1774 ورقة بحثية
تضع هذه الورقة حداً علوياً لأصغر عدد أولي تتحقق عنده حدسية رامانوجان في آن واحد لنموذجين أو ثلاثة نماذج متميزة من أشكال هيكه الماصة والمنقحة (Hecke-Maass cusp forms)، وتوفر حداً سفلياً للكثافة الطبيعية للأعداد الأولية التي تتحقق عندها الحدسية لنموذج واحد على الأقل ضمن مجموعة معطاة.
تثبت هذه الورقة حدسية لأندروز وباشراوي تربط بين دالة توليد لتقسيمات محددة ثنائية اللون وبين مجموع مزدوج من نوع هيك (Hecke-type)، وذلك باستخدام نظرية زويجرز للدوال الثيتا غير المحددة والخصائص المودولارية لدوال موك ثيتا (mock theta functions).
تقدم هذه الورقة متعدد الحدود "subsum" للتقسيمات الصحيحة، وتتقصى مجموع مقاليب هذه المتعددات الحدود عبر جميع تقسيمات عدد صحيح معطى ، وتؤسس لخصائصها الحسابية وصلاتها بالأشياء التوافقية الأخرى.
تثبت هذه الورقة فرضية معززة من قبل بوخ، وفان هينتوم، وكيفاش عبر إثبات أنه لأي أساس لـ ، إذا كان و ، فإن ، وذلك باستخدام برهان قصير يعتمد على تقليص الحواف في نظرية المخططات وتمهيد تلوين جديد فوق .
تستخدم هذه الورقة حجج الارتفاع لإثبات المحدودية والنتائج الهيكلية لمجموعات العودة في مسألة مورديل-لانج الديناميكية تحت شروط كوهومولوجية ودرجات محددة، بينما تقدم أيضاً أمثلة مضادة تكشف عن مجموعات عودة معقدة بشكل غير متوقع في الحالات التي تفشل فيها هذه الحجج.
تقدم هذه الورقة برهاناً جديداً، وعنصرياً، ومكتفياً بذاته لفرضية "بوب" (Pop's conjecture) التي تُوصّف الحقول المغلقة بـ -adically عبر زمر غالو الخاصة بها، وذلك باستخدام تقنيات حديثة في الحقول المقيّمة وتوصيف غالو للخاصية الهنسلية مع تجنب كوهومولوجيا غالو.
تتقصى هذه الورقة خصائص متتالية بريك الثنائية اللانهائية، حيث تُثبت أنها متكررة ولكنها ليست متكررة بانتظام، وتمتلك تعقيداً عاملياً أسياً، وليست مورفية، ولها كثافة لواحدات متسامية.
مدفوعاً بمشكلات في نظرية الحقل المطابق وفضاءات ناراين المودولاي (Narain moduli spaces)، يصنف هذا البحث القيم الصغرى والقيم العظمى لنسب وفروق دالات زيتا لثيتا (theta) وإبشتاين (Epstein)، مبيناً أن الشبكة السداسية تلعب دوراً محورياً في مشكلات الأمثلة هذه مع تطبيقات في التبلور ونظرية الجسيمات المتفاعلة.
تؤسس هذه الورقة إطاراً حسابياً عالمياً يوحد بين تناظر دورينغ، وهندسة بركان الأيزوجيني، ونظرية حقول الفئات، لاستخلاص توزيعات موزونة صريحة لحلقات النهايات (endomorphism rings) عبر فئات الأيزوجيني للمنحنيات الإهليلجية العادية فوق الحقول المنتهية، وبذلك تربط بين التراصف الموصل المحلي وقوانين الكثافة الأفقية للأعداد الأولية التي تقبل ضرباً معقداً خاصاً.
تُثبت هذه الورقة نسخة معززة من تمهيدية تشانغ (Chang's lemma) للمجموعات الجزئية من المجموعات الآبلية المنتهية، حيث تُظهر أن الشخصيات (characters) خارج فضاء جزئي منخفض الأبعاد تُبدي ارتباطاً ضئيلاً مع المجموعة ليس فقط على المستوى العالمي، بل أيضاً في المتوسط عبر المجموعات المرافقة (cosets)، مما يؤدي إلى استنتاج تمهيدية عدّ موضعية.