⚛️ quantum physics

Amenable groups with nearly exponential sofic profile, and quantum channels that need nearly linear memory

تُنشئ هذه الورقة مجموعة قابلة للتمثيل بأسلوب منتهي، وهي مجموعة سهلة المراس أولية ذات ملف تعريف صوفي شبه أسي، وتستخدم خصائصها لتعريف قناة كمومية تُظهر مقايضة جوهرية بين متطلبات الذاكرة والنقاء، كاشفةً أنه في حين يمكن تنفيذ القناة بدقة باستخدام بيئة نقية صغيرة، فإن أي محاكاة تقريبية باستخدام حمام مختلط محدود تتطلب أبعاداً كبيرة أسياً.

المؤلفون الأصليون: Seth Douglas, Nidhal Mghirbi

نُشر 2026-10-06

📖 6 دقيقة قراءة🧠 قراءة متعمّقة

CC BY 4.0

المؤلفون الأصليون: Seth Douglas, Nidhal Mghirbi

البحث الأصلي مرخَّص بموجب CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ هذا شرح مولَّده بالذكاء الاصطناعي للبحث أدناه. لم يكتبه المؤلفون ولم يصادقوا عليه. وللتحقق من الدقة التقنية، يرجى الرجوع إلى البحث الأصلي. اقرأ إخلاء المسؤولية الكامل

في المشهد الشاسع للرياضيات، توجد هياكل معقدة للغاية لدرجة أنها تبدو وكأن لا نهاية لها، بينما توجد أخرى بسيطة بما يكفي لتستقر في العقل. وبين هذين الطرفين، تقع المجموعات "المُسالمة" (amenable groups)، وهي مجموعات لانهائية من القواعد التي تتصرف، بطريقة محددة للغاية، مثل المجموعات المنتهية. تخيل آلة عملاقة لا نهائية، حيث يمكن لكل قطعة محلية صغيرة أن تُحاكي بدقة قطعة أخرى أبسط ومنتهية. لعقود من الزمن، تساءل الرياضيون عن مدى قرب هذه الهياكل اللانهائية من كونها منتهية حقًا. إذا أخذت لقطة صغيرة لمجموعة مُسالمة، يمكنك إعادة إنشاء سلوكها باستخدام تبديلات لمجموعة منتهية من الأشياء، مثل خلط مجموعة من أوراق اللعب. ولكن ما هو حجم هذا "السطر" (deck) لضبط عملية الخلط بشكل صحيح؟ إن مسألة الحجم هذه، أو "الملف الشخصي" (profile)، تكشف عن العمق الخفي لهذه المجموعات. إذا كان الحجم المطلوب أكبر قليلاً فقط من اللقطة، فإن المجموعة تكون قريبة جداً من كونها منتهية. أما إذا كان الحجم يجب أن ينمو بشكل انفجاري، فإن المجموعة تكون أكثر تعقيداً مما تبدو عليه.

لقد قام فريق من الباحثين الآن ببناء مجموعة محددة، لانهائية التعقيد، تدفع بهذا الحد إلى حافة ما يمكن اكتشافه. لقد بنوا كائناً رياضياً هو "مُسالم" — أي يمكن تقريبه بواسطة قطع منتهية — ولكنه كائن تتطلب تقريباته المنتهية أحجاماً فلكية لتكون دقيقة. ينمو حجم التقريب المطلوب بسرعة تقترب من الدالة الأسية، وهو معدل يقترب من أقصى سرعة يمكن بها قياس هذا النوع من التعقيد. هذا الاكتشاف ليس مجرد فضول تجريدي حول الأشكال اللانهائية؛ بل له نتيجة مفاجلة ومباشرة لمستقبل الحوسبة الكمومية. فالبنية الرياضية نفسها التي تفرض هذه التقريبات الضخمة هي التي تحدد مقدار الذاكرة التي يحتاجها جهاز كمومي لأداء مهمة معينة بشكل متكرر. وجد الباحثون أن الجهاز الذي يحاول تكرار عملية كمومية معينة عدة مرات لا يمكنه ببساطة تخزين كمية صغيرة من المعلومات وإعادة استخدامها. بدلاً من ذلك، إذا سُمح للجهاز باستهلاك قدر كبير من "النقاء" (purity) — وهو مورد يشبه الطاقة الطازجة غير الفاسدة — فإن الذاكرة المطلوبة تنمو بشكل شبه خطي مع عدد المرات التي يتم فيها تنفيذ العملية. ومع ذلك، إذا عمل الجهاز بنقاء لوغاريتمي، فإن الذاكرة المطلوبة تنمو كـ $n^{1-o(1)}$ ، وهي نمو تحت خطي (sublinear) ولكنه يقترب من النمو الخطي.

