Stokes flows in a sessile hemispherical drop due to evaporation and surface tension gradient

1. بيان المشكلة

يتقصى هذا البحث التدفق الهيدروديناميكي داخل قطرة كروية نصف كروية مستقرة (sessile) صغيرة، تتبخر ببطء، مع خط اتصال مثبت (pinned contact line). تركز الدراسة على التفاعل بين آليتين تدفق متميزتين:

• تدفق ديجان (التدفق الشعيري - Capillary Flow): تدفق نحو الخارج مدفوع بفقدان الحجم الناتج عن التبخر، وهو المسؤول عن "تأثير حلقة القهوة" (coffee ring effect).
• تدفق مارانجوني (Marangoni Flow): تدفق مدفوع بتدرجات التوتر السطحي ($\nabla \sigma$)، والتي تنتج عادةً عن اختلافات درجة الحرارة أو التركيز (مثل التبريد غير المتماثل).

تتمثل المشكلة المركزية في تحديد الحلول التحليلية لتدفقات هذه العمليات تحت ظروف تدفق ستوكس (Stokes flow) -أي عند أعداد رينولدز منخفضة- وتحليل كيف تحدد طبيعة الشرط الحدودي لسطح السائل-الركيزة (تحديداً عدم الانزلاق - no-slip مقابل الانزلاق الكامل - full-slip) العلاقة بين التبخر وحمل مارانجوني.

2. المنهجية

يستخدم المؤلف نهجاً تحليلياً قائماً على "المبادئ الأولى" باستخدام الإطار التالي:

• الهندسة: قطرة نصف كروية على ركيزة أفقية مسطحة. يُفترض أن الشكل عبارة عن قطعة كروية (وهو ما يصح عندما يكون عدد بوند $Bo \ll 1$).
• المعادلات الحاكمة: يتم حل معادلات ستوكس المستقرة والمتناظرة محورياً لسائل غير قابل للانضغاط في الإحداثيات الكروية $(r, \theta)$.
  • معادلات الزخم (المكونات الشعاعية والقطبية).
  • معادلة الاستمرارية.
• التقنية الرياضية: يتم توسيع مكونات السرعة ودالة الانسياب (stream function) في سلاسل من متعددات حدود ليجاندر ($P_l(\cos \theta)$). ويتم تحديد معاملات هذه السلاسل من خلال تطبيق شروط حدية محددة.
• الشروط الحدية:
  1. الركيزة: يتم تحليل سيناريوهين:
     • عدم الانزلاق (No-slip): تكون السرعة صفراً عند الركيزة ($\theta = \pi/2$).
     • الانزلاق الكامل (Full-slip): يكون إجهاد القص صفراً، مما يسمح للسائل بالانزلاق (السرعة المماسية غير صفرية).
  2. سطح القطرة:
     • الشرط الكينماتيكي الذي يربط السرعة الشعاعية بتدفق التبخر.
     • الشرط الديناميكي الذي يربط السرعة المماسية بتدرج التوتر السطحي (إجهاد مارانجوني).
• انتقال الحرارة: يحلل البحث مجال درجة الحرارة تحت نظامين:
  • رقم بيكليه منخفض ($Pe \ll 1$): حيث يسود التوصيل الجزيئي.
  • رقم بيكليه مرتفع ($Pe \gg 1$): حيث يسود انتقال الحرارة بالحمل.

3. المساهمات والنتائج الرئيسية

أ. نظام عدم الانزلاق (الاقتران الصلب)

عند تطبيق شرط عدم الانزلاق على الركيزة:

• عدم قابلية الفصل بين التدفقات: يكشف الحل التحليلي عن علاقة رياضية صلبة بين معدل التبخر ($J$) وتدرج التوتر السطحي ($\beta$).
• رقم مارانجوني غير صفري: حتى في غياب أي تدرج حراري خارجي مفروض، فإن تدفق ديجان (التدفق الشعيري) يولد بطبيعته تدرجاً معيناً في التوتر السطحي لاستيفاء شرط عدم الانزلاق.
• النتيجة الحاسمة: تحت ظروف عدم الانزلاق، يكون تدفق ديجان وتدفق مارانجوني غير قابلين للفصل. لا يمكن تصنيف التدفق كمجرد تدفق شعيري تعويضي لأن لديه بطبيعته رقم مارانجوني غير صفري ($Ma \approx 0.0017$ لقطرات الماء).
• بنية التدفق: تظهر خطوط الانسياب بنية "كسورية" (fractalized) معقدة حيث تكون حزم التدفق متحدة بقوة (كما هو موضح في الشكل 2 من الورقة).
• القيد الحراري: تعني هذه النتيجة أنه بالنسبة لنظام عدم الانزلاق، فإن نظام درجة الحرارة داخل القطرة مقيد بصرامة بمعدل التبخر. لا يمكن للنظام دعم حمل مارانجوني مستقل دون انتهاك شرط عدم الانزلاق أو فرضية الحالة المستقرة.

