورتيس" مستقرة وفعالة لتقييم التكاملات التي تتضمن أسساً مركبة ذات تذبذب عالٍ أو اضمحلال أسي، محققةً تكلفة حوسبية مستقلة إلى حد كبير عن المعلمة دون الاعتماد على الدوال الخاصة.
تضع هذه الورقة شروط الاستقرار غير الخطي للمكاملات العددية على المتشعبات الريمانية عبر تكييف خصائص التماسك (cocoercivity) الإقليدية مع الفضاءات المنحنية، مبرهنةً على أن الانحناء القطاعي غير الصفر يحد من حجم الخطوة المطلوب للحفاظ على خاصية عدم التمدد لطريقة "أويلر الجيوديسية".
تُثبت هذه الورقة أن صياغة النطاق الوهمي لمضاعف لاغرانج الموزع للتفاعل بين السائل والمنشأ مستقرة وتحافظ على اتساق التكييف بغض النظر عن كيفية تقاطع الواجهة مع عناصر الشبكة.
تقدم هذه الورقة QuadrANN، وهي بنية لشبكة عصبية رسومية تتعلم أوزان تربيع (quadrature weights) مدركة للهندسة وغير متأثرة بالتبديل (permutation-invariant) لسحب النقاط غير المنتظمة، مما يحسن بشكل كبير من استقرار ودقة حلول المعادلات التفاضلية الجزئية التباينية عبر تركيز كثافة التكامل تكيفياً في المناطق الحرجة.