حقق الباحثون ذلك من خلال إعادة تصور بناء رياضي كلاسيكي يُعرف باسم "مجموعة المصباح" (lamplighter group). في النسخة التقليدية، تخيل شارعاً طويلاً به مصباح عند كل منزل. يسير عامل في الشارع، يقوم بتشغيل المصابيح وإطفائها. يتم تعريف حالة الشارع من خلال المصابيح المضاءة وموقع العامل. المجموعة الجديدة التي بناها المؤلفون تستبدل الشارع بمشهد أكثر تعقيداً: فبدلاً من المصابيح في المنازل الفردية، تكون "المصابيح" عبارة عن نسخ من مجموعة تناظر ثلاثية العناصر تجلس على كل نمط ممكن من المنازل المضاءة. لا يزال بإمكان العامل التحرك، ولكن يمكنه أيضاً تغيير نمط المنازل المضاءة بطرق معقدة، مثل قلب مفتاح يؤثر على حي كامل دفعة واحدة. من خلال ترتيب هذه الأنماط وقواعد التنقل بينها بعناية، خلق الفريق نظاماً يمكن فيه جلب مصباحين بعيدين للتفاعل باستخدام تسلسل قصير بشكل مدهش من الحركات. ومع ذلك، فإن تكلفة جعل هذه المصابيح تتفاعل مخفية في هندسة الأنماط نفسها. لجلب مصباحين محددين معاً، يجب على العامل عبور مسار، رغم أنه قصير الخطوات، يتطلب "مساحة" هائلة لملء الفجوات في المنطق الرياضي. هذا التكلفة المخفية تجبر أي محاولة لمحاكاة المجموعة باستخدام مجموعة منتهية من النقاط على استخدام عدد من النقاط ينمو بشكل شبه أسي.

تمت ترجمة هذا البناء الرياضي بعد ذلك إلى سيناريو فيزيائي يتضمن قناة كمومية، وهي جهاز يحول المعلومات الكمومية. صمم الباحثون قناة محددة تعمل على نظام من 873 حالة كمومية. وأثبتوا أنه إذا حاول جهاز استخدام هذه القناة مراراً وتكراراً، مع إطلاق المخرجات قبل وصول المدخل التالي، فإنه يواجه مقايضة صارمة. إذا حاول الجهاز إبقاء استخدام الذاكرة منخفضاً، فيجب عليه استهلاك قدر كبير من النقاء، أي استيراد حالات كمومية عالية الجودة لكل بضع استخدامات. وإذا حاول الجهاز الحفاظ على النقاء، فإن الذاكرة المطلوبة لتخزين حالة النظام تنمو كـ $n^{1-o(1)}$ مع عدد الاستخدامات، وهو نمو يقترب من الخطي ولكنه يظل تحت خطي. الطريقة الوحيدة لتجنب تكلفة الذاكرة الضخمة هذه هي العمل عند "معدل رتبة" (rank rate) محدد، حيث ينمو كل من متطلبات الذاكرة والنقاء مع الجذر التربيعي لعدد الاستخدامات. هذه النتيجة مهمة لأنها تقدم مثالاً ملموساً لعملية كمومية يمكن بناؤها نظرياً ببيئة منتهية، ولكنها مكلفة للغاية لدرجة أن الموارد المطلوبة تنفجر في الحجم.

