Computing with traceable tensor networks

تخيل أنك تحاول حل لغز، وفي كل مرة تضيف فيها قطعة جديدة، ينفجر عدد الطرق الممكنة لترتيب الكل. هذا هو كابوس المشكلات "عالية الأبعاد" في العلوم والهندسة. وسواء كنت تقوم بنمذجة كيفية انتشار الحرارة عبر مادة معقدة، أو التنبؤ بحركة الجسيمات في سائل، أو محاكاة سلوك نظام كمي، فإن الرياضيات تصبح فوضوية بسرعة. إذا كانت المشكلة تحتوي على عدد قليل فقط من المتغيرات، يمكنك حلها على جهاز كمبيوتر محمول. ولكن إذا كان لديها عشرة أو عشرون أو مائة متغير، فإن كمية البيانات التي تحتاج إلى تخزينها ستنمو بشكل هائل لدرجة أن حتى أكبر أجهزة الكمبيوتر الفائقة في العالم ستنفد ذاكرتها قبل أن تتمكن من إنهاء الخطوة الأولى. الأمر يشبه محاولة رسم خريطة لكل مسار ممكن في مدينة تستمر في إضافة شوارع جديدة بسرعة تفوق قدرتك على الرسم.

ولمعالجة ذلك، يستخدم العلماء حيلة ذكية تسمى "شبكات الموتر" (tensor networks). فكر في "الموتر" (tensor) على أنه جدول بيانات ضخم متعدد الأبعاد. وبدلاً من محاولة تخزين الجدول بأك inteiro، وهو أمر مستحيل، تقوم هذه الطرق بتفكيكه إلى قطع أصغر مترابطة، مثل فريق من العمال يتبادلون الملاحظات فيما بينهم. كانت أكثر الفرق شعبية حتى الآن منظمة في خط مستقيم (يسمى "قطار الموتر" أو Tensor Train) أو في شكل شجرة (يسمى "توكر الهرمي" أو Hierarchical Tucker). هذه الفرق بارعة في الحفاظ على صغر حجم البيانات، لكنها جامدة؛ فهي لا تستطيع العمل إلا في تلك الأشكال المحددة. وإذا كان المشكل الذي تحاول حله يناسب طبيعياً شكلاً مختلفاً — مثل دائرة، أو حلقة، أو شبكة معقدة — فإن إجباره على اتخاذ شكل خط مستقيم أو شجرة يشبه محاولة وضع وتد مستدير في ثقب مربع. قد ينجح الأمر، لكنه يهدر الكثير من المساحة والطاقة.

وهنا يأتي دور دراسة جديدة أجرتها سارة إلواين ودانييل فينتوري من جامعة كاليفورنيا، سانتا كروز. فقد اخترعتا طريقة تسمح لفرق البيانات هذه بالعمل في أي شكل، بما في ذلك الحلقات والشبكات المعقدة، دون فقدان كفاءتها. ويطلقان على طريقتهما اسم "شبكات موتر الرسم البياني" (Graph Tensor Networks - GTN). في ورقتهما البحثية، توضحان أنه من خلال السماح للبيانات بالتدفق في نمط دائري أكثر طبيعية، يمكنهما حل مشكلات رياضية صعبة باستخدام موارد أقل بكثير من الطرق القديمة. لقد اختبرتا ذلك على بعض المعادلات الصعبة للغاية، بما في ذلك المعادلة التي تصف كيفية حركة الجسيمات وانتشارها (معادلة فوكر-بلانك)، ووجدتا أن نهج "الرسم البياني" الجديد كان في كثير من الأحيان أسرع بكثير واستخدم ذاكرة أقل بكثير من النهج التقليدي ذي الخط المستقيم أو شكل الشجرة، مع الحفاظ على دقة الإجابات نفسها.

قصة اللغز متقلب الأشكال

تخيل أنك تحاول وصف منحوتة ثلاثية الأبعاد ضخمة ومعقدة مكونة من ملايين قطع الليغو الصغيرة. إذا حاولت سرد موقع كل قطعة بمفردها، فستكون القائمة أطول من الإنترنت بأكمله. هذه هي مشكلة البيانات عالية الأبعاد. ولإصلاح ذلك، يستخدم العلماء استراتيجية "الرتبة المنخفضة" (low-rank): فبدلاً من سرد كل قطعة، يصفون المنحوتة كمجموعة من الكتل الأصغر والأبسط التي تتشابك معاً.

