Importance Sampling Enhanced with the COS Method for the Portfolio Risk Allocation

في عالم التمويل، تدير البنوك وشركات الاستثمار مجموعات ضخمة من القروض، تُعرف باسم المحافظ الاستثمارية. وفي معظم الأوقات، تعمل هذه المحافظ بشكل جيد وتتدفق الأموال بسلاسة. ولكن أحياناً، تضرب عاصفة مثالية: ركود اقتصادي، أو انهيار مفاجئ في السوق، أو سلسلة من حالات التخلف عن السداد تتسبب في خسارة المحفظة لمبلغ هائل دفعة واحدة. هذه أحداث نادرة، لكنها هي التي يمكن أن تدمر بنكاً. وللبقاء في أمان، يتطلب المنظمون من البنوك معرفة المبلغ الدقيق الذي يتعين عليها الاحتفاظ به كاحتياطي للنجاة من مثل هذه الكوارث. تكمن المشكلة في أن هذه الكوارث تحدث نادراً لدرجة أنك إذا حاولت محاكاتها على جهاز كمبيوتر باستخدام الطرق القياسية، فقد تقوم بتشغيل المحاكاة مليون مرة دون أن ترى كارثة واحدة. الأمر يشبه محاولة التنبؤ بفيضان يحدث مرة كل قرن من خلال مراقبة نهر لفترة ما بعد الظهر؛ ببساطة لن ترى المياه ترتفع بما يكفي لتحدث فرقاً.

ولحل هذه المشكلة، يستخدم علماء الرياضيات تقنية تسمى "أخذ العينات بالأهمية" (importance sampling). فبدلاً من مراقبة النهر بشكل طبيعي، يقومون بتغيير الطقس اصطناعياً في محاكاتهم لجعل الفيضان يحدث بشكل متكرر أكثر. ثم يستخدمون تصحيحاً رياضياً لضبط النتائج لتعود إلى الواقع، مما يضمن دقة الإجابة النهائية. ومع ذلك، فإن هذه الطريقة لها عيب: إذا تم تغيير الطقال الاصطناعي بشكل كبير جداً، يصبح التصحيح غير مستقر وتصبح النتائج مشوشة. وإذا تم تغيير الطقس بشكل طفيف جداً، فإن الفيضان سيظل نادراً، وتظل المحاكاة عديمة الفائدة. المفتاح لإنجاح هذا العمل هو إيجاد التوازن المثالي لكيفية تعديل المحاكاة. وهذا هو التحدي الذي عالجه الباحثون فانغ فانغ، وشياويو شين، وتشينلينغ وانغ في عملهم الأخير حول مخاطر المحافظ الائتمانية.

ركز الباحثون على نوع محدد من النماذج المالية حيث ترتبط صحة العديد من المقترضين المختلفين ببعضهم البعض من خلال بعض العوامل الأساسية المشتركة، مثل الحالة العامة للاقتصاد. فعندما يعاني الاقتصاد، يعاني العديد من المقترضين في نفس الوقت. ولتقدير خطر حدوث خسارة فادحة، كان عليهم معرفة كيف سيبدو الاقتصاد تماماً إذا كانت كارثة على وشك الحدوث. كان هدفهم هو معايرة المحاكاة بحيث تنحرف بشكل طبيعي نحو هذه الحالات الاقتصادية الخطرة دون كسر القواعد الرياضية.

لسنوات، كانت الطريقة القياسية للقيام بهذه المعايرة هي إجراء مجموعة أولية من عمليات المحاكاة ومجرد عدّ عدد المرات التي وقعت فيها كارثة. إذا أدت سيناريوهات اقتصادية معينة إلى كارثة، فإنها تحصل على صوت "نعم"؛ وإذا لم تؤدِ، تحصل على صوت "لا". المشكلة في هذا النهج هي أنه عند المستويات القصوى من المخاطر التي تهتم بها البنوك، تكون الكوارث نادرة جداً لدرجة أنك في تشغيل أولي لنصف مليون سيناريو، قد تحصل فقط على بضع مئات من أصوات "نعم". ومع وجود عدد قليل جداً من نقاط البيانات، يكون التعديل الناتج مهتزاً وغير موثوق، تماماً مثل محاولة تخمين متوسط طول السكان من خلال قياس ثلاثة أشخاص فقط.

اقترح الفريق طريقة جديدة، أطلقوا عليها اسم ISCOS، لاستبدال هذه الأصوات الصماء (نعم أو لا) بشيء أكثر سلاسة. فبدلاً من السؤال: "هل تسبب هذا السيناريو في كارثة؟"، سألوا: "ما هو احتمال أن يتسبب هذا السيناريو في كارثة؟". واستخدموا أداة رياضية متطورة، تعتمد على تقنية تسمى "طريقة فورييه-كوسين" (Fourier-cosine method)، لحساب هذا الاحتمال مباشرة من هيكل النموذج. سمحت لهم هذه الأداة بتقدير فرصة وقوع كارثة لكل سيناريو يحاكونه، حتى لو لم ينتج عن ذلك السيناريو المحدد كارثة فعلية في التشغيل الأولي. ومن خلال استخدام تقديرات الاحتمال السلسة هذه بدلاً من الإجابات الثنائية (نعم أو لا)، تمكنوا من جمع معلومات أكثر فائدة من نفس عدد عمليات المحاكاة الحاسوبية.