توضح الدراسة أيضاً حدود ما هو معروف عن "مسألة تضمين كونيس" (Connes embedding problem)، وهي مسألة كبرى في جبر المتشعبات (operator algebras) تتعلق بما إذا كانت بعض القنوات الكمومية المعقدة يمكن تقريبها بواسطة قنوات ذات أبعاد منتهية. أظهر الباحثون أن قناتهم المحددة تقع في "الرقعة المغلقة" (closure) للقنوات التي يمكن بناؤها باستخدام أحواض (baths) منتهية الأبعاد، مما يعني أنه يمكن تقريبها بشكل جيد للغاية. ومع ذلك، فقد أثبتوا أن أي تقريب من هذا القبيل يتطلب حجماً للحوض ينمو بشكل أسي مع الدقة المطلوبة. وهذا يعني أنه على الرغم من أن القناة ليست "لانهائية" بطريقة تجعل من المستحيل تقريبها، إلا أن تكلفة الحصول على قدر ضئيل من الدقة مرتفعة للغاية. يربط هذا العمل بين الهندسة المجردة للمجموعات اللانهائية والقيود المادية لمعالجة المعلومات في الأجهزة الكمومية، موضحاً أن أعمق الهياكل الرياضية يمكن أن تملي الحدود الفيزيائية لمعالجة المعلومات.

تعتمد نتائج الفريق على برهان صارم يربط بين هندسة المجموعة وإنتروبيا الذاكرة الكمومية. لقد أثبتوا أن استخداماً واحداً للجهاز يكشف عن تمثيل تقريبي لبنية المجموعة داخل ذاكرة الجهاز. ولأن المجموعة تتطلب عدداً كبيراً جداً من النقاط لنمذجتها بدقة، يجب أن تحمل الذاكرة مقداراً مقابلاً من المعلومات، أو الإنتروبيا. هذا الارتباط وثيق ولا مفر منه؛ فكلما زادت دقة محاولة الجهاز لمحاكاة القناة، زادت الذاكرة التي يجب أن تحملها. لم يقم الباحثون بمحاكاة هذا السلوك على الحاسوب، بل قدموا برهاناً رياضياً ينطبق على أي جهاز يحاول أداء المهمة. كما أثبتوا أن المجموعة التي بنوها هي مجموعة جزئية من مجموعة أكبر ومعروفة تسمى "مجموعة برين" (Brin's group)، مما يعني أن هذه المجموعة تحتوي أيضاً على جزء ذي ملف شخصي يقترب من الأسي. يشير هذا إلى أن الظاهرة ليست مجرد حالة شاذة معزولة، بل هي سمة يمكن أن تظهر في مجموعات أخرى معقدة ومعروضة بشكل منتهي.

في النهاية، تقدم الورقة صورة واضحة لحد فاصل في الرياضيات والفيزياء. فهي تظهر أن هناك مجموعات مُسالمة "شبه" معقدة بقدر ما يمكن أن تكون أكثر المجموعات تعقيداً، وأن هذا التعقيد يترجم مباشرة إلى تكلفة ذاكرة للأجهزة الكمومية. الجهاز الموصوف ليس مستحيلاً من الناحية النظرية، ولكنه يمثل تحدياً عملياً: يمكن بناؤه، ولكن بثمن باهظ. لقد رسم الباحثون بدقة مدى ثقل هذا الثمن، موضحين أنه بالنسبة لفئة معينة من العمليات الكمومية، فإن الذاكرة المطلوبة ليست ثابتاً بل عبئاً متزايداً يتوسع بشكل شبه خطي مع الزمن، وتحديداً كـ $n^{1-o(1)}$ . هذا العمل يجسر الفجوة بين العالم المجرد للتماثلات اللانهائية والواقع الملموس للهندسة الكمومية، مثبتاً أن شكل المجموعة الرياضية يمكن أن يحدد حجم الذاكرة الكمومية.

ملخص تقني: مجموعات قابلة للقبول ذات ملف تعريف "سوفيك" (Sofic Profile) شبه أسي، وقنوات كمومية تتطلب ذاكرة شبه خطية

1. بيان المشكلة

تتناول الورقة مشكلتين مترابطتين في النظرية الهندسة للمجموعات ونظرية المعلومات الكمومية:

