Failure of the mean-field Hartree approximation for a bosonic many-body system with non-Hermitian Hamiltonian

في المشهد الشاسع للفيزياء الكمومية، غالبًا ما يواجه العلماء مشكلة تتعلق بالمقياس. فعندما يحتوي النظام على مليارات الذرات أو الجسيمات، يصبح تتبع سلوك كل جسيم منها أمرًا مستحيلاً. ولتفسير هذه البيئات المزدحمة، يعتمد الباحثون على اختصار قوي يُعرف باسم "نظرية المجال المتوسط". يفترض هذا النهج أنه في مجموعة كبيرة، يتحرك كل جسيم كما لو كان يستجيب فقط لمجال متوسط وسلس ناتج عن جميع الجسيمات الأخرى، بدلاً من الصراع مع التأثيرات الفردية الفوضوية لجيرانه. إنه يشبه إلى حد كبير محاولة التنبؤ بحركة سمكة واحدة في مدرسة ضخمة من الأسماك؛ فبدلاً من حساب الدفع والسحب من كل سمكة أخرى، تفترض أن السمكة تتفاعل ببساطة مع التدفق العام للمياه من حولها. وبالنسبة للأنظمة التي تكون فيها القواعد الأساسية متوازنة تمامًا وقابلة للعكس، فقد كان هذا الاختصار حجر زاوية في الفيزياء لعقود، مما سمح للعلماء بوصف السلوكيات المعقدة بمعادلات بسيطة لجسيم واحد.

ومع ذلك، فإن العالم المادي ليس دائمًا متوازنًا بشكل مثالي. ففي العديد من التجارب الحديثة التي تشمل الضوء، أو الذرات الباردة، أو الحواسيب الكمومية، يتم إضافة أو إزالة الجسيمات باستمرار، أو يسرب النظام المعلومات إلى محيطه. ولوصف هذه الحالات، يستخدم الفيزيائيون نوعًا مختلفًا من القواعد الرياضية، تسمح بهذا الكسب والفقدان. تُسمى هذه القواعد "غير هرميتية" (non-Hermitian)، وهو مصطلح تقني يعني ببساطة أن النظام ليس قابلًا للعكس بشكل مثالي ويمكن أن تتغير طاقته الإجمالية أو عدد جسيماته بمرور الوقت. ولسنوات، افترض المجتمع العلمي بهدوء أن نفس اختصار المجال المتوسط المستخدم للأنظمة المتوازنة سيعمل بشكل جيد أيضًا للأنظمة غير المتوازنة هذه. فإذا كان نهج المجال المتوسط يعمل لصندوق مغلق من الغاز، فإن التفكير كان يذهب إلى أنه يجب أن يعمل أيضًا لصندوق يتسرب منه الغاز. لقد أصبح هذا الافتراض متجذرًا لدرجة أنه يدعم مقترحات جديدة لخوارزميات كمومية مصممة لحل المشكلات المعقدة من خلال محاكاة نسخ عديدة من نظام ما في وقت واحد.

تتحدى دراسة حديثة هذا الافتراض الذي طال أمدًا، حيث أثبتت أن الاختصار يفشل عندما لا يكون النظام متوازنًا تمامًا. فقد أثبت الباحثون، الذين عملوا على نموذج نظري لمجموعة كبيرة من الجسيمات الكمومية المتطابقة، أن معادلة المجال المتوسط القياسية لا يمكنها التنبؤ بدقة بكيفية تطور النظام عندما تسمح القواعد التي تحكم الجسيمات بالكسب والفقدان. وقد أظهروا أنه بينما قد يكون الاختصار صحيحًا في لحظة الحركة الأولى، إلا أنه يبدأ فورًا في الانحراف عن الواقع. يحدث الفشل لأن مصطلحات "التسرب" أو "الكسب" في القواعد تؤثر على الجسيمات بطريقة لا يستطيع المجال المتوسط استيعابها. فبالرغم من أن الجسيمات تتفاعل مع متوسط جماعي، إلا أن الطريقة المحددة التي تفقد بها الطاقة أو تكتسبها تخلق ارتباطات دقيقة بينها، وهي ارتباطات يتجاهلها هذا الاختصار البسيط. هذه الروابط المتجاهلة تزداد قوة مع تطور النظام، مما يؤدي في النهاية إلى جعل السلوك المتوقع ينحرف بشكل كبير عما يحدث بالفعل.