لفترة طويلة، كانت الطريقة الوحيدة لتشبيك هذه الكتل هي في خط مستقيم (مثل القطار) أو شجرة متفرعة. هذه الأشكال سهلة الإدارة، لكنها ليست دائماً الأنسب. فأحياناً، تريد البيانات أن تشكل دائرة أو شبكة معقدة. وإجبار مشكلة دائرية على اتخاذ شكل خط مستقيم يشبه محاولة المشي في دائرة وأنت تمسك بقضيب طويل ومستقيم؛ ستنتهي بخطوات ضخمة وغير فعالة.

تساءلت إلواين وفينتوري سؤالاً بسيطاً: ماذا لو استطعنا جعل الكتل تتشابك في أي شكل نريده، طالما لدينا خريطة لكيفية اتصالها؟

لقد طورتا خوارزمية جديدة تسمى GTN-SVD. فكر في هذا كأنه مترجم عالمي يمكنه أخذ كتلة ضخمة وفوضوية من البيانات وتفكيكها إلى شبكة من القطع الأصغر المرتبة في شكل تختاره — سواء كان خطاً، أو حلقة، أو نجمة، أو كتلة غريبة ومتعرجة. المفتاح هو "مصفوفة تجاور الرتبة"، وهي مجرد طريقة متطورة لرسم خريطة توضح أي القطع متصلة ببعضها البعض. إذا لم تكن قطعتان متصلتين، فإن الخريطة تقول "لا يوجد رابط"، وتعرف الخوارزمية أن تتجاهل هذا الاتصال، مما يوفر المساحة.

لكن تفكيك البيانات هو نصف المعركة فقط. فلحل مشكلة تتغير بمرور الوقت (مثل تدفق سائل)، يجب عليك الاستمرار في إضافة معلومات جديدة ثم "تنظيف" الفوضى للحفاظ على صغر حجم البيانات. وهنا تصبح الورقة البحثية ذكية حقاً.

في طرق "الخط المستقيم" القديمة، كان إضافة معلومات جديدة أمراً سهلاً: ما عليك سوى وضع الكتل الجديدة بجانب الكتل القديمة. ولكن في شبكة دائرية أو شبيهة بالويب، يمكن أن تؤدي إضافة كتل جديدة إلى تشابك الاتصالات وتضخمها، مما يجعل الشيء برمته ينفجر في الحجم مرة أخرى. أدرك المؤلفان أنه إذا كان للشبكة "مسار قابل للتتبع" — وهو مسار يزور كل كتلة بالضبط دون الوقوع في حلقة مفرغة — فيمكنهما معاملة الشبكة كأنها قطار لأغراض التنظيف فقط.

لقتما إجراء "تقريب" (rounding) جديداً. تخيل أن لديك شبكة فوضوية من الخيوط. إذا شددت الخيوط بترتيب معين (باتباع ذلك المسار القابل للتتبع)، يمكنك شد العقد وقص النهايات الزائدة دون كسر الشبكة. تفعل طريقتهم هذا بالضبط: فهي تمر عبر الشبكة، وتشد الاتصالات وتقص البيانات غير الضرورية، مما يحافظ على صغر الحجم ودقة عالية.

النتائج: أذكى، أسرع، وأكثر رشاقة

لمعرفة ما إذا كانت فكرتهما قد نجحت بالفعل، أجرى المؤلفان بعض الاختبارات. لم يكتفيا بالتخمين؛ بل قاموا بمحاكاة سيناريوهات من الواقع.

