Approximation and composition of functions in quantized tensor trains via orthogonal polynomial expansions

في عالم العلوم والهندسة الحديث، يواجه الباحثون غالبًا مشكلة شاقة: كيف تصف نظامًا يحتوي على مئات أو آلاف الأجزاء المتحركة دون الغرق في البيانات. تخيل محاولة رسم خريطة لكل حبة رمل على الشاطئ؛ فإن حجم المعلومات الهائل من شأنه أن يربك أي حاسوب بسرعة. ولحل هذه المشكلة، طور علماء الرياضيات والفيزياء طرقًا لضغط هذه المعلومات، عبر تجريد التفاصيل غير الضرورية مع الحفاظ على الشكل الجوهري للمشكلة. وتعد "الموتر المتسلسل" (tensor train) طريقة قوية للقيام بذلك، وهي تقنية تقسم كائنًا ضخمًا ومعقدًا إلى سلسلة من القطع الأصغر والأكثر سهولة في الإدارة. وعند ترتيب هذه القطع بطريقة محددة ومتعددة الطبقات، فإنها تشكل ما يعرف باسم "الموتر المتسلسل المكمم" (quantized tensor train). هذا الهيكل يتميز بكفاءة فائقة، مما يسمح للحواسيب بالتعامل مع مشكلات كانت لتكون مستحيلة لولا ذلك، مثل محاكاة سلوك الجسيمات الكمومية أو حل معادلات معقدة في مساحات عالية الأبعاد. ومع ذلك، لا يزال هناك تحدٍ مستمر: كيف تأخذ دالة سلسة ومستمرة —وهي وصف رياضي لمنحنى أو سطح— وتحولها إلى هذا التنسيق المضغوط دون فقدان الدقة أو الاستقرار؟

لقد طور فريق من الباحثين في معهد الفيزياء الأساسية في مدريد طريقة جديدة للإجابة على هذا السؤال. فقد ابتكروا خوارزمية بنائية تحول الدوال السلسة والمستمرة إلى تنسيقات الموتر المضغوطة هذه باستخدام نوع محدد من اللبنات الرياضية تسمى "متعددات الحدود المتعامدة" (orthogonal polynomials). فكر في هذه المتعددات كأنها مجموعة من المنحنيات القياسية جيدة السلوك التي يمكن مزجها معًا لإعادة إنشاء أي شكل سلس تقريبًا. ووجد الباحثون أنه من خلال توسيع دالة ما إلى مجموع من هذه المنحنيات، ثم ترجمة ذلك المجموع بعناية إلى تنسيق الموتر، استطاعوا إنشاء تقريبات عالية الدقة. وتعد طريقتهم فعالة بشكل خاص للدوال السلسة التي لا تحتوي على حواف حادة أو متعرجة. وهي تعمل من خلال بناء الحل خطوة بخطوة، باستخدام وصفة رياضية مستقرة تمنع تراكم الأخطاء، حتى عندما تتضمن العملية آلاف المتغيرات.

اختبر الفريق نهجهم على مجموعة متنوعة من الدوال الرياضية، بدءًا من المنحنيات البسيطة التي تشبه الجرس وصولاً إلى الموجات المعقدة والمتذبذبة. ووجدوا أنه بالنسبة للدوال السلسة، فإن طريقتهم تتقارب بسرعة، مما يعني أنها تصل إلى مستوى عالٍ من الدقة بعدد قليل نسبيًا من الخطوات الحسابية. وفي الاختبارات التي شملت الدوال أحادية المتغير —أي تلك التي لها متغير واحد— تطلبت تقنيتهم نقاط بيانات أقل بكثير لتحقيق نفس الدقة التي تحققها الطرق الشهيرة الأخرى. وبينما تعتمد التقنيات الأخرى غالبًا على أخذ عينات عشوائية من نقاط الدالة لتخمين شكلها، وهو أمر قد يكون غير فعال وغير قابل للتنبؤ، تستخدم هذه الطريقة الجديدة الهيكل الرياضي المعروف للدالة لبناء الحل مباشرة. ويضمن هذا النهج الحتمي (deterministic) أن تكون النتيجة مستقرة وقابلة لإعادة الإنتاج. كما أظهر الباحثون أن طريقتهم يمكن أن تتعامل مع الدوال متعددة المتغيرات، والتي تتضمن متغيرات عديدة في آن واحد، عن طريق ربط تقريبات أبسط أحادية المتغير ببعضها البعض. وقد سمح لهم ذلك بمعالجة مشكلات تصل إلى 200 متغير، مما يمثل نظامًا يحتوي على أكثر من تريليون حالة محتملة، وهو مقياس يتجاوز بكثير قدرة الطرق التقليدية غير المضغوطة.