ولإثبات ذلك، قام الفريق ببناء مثال محدد وقابل للحل يتضمن عددًا كبيرًا من البتات الكمومية، أو "الكيوبتات" (qubits)، التي تتفاعل من خلال قوة غير قابلة للعكس تمامًا. قاموا بحساب السلوك الدقيق لهذا النظام مع نمو عدد الجسيمات نحو اللانهاية وقارنوه بالتنبؤ الذي قدمته معادلة المجال المتوسط القياسية. كانت النتائج واضحة: المساران لم يتطابقا. فبالنسبة لمعظم الظروف الأولية، تطور النظام الفعلي إلى حالة نقية ومحددة، لكنه اتبع مسارًا مختلفًا عن ذلك الذي تنبأ به الاختصار. وفي بعض الحالات، تصرف النظام بشكل صحيح لفترة وجيزة، ولكن بعد ذلك، عند لحظة حرجة معينة من الزمن، أصبحت الحالة الجماعية فجأة "مختلطة"، مما يعني أن الجسيمات فقدت تماسكها الفردي وأصبحت متشابكة بطريقة لم تستطع المعادلة البسيطة توقعها. هذا الانتقال المفاجئ إلى حالة مختلطة هو ظاهرة لا تحدث أبدًا في الأنظمة المتوازنة والقابلة للعكس حيث يُعرف نجاح هذا الاختصار.

كما اختبر الباحثون سيناريو مختلفًا حيث لم تكن القواعد قابلة للعكس ولكنها لا تزال تنتج قيم طاقة حقيقة وقابلة للقياس، بدلاً من القيم التخيلية التي شوهدت في مثالهم الأول. وحتى في هذه الحالة، وجدوا أنه بالنسبة لبعض الظروف الأولية، فشل الاختصار في إعادة إنتاج السلوك الصحيح للجسيمات. وتؤكد الدراسة أن هذا الانهيار ليس مجرد صدفة نادرة، بل هو ميزة أساسية لهذه الأنظمة غير المتوازنة. ينشأ الخطأ لأن الأجزاء غير القابلة للعكس في القواعد تؤثر على المجموعة بأكملها بطريقة تضخم الاختلافات الصغيرة. وبينما تفترض المعادلة القياسية أن الجسيمات تظل مستقلة عن بعضها البعض، فإن الواقع هو أن آليات الكسب والفقدان تجبرهم على تطوير روابط خفية يغفل عنها هذا الاختصار.

لهذه النتائج عواقب مباشرة على كيفية نمذجة العلماء للعالم. ففي مجالات تتراوح من البصريات الكمومية إلى تصميم حواسيب كمومية جديدة، يعتمد الباحثون غالبًا على هذه المعادلات المبسطة للتنبؤ بكيفية سلوك الأنظمة عندما تُفقد أو تُضاف الجسيمات. وتشير الدراسة إلى أن استخدام هذه المعادلات دون حذر إضافي يمكن أن يؤدي إلى تنبؤات خاطئة حول الحالة المستقبلية للنظام. وبالنسبة للخوارزميات الكمومية الجديدة التي تعتمد على هذا الاختصار لحل المشكلات المعقدة، فإن النتائج تعني أنه لا يمكن تطبيق هذه الطريقة بشكل أعمى. فقبل أن يمكن الوثوق بخوارزمية كهذه لحل مشكلة معينة، يجب التحقق مما إذا كان الاختصار صحيحًا لتلك الحالة المحددة، أو إيجاد طريقة لتصحيح الروابط الخفية التي يتجاهلها النموذج البسيط. إن هذا العمل لا يرفض نهج المجال المتوسط بالكامل، ولكنه يرسم حدودًا حادة حول مكان استخدامه، موضحًا أن البساطة الأنيقة للمجال المتوسط تنهار بمجرد أن يصبح النظام غير متوازن.