Accuracy assessment of scalar wave propagation methods for diffractive optics design: from thin elements to thick binary grating

ملخص تقني: تقييم دقة طرق انتشار الموجات القياسية لتصميم البصريات الحيودية

بيان المشكلة
يعتمد تصميم العناصر البصرية الحيودية (DOEs) بشكل متزايد على التصميم العكسي القائم على التدرج (gradient-based inverse design)، حيث تحد دقة نموذج الانتشار الأمامي بشكل جوهري من أداء التصميم الناتج. وبينما توفر الطرق الصارمة مثل طريقة النمط الفوري (FMM) وطريقة الفروق المحدودة في المجال الزمني (FDTD) دقة عالية، إلا أنها مكلفة حاسوبياً لعمليات التحسين التكرارية. وفي المقابل، تُعد تقريب العنصر الرقيق (TEA) بسيطة جداً من الناحية الحسابية، لكنها تفشل في الهياكل السميكة أو زوايا الحيود الكبيرة بسبب إهمالها لتأثيرات الانتشار الداخلي والاقتران البيني. أما الطرق القياسية المتوسطة، وتحديداً طريقة انتشار الشعاع (BPM) وطريقة انتشار الموجة (WPM)، فتقدم حلاً وسطاً، ومع ذلك، كان هناك نقص في الأدبيات العلمية في إجراء تقييم كمي منهجي لنطاقات دقتها كدالة لمعاملات المحزوز.

المنهجية
أجرى المؤلفون تقييماً منهجياً للدقة باستخدام طريقة (FMM) الصارمة (المطبقة عبر FMMAX) كمعيار مرجعي. وقد استخدمت الدراسة التصميم التجريبي التالي:

• الهياكل المختبرة: تم توليد مجموعات من المحزوزات الثنائية العشوائية على خلية دورية تبلغ $7.5 \, \mu\text{m}$. تم تحديد معالم المحزوزات بواسطة تردد القطع المكاني ($f_c$) والسمك الفيزيائي ($h$).
  • تم أخذ عينات لـ $f_c$ من $0$إلى$1.33 , \mu\text{m}^{-1}$، وهو ما يقابل زوايا حيود قصوى ($\theta_{\text{max}}$) تصل إلى$\approx 45^\circ$.
  • تم أخذ عينات للسمك ($h$) من $1\lambda$ إلى $11\lambda$ (حيث $\lambda = 532 \, \text{nm}$).
  • تم تقييم إجمالي 1,210 محزوزاً (11 $\times$ 11 زوجاً من المعلمات $\times$ 10 تجليات عشوائية).
• نماذج الانتشار: تم تنفيذ ثلاثة طرق قياسية ضمن إطار عمل (FluxOptics.jl) القابل للتفاضل والمعزز بمعالجة الرسوميات (GPU):
  • تقريب العنصر الرقيق (TEA): تم نمذجته كقناع طور لا نهائي الرقة، حيث تم تقريب خطوات الانتشار في وسط فعال.
  • طريقة انتشار الشعاع (BPM): استخدمت تقريب الـ paraxial (الباراكسي) مع تقسيم حجم المحزوز إلى خطوات قدرها $\Delta z = 25 \, \text{nm}$.
  • طريقة انتشار الموجة (WPM): وظفت مُنتشرًا غير باراكسي دقيق ($k_z = \sqrt{(nk_0)^2 - k_\perp^2}$) مع عدد ثابت من 30 شريحة بغض النظر عن السمك، باستخدام طبقات انتقال سلسة لانقطاعات معامل الانكسار.
• المقياس: تم قياس الدقة باستخدام تداخل المجال الموحد ($\eta$) بين المجال المنقول لطريقة القياس ومجال المرجع (FMM)، مع حساب المتوسط لـ 10 تجليات لكل مجموعة معلمات. تم استبعاد المكونات المستقطبة عرضياً للحفاظ على الاتساق مع التقريب القياسي.

النتائج الرئيسية
أنتجت الدراسة خرائط دقة في فضاء المعلمات $(f_c, h)$، مما كشف عن نطاقات صلاحية متميزة لكل طريقة:

• تقريب العنصر الرقيق (TEA): تتدهور الدقة بسرعة مع زيادة السمك. ينخفض التداخل إلى ما دون 90% عند $h \approx 3\lambda$ للزوايا المتوسطة، وينخفض إلى ما دون 50% لـ $h > 6\lambda$، مما يؤكد محدوديتها للهياكل الرقيقة جداً.
• طريقة انتشار الشعاع (BPM): تؤدي أداءً أفضل بكثير من (TEA)، لكنها تعاني من أخطاء الطور المتراكمة الناتجة عن تقريب الباراكسي. وبينما تمدد هذا النطاق الصالح إلى السماكات المتوسطة، فإن دقتها تستقر عند تداخل يتراوح بين 0.4 و0.5 للسماكات الكبيرة ضمن النطاق المختبر.
• طريقة انتشار الموجة (WPM): تحافظ على أعلى دقة عبر كامل فضاء المعلمات. بالنسبة للزوايا الصغيرة ($\theta_{\text{max}} \lesssim 12^\circ$)، تحافظ (WPM) على $\eta > 0.90$ حتى للسماكات التي تصل إلى $11\lambda$. وتظهر ميزة (WPM) على (BPM) بشكل أوضح في الهياكل السميكة ($h > 3\lambda$) عند الزوايا المتوسطة ($\theta_{\text{max}} \lesssim 30^\circ$)، حيث يمنع علاقة التشتت الدقيقة حدوث انزياح الطور التدريجي الذي يحد من (BPM).

الأهمية والادعاءات
يزعم البحث أنه يقدم أول تقييم كمي منهجي لهذه الطرق القياسية خصيصاً للمحزوزات الحيودية الثنائية، وهي معيار محافظ نظراً لوجود انقطاعات حادة في معامل الانكسار. وتتمثل المساهمة الأساسية في إنشاء خرائط دقة تعمل كإرشادات عملية لاختيار النماذج الأمامية في مسارات التصميم العكسي للبصريات الحيودية:

1. (TEA) كافية فقط للهياكل الرقيقة ($h \lesssim \lambda$).
2. (BPM) بديل تنافسي للهياكل الرقيقة عند الزوايا الكبيرة أو السماكات المتوسطة عند الزوايا المنخفضة.
3. تم تحديد (WPM) كطريقة مفضلة لتصميم الهياكل الحيودية السميكة عند الزوايا المتوسطة، حيث توفر ميزة دقة كبيرة على (BPM) دون التكلفة الباهظة للطرق الصارمة.

يشير المؤلفون إلى أنه بما أن المحزوزات الثنائية تمثل "معياراً محافظاً" (مما يعظم المحتوى الطيفي عند انقطاعات معامل الانكسار)، فإن خرائط الدقة المسجلة تشكل على الأرجح حدوداً دنيا لأداء هذه الطرق على الهياكل ذات التضاريس المستمرة والناعمة. كما تقر الدراسة بأن جميع الطرق الثلاث تشترك في قيود تتعلق بالانتشار أحادي الاتجاه وإهمال التأثيرات المتجهية، مما يترك مجالاً لتوسيع العمل مستقبلاً ليشمل طرق الخطوات المتعددة غير الباراكسية (split-step non-paraxial).