Classical Tensor Network and Quantum Fourier Transform Approaches for Large-Scale Carr-Madan Option Pricing

تخيل أنك تحاول التنبؤ بالسعر المستقبلي لسهم ما، ولكن بدلاً من النظر إلى رقم واحد، يتعين عليك حساب قيمة عقد مالي لآلاف الأسعار المحتملة المختلفة دفعة واحدة. هذا هو عالم "تسعير الخيارات" (option pricing)، وهو فرع من الرياضيات المالية حيث يستخدم العلماء معادلات معقدة لمعرفة قيمة الرهان على سعر سهم ما اليوم. الجزء الصعب هو أن الرياضيات غالباً ما تتضمن أداة تسمى "تحويل فورييه" (Fourier Transform)، وهي تشبه المنشور السحري الذي يكسر إشارة معقدة (مثل حركة سعر السهم) إلى ألوان تردداتها الفردية. وبينما يعد هذا المنشور مفيداً للغاية، فإن محاولة استخدامه على نطاق واسع باستخدام الحواسيب التقليدية يشبه محاولة حمل مكتبة في حقيبة ظهرك؛ حيث تنمو الذاكرة المطلوبة بسرعة كبيرة لدرجة أن الحاسوب ينفد منه المساحة قبل أن يتمكن من إنهاء المهمة.

هنا تصبح القصة مثيرة للاهتمام. فقد كان العلماء يبحثون عن طريقتين مختلفتين تماماً لحل مشكلة الذاكرة هذه. يقود أحد المسارين إلى العالم الغريب والقوي جداً للحواسيب الكمومية، والتي تستخدم قواعد الجسيمات الدقيقة للتعامل مع الحسابات الضخمة. أما المسار الآخر فيبقى على حواسيبنا المألوفة، لكنه يحاول ضغط البيانات في تنسيق شديد الإحكام يسمى "شبكة الموتر" (tensor network). والسؤال الكبير هو: هل يمكننا أخذ الحيل الذكية المستخدمة بواسطة الحواسيب الكمومية وتشغيلها على حواسيبنا المحمولة العادية دون الحاجة فعلياً إلى آلة كمومية؟

في هذا البحث، يقول ساشا هـ. هاوك وإيفيكا توركالج: "نعم، يمكننا ذلك". لقد طوروا طريقة جديدة تسمى "تحويل فورييه فائق السرعة" (SFFT). فكر في الأمر كطريقة لطي خريطة ضخمة وغير متناسقة لأسعار الأسهم وتحويلها إلى طائر أوريغامي صغير الحجم يتسع في الجيب، ومع ذلك لا يزال يحتفظ بجميع المعلومات المهمة. ومن خلال استخدام تقنية "الأوريغامي" هذه، أظهروا أن طريقتهم يمكنها تسعير خيارات الشراء الأوروبية (نوع محدد من العقود المالية) بدقة تماثل الطرق القدبة الثقيلة، ولكن دون الحاجة إلى قرص صلب لجهاز كمبيوتر خارق. لقد اختبروا ذلك على كل من الحواسيب التقليدية ومحاكيات الكم، ووجدوا أن نهجهم الجديد يستخدم ذاكرة أقل بكثير وتنمو تعقيداته بشكل أبطأ بكثير مع كبر حجم المشكلات. وبينما لم يحلوا كل الألغاز المالية، إلا أن عملهم يثبت أنه يمكننا استعارة أفضل الأفكار من الفيزياء الكمومية لجعل حواسيبنا الحالية أكثر كفاءة في التعامل مع الحسابات المالية الضخمة.

