A Volume of Fluid Immersed Boundary Method for Industrial Polymer Mixing

ملخص تقني: طريقة الحدود المغمورة بحجم السائل لخلط البوليمرات الصناعية

بيان المشكلة
تفرض المحاكاة العددية لعمليات خلط البوليمرات تحديات كبيرة بسبب التفاعل المعقد بين الريولوجيا غير النيوتونية، وديناميكيات السطح الحر متعدد الأطوار، والهندسات المعقدة المتحركة. غالبًا ما تعمل الخلاطات الصناعية، مثل الخلاطات أحادية اللولب (SSE) واللولبية المزدوجة (TSE)، في ظروف ملء جزئي حيث تتواجد مصهورات البوليمر عالية اللزوجة مع الهواء. تتطلب محاكاة هذه السيناريوهات التقاط الواجهة بين الأطوار مع التعامل مع الحدود الصلبة الدوارة.

تواجه مناهج ديناميكا الموائع الحسابية (CFD) القياسية عقبتين رئيسيتتين في هذا السياق:

1. التعقيد الهندسي: إن إنشاء شبكات متوافقة مع الجسم (body-fitted/conforming meshes) للولبات الدوارة ذات الهندسات المعقدة هو أمر مكلف حاسوبيًا، وغالبًا ما يتطلب تقنيات شبكة ديناميكية يمكن أن تؤدي إلى تشوه الشبكة.
2. عدم الاستقرار العددي: تسبب التباينات الهائلة في اللزوجة بين مصهورات البوليمر والهواء (والتي تتجاوز غالبًا $10^5$ إلى $10^8$) عدم استقرار عددي شديد في حلول "حجم السائل" (VOF) المنفصلة القياسية. وتحديدًا، فإن المعالجة الصريحة لتدرج السرعة المنقول في حد الانتشار اللزج تفرض قيودًا زمنية صارمة ($\Delta t \propto h^2$)، مما يجعل محاكاة تدفقات اللزوجة العالية عالية التكلفة حاسوبيًا أو غير مستقرة.

المنهجية
يقترح هذا العمل إطار عمل عددي مبتكر يدمج نهج التقاط الواجهة بـ "حجم السائل" (VOF) مع طريقة "الحدود المغمورة" (IB) غير المتوافقة، والمطبقة ضمن مكتبة OpenFOAM للكميات المحدودة.

• نهج الحدود المغمورة (IB): تستخدم الطريقة شبكة خلفية ثابتة حيث يتم تمثيل الحدود الصلبة (مثل اللوبات الدوارة) بواسطة أسطح STL مثلثية. يتم استخدام عامل استيفاء المربعات الصغرى الموزونة (WLS) لفرض الشروط الحدية (شرط ديريكليه للسرعة، وشرت نيومان لكسر الحجم) على الخلايا التي تتقاطع مع الحدود المغمورة. وهذا يلغي الحاجة إلى إنشاء شبكة متوافقة مع الجسم ويسمح بالتعامل مع خطوط التماس المتحركة على طول الهندسات الدوارة المعقدة.
• صياغة حجم السائل (VOF): يتم تتبع الواجهة عن طريق حل معادلة نقل كسر حجم الطور ($\alpha$). تستخدم الطريقة خوارزمية MULES (المحدد متعدد الأبعاد مع الحل الصريح) للحفاظ على حدة الواجهة ومحدوديتها، بما في ذلك حد سرعة ضاغط لمواجهة الانتشار العددي.
• مخطط الربط الكتلي (BC): لمعالجة مشكلات الاستقرار الناجمة عن تباينات اللزوجة العالية، قدم المؤلفون مخطط ربط كتلي لمعادلة الزخم. بخلاف الحلول المنفصلة القياسية التي تعالج مكونات السرعة بالتتابع، يعالج نهج الربط الكتلي (BC) حد الانتشار اللزج الكامل $\nabla \cdot (\mu(\nabla \mathbf{u} + \nabla^\top \mathbf{u}))$ بشكل ضمني. ويتضمن ذلك ربط مكونات السرعة الثلاثة داخل نظام خطي واحد. وتستخدم عملية تمثيل التدرج المماسي طريقة المساحة المحدودة (FA) مدمجة مع استيفاء WLS على نماذج ممتدة (تتضمن جيران النقاط بدلاً من مجرد جيران الأوجه فقط)، والمقتبسة من تطبيقات المرونة [11].
• خوارزمية الحل: يستخدم الحل خوارزمية PIMPLE معدلة (تجمع بين SIMPLE وPISO) للتعامل مع اقتران الضغط والسرعة. ويتم دمج قيود IB في النظام الجبري، مما يعدل معاملات المصفوفة وحدود المصدر لتلبية الشروط الحدية على الأسطح المغمورة مع الحفاظ على حفظ الكتلة.