نظرية المجموعات: إلى أي مدى يمكن أن تبتعد المجموعة القابلة للقبول (amenable group) عن كونها منتهية؟ تحديداً، يبحث المؤلفون في ملف التعريف السوفي $\sigma_E(r)$ لقطعة مجموعة $E$ . تقيس هذه الدالة الحد الأدنى من عدد النقاط المطلوب لنمذجة مجموعة جزئية منتهية من مجموعة ما عبر التبديلات بحيث يكون جدول الضرب صحيحاً وتكون العناصر المتمايزة منفصلة في جميع النقاط باستثناء كسر $1/r$ . وبينما كان من المعروف أن المجموعات القابلة للقبول لها ملفات تعريف سوفية منتهية، ظل معدل نمو هذه الملفات سؤالاً مفتوحاً. وقد تساءل كورنيلييه (Cornulier) عما إذا كان بإمكان مجموعة "سوفيكية" أن تمتلك ملف تعريف غير محدود ولكنه ليس خطياً في $r$ . وقد أثبت عمل المؤلفين السابق على مجموعة هوتون $H_3$ وجود ملف تعريف فوق كثير الحدود ( $\exp(r^{0.129})$ )، لكن السقف النظري لمثل هذه الحجج العدّية هو $\exp(O(r))$ . ويبقى السؤال: هل يمكن لمجموعة قابلة للقبول أن تقترب من هذا السقف الأسي؟
المعلومات الكمومية: ما هي تكلفة الذاكرة لتطبيق قناة كمومية بشكل متكرر؟ على وجه التحديد، تدرس الورقة جهازاً يطبق قناة ثابتة $\Phi$ عدد $n$ من المرات بالتتابع، مع إطلاق المخرج قبل وصول المدخل التالي. يمتلك الجهاز سجل ذاكرة لا يتم إعادة ضبطه بالكامل أبداً، ولكن قد يقوم بتبديل الكيوبتات (التبادل) أو يبدأ بـ "نقاء" (عجز في الإنتروبيا) أو يستورده. الهدف هو تحديد المقايضة بين حجم الذاكرة $Q$ ، وميزانية النقاء $B$ ، وعدد الاستخدامات $n$ ، خاصة للقنوات التي تقع في غلاف تلك التي تمتلك تحليلات عاملة منتهية (finite tracial factorizations).

2. المنهجية

بناء المجموعات: مصابيح التكوين (Configuration Lamps)

يبني المؤلفون مجموعة محددة من النوع "أولي قابل للقبول" (elementary amenable group) $\Gamma$ . البناء هو نسخة "مصباح لامتير" (lamplighter) حيث لا توضع "المصابيح" (نسخ من المجموعة المتناظرة $S_3$ ) على نقاط شعاع (كما في مجموعة هوتون $H_3$ )، بل على تكوينات ثنائية محدودة من الأشعة الثلاثة لمجموعة هوتون $H_3$ .

المضيء (The Lighter): مجموعة الخرائط الأفينية التي تعمل على فضاء التكوينات $V = \mathbb{F}_2^Y$ . يتضمن ذلك تبديلات النقاط (من $H_3$ )، والترجمات (قلب نقطة)، والتحويلات (إضافة نقطة إلى أخرى).
المصابيح (The Lamps): نسخة من $S_3$ توجد عند كل تكوين منتهي.
الآلية الرئيسية: تقوم مجموعة $H_3$ بتحريك النقاط، بينما تقوم الخرائط الأفينية بتحريك التكوينات. والأهم من ذلك، أن $N$ من النقاط تحمل $2^N$ من التكوينات (المصابيح). يوضح المؤلفون أنه يمكن جلب أي مصباحين معاً (لجعلهما يتبادلان) باستخدام سلسلة من الحركات تتضمن في كل خطوة ثلاث نقاط كحد أقصى. وتعتمد تكلفة جعل المصباحين يتبادلان على دالة "ديهن" (Dehn function) لمجموعة $H_3$ ، وهي دالة متعددة الحدود. وبناءً على ذلك، فإن "المساحة" المطلوبة لجعل $2^N$ من المصابيح تتبادل هي لوغاريتمية متعددة الحدود في عدد المصابيح، بدلاً من كونها متعددة حدود في المسافة.

معيار العدّ (The Counting Criterion)

تعتمد الحدود الدنيا لملف التعريف السوفي على "معيار عدّ" (النظرية 2.1، مقتبسة من [26]). المبدأ هو:

إذا كانت المجموعة تحتوي على نسخ كثيرة من مجموعة منتهية (هنا $S_3$ ) يتم نقلها "برخص" (cheaply) إلى مواقع عديدة (عبر كلمات قصيرة)، وكانت المبدلات الزوجية لهذه النسخ تمتلك "مساحة" صغيرة (عدد قليل من العلاقات لجعلها تتبادل)، فإن أي تمثيل تقريبي للمجموعة يجب أن يكون كبيراً.
النسخ المتقاربة من $S_3$ تحمل إنتروبيا. إذا كانت $N$ من هذه النسخ تتبادل برخص، فإن البعد $D$ للتمثيل يجب أن يحقق $\log D \gtrsim N$ .
يبني المؤلفون مجموعة من 25 علاقة في $\Gamma$ تجبر $2^N$ من نسخ $S_3$ على التبادل بمساحة حدية $\Lambda_N \approx N^{2+\kappa}$ (حيث $\kappa \approx 12.75$ ).