الاكتشاف الجوهري للورقة البحثية

يتناول المؤلفون عقبة محددة في الرياضيات المالية: "جدار الذاكرة". فعند تسعير الخيارات باستخدام طريقة "كار-مادان" الشهيرة، التي تعتمد على تحويلات فورييه، فإن كمية البيانات المطلوبة تنفجر بشكل أسي كلما حاولت حساب الأسعار لمزيد من أسعار التنفيذ. فالحاسوب التقليدي الذي يحاول القيام بذلك باستخدام "تحويل فورييه السريع" (FFT) القياسي، يجب أن يخزن ناقلاً كثيفاً وضخماً من الأرقام. إذا أردت زيادة الدقة بقليل فقط، فإن الذاكرة المطلوبة تتضاعف، ثم تتضاعف مرة أخرى، لتصبح بسرعة أمراً مستحيلاً.

لكسر هذا الجدار، أعاد المؤلفون صياغة مشكلة التسعير باستخدام "شبكات الموتر" (Tensor Networks)، وتحديداً بنية تسمى "قطار الموتر" (Tensor Train - TT). تخيل سلسلة طويلة من الأشخاص يمسكون بأيدي بعضهم البعض، حيث يحتاج كل شخص فقط لمعرفة جيرانه المباشرين لتمرير رسالة عبر الخط. في هذا التشبيه، "الرسالة" هي البيانات المالية. فبدلاً من تخزين القائمة الضخمة الكاملة من الأرقام (المكتبة بأكملها)، يقوم "قطار الموتر" بتخزين الروابط المحلية الصغيرة بين الأرقام فقط. هذا يسم يسمح للحاسوب بتمثيل مجموعة بيانات ضخمة أسياً باستخدام كمية ضئيلة من الذاكرة.

تقدم الورقة خوارزمية محددة تسمى "تحويل فوريير فائق السرعة" (SFFS). وهي نسخة مضغوطة من "تحويل فوريير الكمومي" (QFT). عادةً، يكون الـ QFT عبارة عن دائرة مصممة للحواسيب الكمومية يمكنها معالجة البيانات بسرعة هائلة ولكنها تتطلب آلة كمومية لتشغيلها. وقد أدرك المؤلفون أن البنية الرياضية للـ QFT فعالة للغاية لدرجة أنه يمكن "ترجمتها" إلى تنسيق "قطار الموتر" الكلاسيكي. ويسمون هذه الترجمة SFFT.

إليك كيف تعمل طريقتهم في الممارسة العملية:

1. الضغط: يأخذون البيانات المالية (الدالة المميزة لسعر السهم) ويمثلونها كـ "قطار موتر".
2. العملية السحرية: بدلاً من تشغيل FFT ثقيل ومستهلك للذاكرة، يقومون بتطبيق مؤثر SFFT مباشرة على "قطار الموتر" المضغوط. هذا يشبه إجراء عملية حسابية معقدة على طائر الأوريغامي المطوي دون الحاجة أبداً لفرده.
3. النتيجة: المخرج هو سعر الخيار، ولا يزال في تنسيق مضغوط، والذي يمكن بعد ذلك قراءته.

ما وجدوه وما استبعدوه

أجرى المؤلفون تجارب عددية باستخدام خيارات الشراء الأوروبية تحت نموذج "بلاك-شولز" (وهو نموذج قياسي ومعروف لأسعار الأسهم). وقارنوا بين ثلاثة مناهج:

1. FFT التقليدي (الطريقة القديمة الثقيلة).
2. SFFT الجديد (طريقة شبكة الموتر المضغوطة).
3. QFT (الطريقة الكمومية، التي تمت محاكاتها على كمبيوتر وتم تشغيلها على أجهزة كمومية فعلية).