المساهمات الرئيسية

1. تطوير حلول BC-VOF-IB: يقدم البحث المبرمج UCInterIbFoam الذي يجمع بين طريقة الحدود المغمورة غير المتوافقة ونهج VOF المرتبط كتلويًا. ويعد هذا أول تنفيذ لمثل هذا النهج المقترن ضمن إطار عمل OpenFOAM-10 لتدفقات الطورين.
2. تعزيز الاستقرار عبر الربط الكتلي: يثبت العمل أن المعالجة الضمنية الكاملة للانتشار اللزج تخفف بشكل كبير من قيود استقرار الخطوة الزمنية. وهذا يسمح بمحاكاة تدفقات البوليمر عالية اللزوجة بنسب لزوجة تصل إلى $10^8$ دون أن تنهار المحاكاة بسبب انتهاكات عدد كورانت.
3. التعامل مع خطوط التماس المتحركة: نجح الإطار في معالجة الصعوبات الهندسية والخوارزمية لخطوط التماس المتحركة حيث تتقاطع واجهة الطورين مع الحدود المغمورة، وهو مطلب حاسم لأجهزة الخلط المملوءة جزئيًا.

النتائج العددية
تم التحقق من الطرق المقترحة واختبارها على فئتين من المشكلات:

• حالة الاختبار المرجعي (حقن عظمة الكلب - Dog-bone Injection Molding):

  • تمت مقارنة الحلول المنفصلة (interFoam)، والحلول المتوافقة ذات الربط الكتلي (UCInterFoam)، والحلول غير المتوافقة ذات الربط الكتلي (UCInterIbFoam) في حالة حقن لسائل عالي اللزوجة يتبع قانون القوة (Power-law).
  • فشل الحل المنفصل القياسي في إنتاج نتائج مستقرة ضمن أطر زمنية معقولة بسبب القيود الشديدة على الخطوة الزمنية ($\Delta t \approx 10^{-6}$ ثانية).
  • حققت الحلول ذات الربط الكتلي حلولاً مستقرة بخطوات زمنية تصل إلى $10^{-3}$ ثانية، مما قلل وقت الحوسبة من 7 ساعات إلى 16 دقيقة (للحالة المتوافقة) و58 دقيقة (للحالة غير المتوافقة).
  • أظهر حل IB غير المتوافق توافقًا نوعيًا مع الحل المتوافق، مع وجود اختلافات طفية في ذروات اللزوجة بالقرب من القيود الهندسية، والتي تُعزى إلى الطبيعة غير المتوافقة للشبكة.

• التطبيقات الصناعية (SSE وTSE):

  • أُجريت عمليات المحاكاة على خلاطات أحادية اللولب (SSE) مبسطة وخلاطات لولبية مزدوجة (TSE) واقعية تحت ظروف الملء الكامل والملء الجزئي (التغذية الناقصة - starve-fed).
    การ تمكنت الحلول من التقاط تطور السطح الحر، ونسب الملء، وحقول الضغط بنجاح.
  • اتفقت النتائج مع التوقعات الفيزيائية: أظهرت سيناريوهات الملء الكامل ($Q_{in} > Q_0$) تدرجات ضغط سالبة من المدخل إلى المخرج، بينما أظهرت سيناريوهات الملء الجزئي ($Q_{in} < Q_0$) زيادة في الضغط بالقرب من المخرج.
  • أثبتت طريقة IB فعاليتها في التعامل مع الهندسة المتداخلة المعقدة لـ TSE دون الحاجة إلى إعادة توليد الشبكة الديناميكية.

الأهمية والادعاءات
يزعم البحث أن إطار عمل BC-VOF-IB المقترح يمثل خطوة هامة نحو سد الفجوة بين أبحاث CFD الأكاديمية ومتطلبات معالجة البوليمرات الصناعية. ومن خلال التغلب على عدم الاستقرار العددي المرتبط بتباينات اللزوجة العالية وإلغاء الحاجة إلى إنشاء شبكات معقدة متوافقة مع الجسم للعمليات الدوارة، تمكنت الطريقة من تقديم تنبؤات متسقة فيزيائيًا لحقول السرعة والضغط في أجهزة الخلط المملوءة جزئيًا ذات الصلة صناعيًا.

يقر المؤلفون بأن العمل الحالي يقتصر على العمليات متساوية الحرارة (isothermal) والريولوجيا النيوتونية المعممة. ويذكرون أن التطويرات المستقبلية يجب أن تشمل التأثيرات الحرارية (معادلة الطاقة) ونماذج التركيب اللزجة المرنة (viscoelastic) لالتقاط فيزياء خلط البوليمرات الصناعية بشكل كامل. ومع ذلك، فإن الإطار الحالي يضع أساسًا صارمًا لهذه التوسعات ويوفر أداة قوية لمحاكاة تدفقات السطح الحر في الهندسات المتحركة والمعقدة.