بناء القناة الكمومية

يتم تحويل المجموعة $\Gamma$ إلى قناة أداة (gadget channel) $\Phi$ على $\mathbb{C}^{873}$ .

قناة الأداة: قناة مبنية من مجموعة منتهية من علاقات المجموعة. تقوم بتقييم العلاقات في التمثيل المنتظم وتتبع جبر المجموعة.
نظرية الجولة الواحدة (One-Round Theorem): المحرك الأساسي الذي يربط المجموعة بالقناة هو "نظرية الجولة الواحدة الموزونة" (النظرية 10.1). تنص على أن جولة واحدة من خدمة سببية (جهاز) تقرب قناة الأداة تكشف عن تمثيل تقريبي للمجموعة على ذاكرة الجهاز. "الخلل" في هذا التمثيل يرتبط بالجذر التربيعي للتسرب وإنتاج الإنتروبيا في تلك الجولة.
التضخيم: من خلال تطبيق نظرية الجولة الواحدة على $2^N$ من النسخ المتبادلة برخص من $S_3$ في $\Gamma$ ، يستنتج المؤلفون حداً أدنى على إنتروبيا الذاكرة المطلوبة لمحاكاة $n$ من استخدامات القناة.

الحدود العليا

تُشتق الحدود العليا من نماذج سوفية (sofic models) لـ $\Gamma$ . يبني المؤلفون نماذج باستخدام التجزئة الأفينية (affine hashing):

يقومون برسم خرائط للتكوينات إلى فضاء تجزئة منتهي باستخدام خرائط أفينية عشوائية.
هذه النماذج أصغر بكثير من تلك المستمدة من مجموعات "فولنر" (Følner sets) (التي تكون ضخمة بشكل أسي مزدوج بالنسبة لـ $\Gamma$ ).
توفر هذه النماذج مباشرة أجهزة (خدمات سببية) تقرب القناة، مما يعطي الحدود العليا على الذاكرة والنقاء.

3. المساهمات والنتائج الرئيسية

النظرية (أ): المجموعة $\Gamma$

يثبت المؤلفون وجود مجموعة أولية قابلة للقبول $\Gamma$ تمتلك قطعة $E$ ذات ملف تعريف سوفي $\sigma_E(r)$ شبه أسي:
$\exp\left( c \frac{r}{(\log r)^\kappa} \right) \le \sigma_E(r) \le \exp(C r \log r)$
حيث $\kappa = 6 + \log 107 < 12.75$ .

الأهمية: هذه هي أول مجموعة قابلة للقبول يُظهر المؤلفون أن لها ملف تعريف يقترب من السقف النظري $\exp(O(r))$ المسموح به بواسطة معيار العدّ. الأس هو $1+o(1)$ .
النماذج الوحدوية (Unitary Models): تتحكم نفس العلاقات في النماذج الوحدوية، مما يوضح أن أي تمثيل وحدوي يحقق العلاقات مع خلل صغير يجب أن يكون بعده $D$ بحيث $\log D \gtrsim \epsilon^{-2} / (\log(1/\epsilon))^{2\kappa}$ .
الاندماج: تندمج $\Gamma$ في مجموعة برين $3V$ (وهي مجموعة بسيطة أولية منتهية العرض مجهولة السوفية)، مما يعني أن $3V$ أيضاً تمتلك قطعة ذات ملف تعريف شبه أسي.

النظرية (ب): القناة الكمومية

تحدد المجموعة $\Gamma$ قناة كمومية صريحة $\Phi$ على $\mathbb{C}^{873}$ برتبة تشوي (Choi rank) $r^*=130$ . تقع القناة في غلاف القنوات ذات التحليلات العاملة المنتهية.