النتائج:

• توفير الذاكرة: حافظت طريقة SFFT على دقة تسعير عالية مع تقليل استخدام الذاكرة بشكل كبير. في عمليات المحاكاة الخاصة بهم، ومع زيادة عدد الكيوبتات (والذي يقابل حجم الشبكة في الحساب)، نمت الذاكرة المطلوبة لـ FFT القياسي بشكل أسي، لتصبح بسرعة غير قابلة للإدارة. في المقابل، نمو استهلاك الذاكرة في SFFT كان بطيئاً جداً، وظل قابلاً للإدارة حتى بالنسبة للشبكات الكبيرة.
• السرعة والقياس: التكلفة الحسابية لـ SFFT تتوسع بشكل "دون أسي" (sub-exponentially). وهذا يعني أنه كلما كبرت المشكلة، فإن الوقت والموارد اللازمة لا تنفجر كما يحدث مع FFT الكلاسيكي.
• المقارنة الكمومية: عندما قارنوا SFFT الكلاسيكي بـ QFT الكمومي، وجدوا أن كلا النهجين يتجنبان التوسع الأسي للمنهج التقليدي. إن SFFT يجلب كفاءة النهج الكمومي إلى الأجهزة الكلاسيكية.

ما استبعدوه:
تجادل الورقة صراحة ضد فكرة أننا يجب أن نستخدم حاسوباً كمومياً فيزيائياً لتحقيق هذا المستوى من الكفاءة لهذه المشكلات المحددة. فهم يثبتون أن "بنية الضرب الموتري" لتحويل فورييه، والتي تجعل QFT قوياً جداً، يمكن استغلالها بكفاءة على الأجهزة الكلاسيكية باستخدام شبكات الموتر. هم لا يدعون أن SFFT أسرع من FFT بالنسبة للمشكلات الصغيرة (حيث قد لا تستحق تكلفة الضغط العناء)، لكنهم يظهرون أنه بالنسبة للمشكلات واسعة النطاق، فإن نهج شبكة الموتر الكلاسيكي هو بديل متفوق لـ FFT الذي يعتمد على القوة الغاشمة.

ما مدى ثقتنا؟

المؤلفون واثقون جداً من نتائجهم بناءً على البيانات التي قدموها. فهم لم يكتفوا باقتراح أن هذا قد ينجح، بل قاموا بقياس ذلك.

• الدقة: تحققوا من أن أسعار SFFT تطابق أسعار "بلاك-شولز" التحليلية المعروفة بدقة عالية. واستخدموا مقياساً يسمى "جذر متوسط مربع الخطأ المعياري" (NRMSE) لإظهار أن الخطأ ظل منخفضاً حتى مع زيادة حجم الشبكة.
• المحاكاة والأجهزة: اختبروا خوارزميتهم على أجهزة كلاسيكية (عنقود حاسوبي) كما قاموا بتشغيل نظيرهم الكمومي على محاكيات كمومية وعلى أجهزة كمومية فعلية. وتوافقت النتائج من كل من SFFT الكلاسيكي و QFT الكمومي مع توقعاتهم النظرية، مما أظهر أن كليهما يتجنب عنق زجاجة الذاكرة الأسي.
• القيود: تشير الورقة إلى أن SFFT يعتمد على أن تكون البيانات المدخلة ذات "بنية منخفضة الرتبة" (أي أن البيانات يمكن ضغطها جيداً). إذا كانت البيانات فوضوية للغاية بحيث لا يمكن ضغطها، فقد لا تكون الطريقة فعالة بنفس القدر. ومع ذلك، بالنسبة للنماذج المالية التي اختبروها (مثل Black-Scholes و Variance Gamma)، فقد انضغبت البيانات بشكل جيد جداً، مما أبقى "الرتب" (حجم الروابط في السلسلة) صغيرة، وعادة ما تكون في حدود 10 أو أقل.

باختم القول، توفر هذه الورقة إطاراً موحداً يربط بين تسعير فوريير الكلاسيكي، وخوارزميات شبكة الموتر، والحوسبة الكمومية. وهي تظهر أنه من خلال طي الرياضيات في "قطار موتر"، يمكننا إجراء تسعير خيارات واسع النطاق على أجهزة كمبيوتر كلاسيكية بجزء ضئيل من الذاكرة، مما يوفر بديلاً قابلاً للتوسع للحسابات المالية عالية الأبعاد دون الحاجة لانتظار نضوج الحواسيب الكمومية بالكامل.