Mutual information-entropy plane: a new quantifier space for time series analysis

في دراسة الأنظمة المعقدة، من تقلبات سوق الأسهم إلى إشارات الخلايا العصبية في الدماغ، يبحث العلماء غالبًا عن طرق لقياس مدى عدم القدرة على التنبؤ بنظام ما ومدى تشاركه مع نظام آخر. لقد ساعدت أداتان قويتان الباحثين لفترة طويلة في التنقل في هذا المجال: الإنتروبيا والمعلومات المتبادلة. الإنتروبيا هي مقيم للاضطراب أو العشوائية؛ فالساعة التي يمكن التنبؤ بحركتها تمامًا لها إنتروبيا منخفضة، بينما النظام المكون من ضوضاء استاتيكية بحتة له إنتروبيا عالية. أما المعلومات المتبادلة، من ناحية أخرى، فتقيس مقدار ما يخبرنا به نظامان مختلفان عن بعضهما البعض. فإذا كان معرفة حالة أحد الأنظمة يسمح لك بتخمين حالة نظام آخر بدقة عالية، فهذا يعني أنهما يتشاركان الكثير من المعلومات المتبادلة. لعقود من الزمن، استخدم العلماء هذه الأدوات بشكل منفصل، ورسموها على خرائط للتمييز بين السلوكيات المنظمة، والفوضوية، والعشوائية. ومع ذلك، ظل هناك فجوة كبيرة: فبينما استطاعت هذه الأدوات وصف فوضى نظام واحد أو الرابط بين نظامين، إلا أنها عجزت عن إظهار عدم اليقين الداخلي للنظام وعلاقته بنظام آخر في آن واحد، كما لم تستطع بسهًا الكشف عن أي نظام كان يقود الآخر.

لقد اقترح فريق من الباحثين من الأرجنتين الآن طريقة جديدة لتصور هذه العلاقات، حيث أنشأوا خريطة ثنائية الأبعاد تجمع هذه المفاهيم في صورة واحدة بديهية. ومن خلال أخذ المقياس القياسي للاضطراب ودمجه مع مقياس للمعلومات المشتركة، صاغوا مستوًى يروي كل نقطة فيه قصة كاملة عن زوج من السلاسل الزمنية المتفاعلة. هذا النهج الجديد، الذي أطلقوا عليه اسم "مستوى المعلومات المتبادلة والإنتروبيا"، يسمح للعلماء ليس فقط برؤية مدى فوضوية النظام أو مدى ارتباطه بشريك، بل وأيضًا بتحديد اتجاه التأثير بينهما. اختبر الباحثون هذه الطريقة على ثلاثة أنواع متميزة من السلوك: الحركة المنتظمة والمتوقعة؛ والحركة الفوضوية الحتمية التي تبدو عشوائية ولكنها تتبع قواعد صارمة؛ والضوضاء العشوائية البحتة. ووجدوا أن هذه الخريطة الجديدة يمكنها فصل هذه السلوكيات المختلفة بوضوح، حتى عندما تتشارك في نفس القدر من المعلومات، مما حل مشكلة عجزت عنها الطرق السابقة.

يكمن جوهر هذه الطريقة الجديدة في كيفية ترتيب الباحثين لبياناتهم. فقد أخذوا مقياس الاضطراب الداخلي للنظام ووضعوه على محور واحد، بينما وضعوا مقياس المعلومات التي يشاركها مع شريك على المحور الآخر. وعندما رسموا النتائج، ظهر نمط هندسي واضح. واكتشف الباحثون أن المسافة التي تفصل نقطة البيانات عن خط قطري محدد على الخريطة تكشف عن شيء عميق: درجة استقلال أحد الأنظمة عن الآخر. فإذا وقعت النقطة مباشرة على الخط، فإن النظامين يكونان مرتبطين ارتباطًا وثيقًا لدرجة أن معرفة أحدهما تفسر الآخر تمامًا. أما إذا وقعت النقطة بعيدًا تحت الخط، فهذا يعني أنه على الرغم من احتمال وجود رابط بين النظامين، إلا أن جزءًا كبيرًا من سلوك أحدهما يظل لغزًا عند النظر إلى الآخر. وتعمل هذه المسافة الرأسية كمقياس مباشر لـ "الاستقلال المعلوماتي"، وهو مفهوم كان من الصعب تصوره من قبل.

وما يجعل هذا الاكتشاف قويًا بشكل خاص هو قدرته على كشف الاتجاهية دون حسابات معقدة. ففي العديد من المجالات العلمية، يتطلب تحديد ما إذا كان النظام (أ) يسبب تغييرات في النظام (ب)، أو العكس، أدوات حوسبة ثقيلة. وقد أظهر الباحثون أنه من خلال رسم كلا النظامين على نفس الخريطة، فإن الهندسة نفسها تكشف عن تدفق التأثير. فإذا كان النظام (أ) يقود النظام (ب)، فإن النقطة التي تمثل (أ) ستكون أقرب إلى الخط القطري من النقطة التي تمثل (ب). ويخلق هذا التباين سهمًا بصريًا بسيطًا، يشير من القائد إلى المَقود، مما يسمح للباحثين برؤية اتجاه تدفق المعلومات بمجرد النظر إلى المواضع النسبية للنقاط. إنها طريقة لرؤية من يقود ومن يتبع في رقصة البيانات، دون الحاجة إلى حساب خطوات الرقصة نفسها.

