Improving the matrix multiplication exponent with modern optimization and AlphaEvolve

في المشهد الواسع لعلوم الحاسوب، لا توجد عمليات تضاهي في أهميتها عملية ضرب شبكتين كبيرتين من الأرقام، وهي عملية تُعرف باسم ضرب المصفوفات. هذه المهمة الرياضية تشكل حجر الزاوية في كل شيء، بدءاً من تدريب نماذج الذكاء الاصطناعي وصولاً إلى رندرة الصور الواقعية في ألعاب الفيديو. لعقود من الزمن، علم العلماء أن هذه العملية يمكن تنفيذها بشكل أسرع من الطريقة المباشرة التقليدية، لكن الحد الدقيق لأقصى سرعة يمكن الوصول إليها ظل واحداً من أكثر الألغاز استعصاءً في هذا المجال. يُوصف هذا الحد برقم واحد، وهو أسّ رياضي يحدد كيفية نمو الوقت المطلوب للحساب مع زيادة حجم الشبكات. وكلما صغر هذا الرقم، زادت كفاءة الحاسوب. وبينما يُعرف أن الحد الأدنى النظري هو اثنان على الأقل، إلا أن أفضل حد علوي مثبت ظل يحوم فوق 2.37 لسنوات، وهو حاجز كان الباحثون يفتتون فيه باستخدام أدوات رياضية متطورة بشكل متزايد.

لقد تمكن فريق من الباحثين من "جوجل ديب مايند" (Google DeepMind)، بالتعاون مع باحثين من عدة جامعات، من دفع هذا الحد قليلاً إلى الأمام. فمن خلال الجمع بين تقنيات التحسين الحديثة وشكل جديد من الذكاء الاصطناعي، حققوا رقماً قياسياً جديداً، مثبتين أن الأس يمكن خفضه إلى أقل من 2.371177. هذا التغيير الرقمي طفيف، ولكن في سياق هذه المسألة تحديداً، فإنه يمثل خطوة كبيرة للأمام. والنتيجة السابقة التي حققت الرقم القياسي في عام 2025 كانت تقف عند 2.371339. لا يحل الاكتشاف الجديد اللغز النهائي للحد الدقيق، ولا يغير بشكل مباشر كيفية ضرب الحواسيب للمصفوفات في الممارسة العملية، ولكنه يضيق القيود النظرية على المسألة، موضحاً أن السقف أقل مما كان يُعتقد سابقاً أنه ممكن.

بدأ الطريق نحو هذا الرقم القياسي الجديد بإطار عمل رياضي يُعرف باسم "طريقة الليزر" (laser method)، وهي تقنية تم تطويرها قبل أربعين عاماً لتصميم خوارزميات ضرب مصفوفات أسرع بشكل غير مباشر. ويعتمد أحدث تحسين لهذه الطريقة، والذي يسمى "تحليل خسارة الجمع" (combination loss analysis)، على حل مسألة تحسين ضخمة ومعقدة. تتضمن هذه المسألة إيجاد أفضل طريقة لتفكيك بنية رياضية كبيرة إلى قطع أصغر. وقد وجد الباحثون أن صعوبة هذه المسألة تعتمد على معلمة (parameter) تمثل عمق التفكيك. كانت المحاولات السابقة قد توقفت عند عمق ثلاثة، مما حد من عدد المتغيرات التي يمكن تعديلها. وأدرك الفريق الجديد أنه من خلال زيادة هذا العمق إلى أربعة، يمكنهم استكشاف مساحة أكبر بكثير من الاحتمالات، ولكن القيام بذلك سيتطلب حل مسألة تحتوي على ملايين المتغيرات، وهي مهمة أكبر بكثير من أن تتعامل معها الخوارزميات التقليدية المستخدمة في الماضي.

ولمعالجة هذا النطاق، لجأ الباحثون إلى تقنيات مستعارة من تعلم الآلة. فبدلاً من استخدام الحلول الرياضية القياسية، أعادوا صياغة المسألة بحيث يمكن التعامل معها بواسطة "الانحدار الاشتقاقي" (gradient descent)، وهي طريقة تُستخدم عادةً لتدريب الشبكات العصبية. سمح هذا النهج باستخدام أجهزة حاسوبية قوية لمعالجة البيانات بالتوازي، مما مكنهم من التعامل مع الانفجار في التعقيد الذي جاء مع التفكيك الأعمق. لقد عاملوا المتغيرات الرياضية كما لو كانت الأوزان القابلة للتعديل في نموذج تعلم، حيث قاموا بتنقيحها بشكل تكراري لإيجاد حل أفضل. هذا التحول في الاستراتيجية وحده أدى إلى تحسين الحد بمقدار ملموس، مما أثبت أن الأدوات الحسابية الحديثة يمكنها فتح آفاق لم تدركها الطرق القديمة.

ومع ذلك، لم يتوقف الفريق عند هذا الحد؛ فقد استخدموا نظاماً يسمى "ألفا إيفولف" (AlphaEvolve)، وهو ذكاء اصطناعي مصمم لكتابة وتحسين الكود الخاص به. فبدلاً من مجرد تشغيل خوارزمية التحسين، تركوا الذكاء الاصطناعي يعدل الخوارزمية نفسها. كان النظام يولد نسخة جديدة من الكود، ثم يشغلها ليرى الحد الذي تنتجه، ومن ثم يطور الكود بشكل أكبر لتقليل ذلك الحد. سمحت عملية التحسين الذاتي هذه للباحثين بإيجاد تنقيحات دقيقة في استراتيجية التحسين قد يغفل عنها فريق بشري. وكانت نتيجة هذا التطور الآلي هي تحسين إضافي، مما دفع الحد نزولاً إلى الرقم القياسي الجديد 2.371177.

ولضمان أن هذه النتيجة ليست ناتجة عن أخطاء تقريب الحاسوب أو عدم دقة الفاصلة العائمة، قام الفريق بخطوة تحقق صارمة. فقد أخذوا الحل الذي وجدته خوارزمياتهم وحولوا جميع الأرقام إلى كسور دقيقة، وأجروا الحسابات النهائية بدقة تامة. كما استبدلوا كل لوغاريتم في المعادلات بحد عقلاني آمن يضمن استيفاء القيود. أكدت عملية التصديق الدقيقة هذه أن الحد الجديد صحيح رياضياً وخالٍ من الضجيج العددي الذي غالباً ما يعيب مثل هذه الحسابات المعقدة.

يشير الباحثون إلى أنه بينما حقق نهجهم حداً أفضل، فإن التحسينات أصبحت صعبة المنال بشكل متزايد. فالإنجازات التي حققوها تضاهي في حجمها التقدم التدريجي الذي شوهد على مدار الأربعين عاماً الماضية. وهم يقترحون أنه بينما قد تكون المزيد من التحسينات المتواضعة ممكنة من خلال الاستمرار في صقل تقنيات التحسين هذه، فإن تحقيق قفزة أكبر في فهم الحد الحقيقي سيتطلب على الأرجح أفكاراً رياضية جديدة تماماً. وفي الوقت الحالي، يقف هذا العمل كشهادة على قوة الجمع بين الرياضيات النظرية العميقة والقوة الحسابية للتعلم الآلي الحديث، مما يثبت أنه حتى في مجال ذي تاريخ طويل، لا تزال هناك مساحة للاكتشاف.