وعندما اختبروا هذه الطريقة الجديدة مقابل الطريقة القديمة، كان الفرق صارخاً. ففي تجاربهم، التي شملت محفظة من مئة مقترض وإحدى عشرة عامل اقتصاد مختلف، أنتجت الطريقة الجديدة نتائج أكثر استقراراً بكثير. وتحديداً، عندما نظروا إلى مدى مساهمة كل مقترض فردي في إجمالي مخاطر الكارثة، أعطت الطريقة الجديدة إجابات أكثر وضوحاً. فقد أنتجت الطريقة القديمة نطاقات واسعة وغير مؤكدة لهذه المساهمات، بينما قلصت الطريقة الجديدة تلك النطاقات بشكل كبير. وفي أحد الاختبارات، قللت الطريقة الجديدة من عدم اليقين في تقديرات المخاطر بأكثر من عشرين بالمائة. وهذا يعني أن البنك الذي يستخدم هذه الطريقة يمكن أن يكون لديه صورة أكثر دقة حول مواطن الضعف لديه، مما يسمح باتخاذ قرارات أفضل بشأن حجم رأس المال الذي يجب الاحتفاظ به.

تحقق الباحثون أيضاً مما إذا كانت طريقتهم الجديدة سليمة رياضياً. وقد أثبتوا أنه باستخدام تقديرات الاحتمال السلسة، فإنهم يزيلون فعلياً طبقة من الضجيج العشوائي التي كانت تعاني منها الطريقة القديمة. جعل هذا التقديرات أكثر كفاءة إحصائياً، مما يعني أنهم حصلوا على نتائج أكثر دقة باستخدام نفس القدر من قوة الحوسبة. وقد اختبروا ذلك على نوعين مختلفين من النماذج المالية: أحدهما يفترض أن العوامل الاقتصادية تتبع توزيع منحنى جرس قياسي، والآخر يسمح بأحداث أكثر تطرفاً وذات "ذيول ثقيلة" (heavy-tailed). وفي كلتا الحالتين، تفوقت الطريقة الجديدة على الطريقة القديمة، حيث قدمت تخصيصات مخاطر أكثر موثوقية دون الحاجة إلى وقت حوسبة أكبر بشكل ملحوظ.

وكان أحد أهم النتائج هو أن الطريقة الجديدة لم تحسن رقم المخاطر الإجمالي فحسب، بل حسنت أيضاً تفصيل هذه المخاطر. فالبنوك تحتاج ليس فقط لمعرفة أنها معرضة للخطر، بل لمعرفة أي القروض المحددة هي التي تقود هذا الخطر. كانت الطريقة القديمة غالباً ما تواجه صعوبة في تحديد هذه المساهمات الفردية بدقة عندما يكون حد الكارثة مرتفعاً جداً. ومع ذلك، قدمت الطريقة الجديدة خريطة أكثر وضوحاً لهذه المخاطر الفردية. وهذا أمر بالغ الأهمية لمديري المخاطر الذين يحتاجون إلى تقرير ما إذا كانوا سيبيعون قرضاً معيناً أو يشترون تأميناً ضده. إن القدرة على رؤية هذه التفاصيل بدقة أكبر، دون انتظار محاكاة أطول، تعد ميزة عملية كبيرة.

أُجريت الدراسة باستخدام محفظة معيارية محددة تضم مئة مقترض، مقسمة إلى عشر مجموعات ذات أحجام مختلفة من الخسائر المحتملة. وضع الباحثون مستوى الثقة عند 99.9 بالمائة، وهو معيار للمخاطر العالية في التنظيم المالي، وبحثوا عن السيناريوهات التي تتجاوز فيها الخسارة الإجمالية حداً معيناً مرتفعاً. أجروا عمليات المحاكاة الخاصة بهم على إعداد حاسوبي قياسي، وقارنوا نهجهم الجديد مباشرة بالمنهج المتبع. وأظهرت النتائج أنه بينما تطلبت الطريقة الجديدة وقتاً إضافياً صغيراً لحساب الاحتمالات السلسة، إلا أن هذه التكلفة كانت ضئيلة مقارنة بالوقت الذي تم توفيره من خلال الحصول على نتائج دقيقة بشكل أسرع. كان إجمالي الوقت لتشغيل المحاكاة الكاملة أطول بنسبة 4% فقط، لكن جودة تقييم المخاطر كانت أفضل بشكل كبير.

وقد حرص الباحثون على ملاحظة أن نتائجهم تستند إلى عمليات محاكاة وحالات اختبار محددة. ولم يدعوا أن طريقتهم ستحل كل مشكلة في كل سوق مالية ممكنة، كما لم يقترحوا أنها حل سحري يقضي على جميع أنواع عدم اليقين. لقد تم قياس التحسينات من حيث مدى تباين التقديرات من تشغيل لآخر، ومدى ضيق فترات الثقة حول الأرقام النهائية. وفي الاختبارات التي أجروها، أنتجت الطريقة الجديدة باستمرار فترات أضيق وتقديرات أكثر استقراراً، لا سيما بالنسبة لمساهمات "مخاطر الذيل" (tail-risk) التي يصعب حسابها.

في نهاية المطاف، يوضح هذا العمل أنه من خلال تغيير كيفية نظرنا إلى البيانات خلال مرحلة المعايرة، يمكننا جعل محاكاة الأحداث النادرة أكثر قوة. فبدلاً من الاعتماد على الحظ في إصابة كارثة خلال تشغيل أولي، تستخدم الطريقة الجديدة البصيرة الرياضية لفهم إمكانية وقوع كارثة في كل سيناريو. إن هذا التحول من عدّ الأحداث النادرة إلى تقدير احتمالية حدوثها يسمح بتقييم أكثر قوة وموثوقية للمخاطر المالية. وبالنسبة للمؤسسات التي تعتمد على هذه الحسابات لحماية الاقتصاد العالمي، فإن القدرة على رؤية الخطر بوضوح أكبر، مع ضجيج وأقل قدر من عدم اليقين، هي خطوة مهمة نحو الأمام في إدارة المجهول.