ولإثبات فائدة خريطتهم الجديدة، قام الباحثون بمحاكاة ثلاثة سيناريوهات كلاسيكية. أولاً، نظروا إلى الحركة المنتظمة والمتوقعة، مثل بندول يتأرجح. بعد ذلك، فحصوا الأنظمة الفوضوية، وهي أنظمة حتمية ولكنها تبدو عشوائية، مثل "الخريطة اللوجستية" الشهيرة المستخدمة لنمذجة نمو السكان. وأخيرًا، درسوا الضوضاء البيضاء النقية، وهي عشوائية تمامًا. ثم أنشأوا نظامًا ثانيًا لكل حالة كان عبارة عن مزيج من النظام الأصلي وبعض الضوضاء العشوائية، مع التحكم في عامل الاقتران. وبينما كانوا يعدلون هذا العامل، راقبوا كيف تتحرك النقاط عبر خريطتهم الجديدة. ووجدوا أنه بينما تزداد كمية المعلومات المشتركة باطراد مع زيادة اقتران الأنظمة، فإن موضع النقاط على الخريطة يظل متميزًا لكل نوع من أنواع الديناميكيات. فالأنظمة المنتظمة، والفوضوية، والعشوائية تشغل مناطق مختلفة من المستوي، مما يسمح بتمييزها بوضوح. وكان هذا اكتشافًا حاسمًا لأن الطرق السابقة غالبًا ما كانت تواجه صعوبة في التمييز بين الأنظمة الفوضوية والضوضاء العشوائية عندما تتشارك في مستويات مماثلة من المعلومات.

كما أظهر الباحثون أن هذه الطريقة تعمل في التطبيقات الواقعية حيث يكون الاتجاه مهمًا. فمن خلال رسم إنتروبيا النظام القائد مقابل المعلومات المشتركة، ثم رسم إنتروبيا النظام الناتج مقابل نفس المعلومات المشتركة، استطاعوا رؤية انقسام واضح. فالنقطة الخاصة بالنظام القائد ظلت أقرب إلى خط الاعتماد الكامل، بينما ابتعدت النقطة الخاصة بالنظام الناتج عن الخط. أكد هذا الفجوة البصرية أن المعلومات كانت تتدفق في اتجاه واحد، من القائد إلى المتلقي. وأشار الباحثون إلى أن هذا النهج يقدم طريقة أكثر مباشرة وهندسية لفهم هذه العلاقات مقارنة بالتقنيات الأقدم والأكثر تكلفة من حيث الحوسبة.

ومع ذلك، يلاحظ المؤلفون بحذر قيود أداتهم الجديدة. فمثل أي طريقة تعتمد على الأنماط الإحصائية، فإنها حساسة لكيفية إعداد البيانات. إن الطريقة التي يتم بها تقسيم السلاسل الزمنية، وحجم النوافذ المستخدمة في التحليل، وكمية البيانات المتاحة، يمكن أن تغير جميعها موضع النقاط على الخريطة. وفي حالات مجموعات البيانات القصيرة جدًا أو المشوشة، قد تفقد الخريطة بعض حدتها، مما يجعل من الصعب التمييز بين الاختلافات الدقيقة. وفي هذه الحالات، يقترح الباحثون التعامل مع النتائج كاتجاهات عامة وليس كقياسات دقيقة. ورغم هذه القيود، يوفر المستوى الجديد إطارًا قويًا لمقارنة الديناميكيات المعقدة. فهو يوفر وسيلة لتوصيف عدم اليقين الداخلي للنظام وعلاقته بنظام آخر في آن واحد، محولًا المفاهيم الرياضية المجردة إلى مشهد بصري.

يمثل هذا العمل خطوة كبيرة للأمام في تحليل الأنظمة المعقدة، حيث يقدم رؤية موحدة لعدم اليقين والاتصال. ومن خلال دمج مقاييس الاضطراب والمعلومات المشتركة في مساحة واحدة ثنائية الأبعاد، قدم الباحثون أداة تتسم بالبديهية والقوة في آن واحد. فهي تسمح للعلماء ليس فقط بمعرفة مدى فوضوية أو عشوائية نظام ما، بل وأيضًا بكيفية ارتباطه بالآخرين وفي أي اتجاه يتدفق التأثير. وسواء طُبقت على الأسواق المالية، أو نشاط الدماغ، أو الأنظمة الفيزيائية، فإن هذه الخريطة الجديدة تعد بمساعدة الباحثين على فك تشابك الشبكة المعقدة للسبب والنتيجة التي تحدد عالمنا المعقد، وتحويل أنماط المعلومات غير المرئية إلى قصة بصرية واضحة.