أولاً، حاولوا تقريب بعض الدوال الرياضية المعقدة والمتعرجة. وقارنوا شكل "الباربيل" (Barbell) الجديد الخاص بهم (وهو رسم بياني يشبه حلقتين متصلتين بجسر) مقابل الطرق القديمة ذات الخط المستقيم والشجرة. كانت النتائج مذهلة. للحصول على نفس المستوى من الدقة، احتاجت طريقة الرسم البياني الجديدة إلى أقل بـ 382 مرة من "درجات الحرية" (وهي طريقة معقدة لقول "قطع من البيانات") مقارنة بطريقة الخط المستقيم عند مستوى واحد من الدقة، وأقل بـ 498 مرة عند مستوى دقة أعلى. وباللغة البسيطة: كانت الطريقة الجديدة أكثر كفاءة بمئات المرات في تخزين نفس القدر من المعلومات.

بعد ذلك، تناولوا مشكلة فيزيائية شهيرة: معادلة فوكر-بلانك. تصف هذه المعادلة كيفية حركة سحابة من الجسيمات وانتشارها بمرور الوقت، مثل سقوط الحبر في الماء. قاموا بمحاكاتها في فضاء رباعي الأبعاد (وهو أمر يصعب تخيله، لكن فكر فيه كنسخة فائقة التعقيد من غرفة).

قاموا بتشغيل المحاكاة لفترة طويلة، خطوة بخ bước.

• في سيناريو "لا توجد رياح" (حيث تنتشر الجسيمات عشوائياً فقط): استخدمت طريقة الرسم البياني الجديدة ذاكرة أقل بـ 166 مرة من طريقة الخط المستقيم في البداية. ومع استمرار المحاكاة، ظلت طريقة الرسم البياني فعالة، بينما عانت الطريقة القديمة. أنهت طريقة الرسم البياني المحاكاة بأكملها في 1,460 ثانية، بينما استغرقت طريقة الخط المستقيم 2,737 ثانية. أي أنها أسرع بمرتين تقريباً.
• في السيناريو "الريحي" (حيث تُدفع الجسيمات بواسطة تدفق معقد): لا تزال طريقة الرسم البياني تستخدم أكثر من 10 مرات أقل من الذاكرة مقارنة بطريقة الخط المستقيم. وكان فرق الوقت أكبر: استغرقت طريقة الرسم البياني حوالي 1.16 ثانية لكل خطوة، بينما استغرقت طريقة الخط المستقيم 13.6 ثانية.

كان المؤلفون حذرين في ملاحظة أن طريقتهم ليست "عصا سحرية" تحل كل شيء بشكل مثالي. ففي اختبار "الرياح"، كانت طريقة الخط المستقيم أكثر دقة قليلاً في النهاية، رغم أنها كانت أبطأ بكثير وتستخدم ذاكرة أكبر بكثير. يشير المؤلفون إلى أنه بالنسبة لبعض المشكلات، قد تظل الطرق القديمة أفضل، ولكن بالنسبة للعديد من المشكلات الأخرى، فإن نهج الرسم البياني الجديد يعد مكسباً كبيًرا.

لماذا يهم هذا؟

الخلاصة الكبرى هي أننا لم نعد مضطرين لإجبار بياناتنا على اتخاذ خط مستقيم. من خلال السماح للبيانات بالتدفق في أشكال تطابق المشكلة — مثل الحلقات أو الشبكات — يمكننا حل الألغاز عالية الأبعاد التي كانت في السابق مكلفة للغاية أو بطيئة جداً للتعامل معها.

يوضح المؤلفون أنه من خلال استخدام أشكال الرسم البياني المرنة هذه، يمكننا الحصول على إجابات جيدة مثل الطرق القديمة، ولكن بجزء بسيط من قوة الكمبيوتر. الأمر يشبه إدراك أنك لست بحاجة لبناء طريق طويل ومتعرج للوصول من النقطة أ إلى النقطة ب؛ فأحياناً يكون الجسر المباشر أو المسار الدائري أسرع بكثير ويستخدم كمية أقل من الأسفلت. هذا يفتح الباب لمحاكاة أنظمة أكثر تعقيداً في الفيزياء والكيمياء والهندسة، مما قد يساعد في فهم كل شيء بدءاً من كيفية تحرك الأدوية داخل الجسم وصولاً إلى كيفية ولادة النجوم، دون الحاجة إلى كمبيوتر فائق بحجم مدينة.