تتمثل إحدى نقاط القوة الرئيسية لهذه الخوارزمية الجديدة في قدرتها على الحفاظ على الاستقرار حتى مع زيادة تعقيد المشكلة. ففي العديد من الأساليب العددية، يمكن أن تؤدي زيادة عدد المتغيرات أو دقة الحساب إلى انهيار في الدقة، حيث تتضاعف الأخطاء الصغيرة وتفسد النتيجة. وقد أظهر الباحثون أن استخدامهم لمتعددات الحدود المتعامدة، جنباً إلى جنب مع تقنية تقييم محددة تُعرف باسم "تكرار كلينشو" (Clenshaw recurrence)، يحافظ على هذه الأخطاء تحت السيطرة. ولاحظوا أن طريقتهم تتوسع بكفاءة، مما يعني أن الوقت والذاكرة المطلوبة لحل المشكلة ينموان بمعدل يمكن إدارته بدلاً من الانفجار بشكل أسي. وهذا أمر بالغ الأهمية لتطبيقات الحوسبة المستوحاة من الكم، حيث الهدف هو محاكاة الأنظمة الفيزيائية المعقدة التي تفوق سعة الحواسيب القياسية. وقارن الفريق نتائجهم مع التقنيات الحديثة المتطورة، مثل "استكمال الموتر المتقاطع" (tensor cross-interpolation)، ووجدوا أنه بينما قد لا تكون طريقتهم هي الأسرع دائمًا لكل نوع من أنواع المشكلات، إلا أنها توفر بديلاً قويًا وموثوقًا، خاصة عند التعامل مع الدوال السلسة والقابلة للاشتقاق بدرجات عالية.

كما يسلط هذا العمل الضوء على أهمية كيفية تنظيم البيانات داخل ذاكرة الحاسوب. فقد استكشف الباحثون طرقًا مختلفة لترتيب المتغيرات في حساباتهم، ووجدوا أن ترتيبًا محددًا، أطلقوا عليه اسم "الترتيب التسلسلي" (serial order)، غالبًا ما كان يؤدي أداءً أفضل من الترتيب المتداخل أو المبعثر لأنواع معينة من النماذج المعقدة وغير الخطية. ويشير هذا الاكتشاف إلى أن الطريقة التي نهيكل بها نماذجنا الرياضية يمكن أن تكون بنفس أهمية الخوارزميات التي نستخدمها لحلها. ومن خلال الاختيار الدقيق لترتيب العمليات ونوع توسيع متعدد الحدود، تمكن الباحثون من دفع حدود ما هو ممكن حسابيًا، والتعامل مع أنظمة ذات تفاعلات كثيفة وارتباطات قوية كانت ستؤدي عادةً إلى فشل الأساليب الأخرى.

في نهاية المطاف، يوفر هذا البحث إطارًا عامًا لتركيب الدوال ضمن هذه التنسيقات المضغوطة. فهو يسمح للعلماء بأخذ دالة معروفة وتطبيقها على دالة أخرى موجودة بالفعل في حالة مضغوطة، مما يتيح بناء نماذج معقدة ومتعددة الطبقات دون الحاجة أبدًا إلى توسيعها إلى شكلها الكامل الضخم. وتفتح هذه القدرة الباب لحل المعادلات غير الخطية ومحاكاة العمليات الفيزيائية المعقدة بمستوى من الكفاءة كان بعيد المنال سابقًا. إن الخوارزميات التي تم تطويرها في هذه الدراسة متاحة الآن كبرمجيات مفتوحة المصدر، مما يسم يسمح للباحثين الآخرين بتطبيق هذه التقنيات على مشكلاتهم الخاصة. ومن خلال تحويل التحدي المجرد للبيانات عالية الأبعاد إلى عملية ملموسة وقابلة للحل، يقدم هذا العمل أداة جديدة للإبحار في المناظر الطبيعية الواسعة والمعقدة للحوسبة العلمية الحديثة.