الذاكرة مقابل النقاء: لعدد $n$ من الاستخدامات، إذا كان الجهاز يمتلك ميزانية نقاء $B$ (حيث $\log n \le B \le c_0 n$ )، فإن الذاكرة $Q$ يجب أن تحقق:
$Q \ge c \frac{n}{B (\log n)^{2\kappa}}$
وعلى العكس، توجد خدمات دقيقة بـ $Q \le K (n/B) \log(2n/B)$ .
معدل الرتبة (Rank Rate): عند معدل التبادل الأمثل (معدل الرتبة $J \le \frac{n}{2} \log r^*$ )، تزداد الذاكرة كـ $Q \approx \sqrt{n}$ (مع عوامل لوغاريتمية متعددة)، ويتم تحقيق ذلك بنقاء من نفس الدرجة.
الأهمية: يحدد هذا مقايضة حادة بين الذاكرة والنقاء لآلية "رخيصة" للاستخدام لمرة واحدة، ولكنها "مكلفة" للاستخدام لمرات عديدة. كما يوضح أن الاستخدام المتكرر يمكن أن يتطلب ذاكرة تنمو بشكل شبه خطي مع $n$ إذا كان النقاء منخفضاً، حتى بالنسبة للقنوات التي تقع في غلاف القنوات ذات التحليلات العاملة المنتهية.

النظرية (ج): البيئات المنتهية

القناة $\Phi$ هي قناة قابلة للتحليل وتقع في غلاف القنوات ذات التحليلات العاملة المنتهية. ومع ذلك، فإن أي حمام (bath) ذي أبعاد منتهية يقرب $\Phi$ بدقة $u$ يجب أن يكون بعده:
$\dim \ge \exp\left( c u^{-1} / (\log(1/u))^{2\kappa} \right)$
هذا يحدد "المسافة" بين $\Phi$ وكونها تمتلك تحليلاً عاملاً منتهياً، موضحاً أن البعد المطلوب للحمام ينمو بشكل شبه أسي مع تحسن الدقة.

4. الأهمية والادعاءات

تدعي الورقة أنها تحل السؤال حول مدى كبر ملف التعريف السوفي للمجموعة القابلة للقبول، موضحة أنه يمكن أن يكون شبه أسي، قريباً من الحد الذي يمكن لطريقة العدّ اكتشافه.

في سياق المعلومات الكمومية، تقدم الورقة:

أمثلة صريحة: قناة كمومية ملموسة حيث تكون تكلفة الذاكرة للاستخدام المتتالي عالية، على عكس القنوات التي يمكن محاكاتها بذاكرة منتهية ثابتة.
حدود كمية: حدود تقاربية دقيقة للمقايضة بين الذاكرة والنقاء وعدد الاستخدامات، مما يوضح أن الذاكرة والنقاء يتبادلان بمعدل ثابت ( $Q \cdot B \approx n^{1+o(1)}$ ).
الارتباط بالفيزياء: تشير النتائج إلى أن الأنظمة الشبكية المحلية في $\nu$ من الأبعاد تتطلب وقتاً لا يقل عن $\delta^{-1/\nu}$ لإنتاج مثل هذه القناة بدقة $\delta$ . كما تشير إلى أنه بينما تكون الحدود الذاتية للديناميكيات ذاتية الهيمنة (self-adjoint) عموماً "رخيصة"، إلا أن هاميلتونيان غير محلي محدود يمكن أن ينتج قناة لها نفس المقايضة المكلفة بين الذاكرة والنقاء.

يؤكد المؤلفون أن "المحرك" لهذه النتائج هو نظرية الجولة الواحدة، التي تربط ذاكرة جولة واحدة من جهاز بتمثيل تقريبي للمجموعة الأساسية. وهذا يسمح بترجمة الخصائص الهندسية للمجموعة (تكلفة جعل المصابيح تتبادل) مباشرة إلى قيود الموارد للأجهزة الكمومية.

لا تدعي الورقة حل مسألة سوفية مجموعة برين $3V$ أو مجموعة تومسون $F$ ، بل تستخدم اندماج $\Gamma$ في $3V$ لتوضيح أنه إذا كانت $3V$ سوفية، فيجب أن تمتلك قطعاً ذات ملفات تعريف شبه أسية. وبالمثل، فإن النتائج المتعلقة بمجموعة تومسون $V$ مشروطة بقابلية قبول $F$ . تظل الورقة متواضعة بشأن الثوابت المعنية، مشيرة إلى أن العوامل اللوغاريتمية المتعددة لها أسس كبيرة وأن الحدود الدنيا لا تظهر بوضوح إلا لقيم $n$ كبيرة جداً.