ب. نظام الانزلاق (انفصال التدفق)

عند السماح بـ شرط الانزلاق (انزلاق السائل فوق الركيزة):

• فك الارتباط: يصبح معدل التبخر ($J$) وتدرج التوتر السطحي ($\beta$) بارامترات مستقلة.
• انفصال التدفقات: يمكن فصل التدفق الكلي تحليلياً إلى مكونين متميزين:
  1. تدفق ديجان نقي (تعويضي): مدفوع بالتبخر فقط، مع انعدام تدرج التوتر السطحي ($\beta = 0$).
  2. تدفق مارانجوني نقي: مدفوع فقط بتدرج التوتر السطحي، وبشكل مستقل عن معدل التبخر.
• بنية التدفق: تكون خطوط الانسياب أبسط وتفتقر إلى التعقيد الكسوري المشاهد في حالة عدم الانزلاق (كما هو موضح في الشكل 3).

ج. تقدير رقم مارانجوني

يشتق البحث رقم مارانجوني فعال ($Ma$) لتدفق ديجان تحت ظروف عدم الانزلاق:
$$Ma \approx \frac{\rho c_p D (1-\chi)}{\lambda}$$
بالنسبة لقطرة ماء نموذجية ($R \approx 100 \mu m$)، يعطي هذا قيمة صغيرة جداً ($Ma \approx 0.0017$). يشير هذا إلى أنه بينما تكون التدفقات مقترنة رياضياً تحت شرط عدم الانزلاق، فإن القوة الدافعة الحرارية لحمل مارانجوني الناتجة عن التبخر وحده هي ضئيلة مقارنة بالظروف التجريبية النموذجية حيث توجد تسخين خارجي أو تدرجات مذاب.

4. الأهمية والآثار المترتبة

• إعادة تفسير رقم مارانجوني الحرج: تتحدى هذه الدراسة الرؤية التقليدية لرقم مارانجوني الحرج كونه مجرد عتبة بسيطة لبدء الحمل. بدلاً من ذلك، تقترح أن الانتقال من "التدفق الشعيري" إلى "حمل مارانجوني" مرتبط جوهرياً بانهيار شرط عدم الانزلاق.
• آلية الانتقال: يقترح المؤلفون سيناريو فيزيائياً حيث:
  1. عند معدلات التبخر المنخفضة، يسود شرط عدم الانزلاق، وتكون التدفقات مقترنة (تدفق ديجان + مارانجوني ضعيف).
  2. مع زيادة التبخر، يزدادة إجهاد القص اللزوجي بالقرب من الركيزة.
  3. في النهاية، قد يتغلب إجهاد القص على قوى الالتصاق، مما يؤدي إلى انتقال خط الاتصال من عدم الانزلاق إلى الانزلاق الجزئي أو الكامل.
  4. هذا الانتقال يؤدي إلى فك ارتباط التدفقات، مما يسمح بظهور نظام حمل مارانجوني مستدام وناضج.
• التوجيه التجريبي: تحث هذه الدراسة التجريبيين على إيلاء اهتمام شديد لشروط حد السائل-الركيزة. إن حساسية بنية التدفق تجاه انتقال الانزلاق/عدم الانزلاق تعد عاملاً حاسماً لفهم ديناميكيات القطرات المتبخرة في تطبيقات مثل الطباعة بنفث الحبر، والتجميع الذاتي، والطباعة الليثوغرافية التبخرية.

الخلاصة

تقدم الورقة برهاناً تحليلياً صارماً على أن التمييز بين تدفق ديجان وتدفق مارانجوني ليس مجرد مسألة مقدار، بل يتحدد جوهرياً من خلال الشرط الحدي عند الركيزة. تحت ظروف عدم الانزلاق، يكون التبخر وتدرجات التوتر السطحي مرتبطين بشكل لا ينفصم، بينما تسمح ظروف الانزلاق لهما بالعمل كمحركات مستقلة. يوفر هذا إطاراً نظرياً جديداً لفهم بدء حمل مارانجوني في القطرات المتبخرة.