Solution of the Advection-Diffusion Equation in Two Dimensions using the Deposition Velocity

ملخص تقني: حل معادلة الحمل والانتشار في بُعدين باستخدام سرعة الترسيب

بيان المشكلة
تتناول هذه الدراسة الحل التحليلي لمعادلة الحمل والانتشار (ADE) في حالة الاستقرار في بُعدين تحت ظروف جوية غير مستقرة. الهدف الأساسي هو نمذجة تشتت الملوثات، مع التركيز بشكل خاص على التركيزات الطبيعية المتكاملة عبر عرض الريح عند خط المنتصف. يتضمن النموذج شرط حد الترسيب لسرعة الترسيب عند مستوى الأرض، ويستخدم دوال القوة لكل من الانتشار الدوامي الرأسي وسرعة الرياح كدوال للارتفاع الرأسي. تسعى الدراسة إلى التحقق من صحة هذا النهج التحليلي مقابل بيانات تركيز سداسي فلوريد الكبريت (SF6) المرصودة من تجربة كوبنهاغن الميدانية في الدنمارك.

المنهجية
يستخدم المؤلفون تقنية فصل المتغيرات لحل معادلة الحمل والانتشار (ADE) الحاكمة. يتم تحديد الإطار الرياضي كما يلي:

• المعادلة الحاكمة: يتم صياغة معادلة (ADE) في بُعدين حيث يتم التعبير عن سرعة الرياح $u(z)$ والانتشار الدوامي الرأسي $k_z(z)$ كدوال قوة للارتفاع الرأسي ($z^p$ و $z^q$ على التوالي).
• الشروط الحدية:
  1. الحد العلوي (ارتفاع الخلط $h$): شرط التدفق الصفري ($k_z \frac{\partial C}{\partial z} = 0$).
  2. الحد الأرضي ($z=0$): شرط تدفق الترسيب حيث يساوي التدفق حاصل ضرب سرعة الترسيب ($V_d$) والتركيز ($k_z \frac{\partial C}{\partial z} = -V_d C$).
  3. حد المصدر: مصدر نقطي مستمر عند ارتفاع المدخنة $h_s$ ممثل بدالة ديراك دلتا (Dirac delta function).
• الاشتقاق التحليلي:
  • يتم فصل المعادلة إلى مكونات مكانية $X(x)$ و $Z(z)$.
  • يؤدي المكون الرأسي إلى معادلة تفاضلية من نوع ستورم-ليوفيل (Sturm-Liouville) ذات معاملات متغيرة.
  • من خلال افتراض قيم محددة للأسس (على سبيل المثال $q=0.85$) واستخدام تحويل متغير، يتم اختزال المعادلة إلى معادلة بسل المعممة (generalized Bessel equation).
  • يتم اشتقاق حل ملف التركيز الرأسي باستخدام دالات بسل من النوع الأول والثاني، والتي تُبسط إلى أشكال مثلثية (جيب وجيب تمام) لدالات بسل ذات الرتبة النصفية.
  • يتم تحديد القيم الذاتية والدوال الذاتية من خلال تطبيق الشروط الحدية، مما يؤدي إلى حل متسلسلة للتركيز $C_y(x, z)$.
  • يتم حساب المعاملات باستخدام شروط التعامد المستمدة من ملف سرعة الرياح.

المساهمات الرئيسية

• الإطار التحليلي: يقدم البحث حلاً تحليلياً مغلق الصيغة لمعادلة (ADE) في بُعدين تحت الظروف غير المستقرة، مع إدراج شرط حد سرعة الترسيب بشكل صريح، وهو عامل غالباً ما يكون معقداً في نمذجة التشتت.
• التمثيل بدالة القوة: يستخدم النموذج تمثيلات دالة القوة لسرعة الرياح والانتشار الدوامي، مما يسمح بالمرونة عبر فئات الاستقرار المختلفة (المحددة بالأسين $p$ و $q$).
• التحقق من الصحة: تم اختبار النموذج التحليلي بصرامة مقابل مجموعة بيانات (SF6) الخاصة بتجربة كوبنهاغن، والتي تغطي فئات استقرار مختلفة (A, B, C, D) ومسافات هبوب رياح متفاوتة.

النتائج
تقارن الدراسة بين التركيزات الطبيعية المتكاملة عبر عرض الريح والتركيزات المرصودة لـ (SF6).

• مقارنة البيانات: يعرض الجدول 2 والشكل 1 مقارنة مباشرة بين التركيزات المرصودة والمتوقعة عبر عمليات متعددة (من التشغيل 1 إلى التشغيل 9) عند مسافات هبوب رياح متفاوتة.
• الأداء الإحصائي: يتم تقييم أداء النموذج باستخدام مقاييس إحصائية قياسية (Hanna, 1989):
  • متوسط مربع الخطأ الطبيعي (NMSE): 0.07 (مما يشير إلى خطأ منخفض).
  • الانحياز الجزئي (FB): 0.003 (مما يشير إلى انحياز ضئيل).
  • معامل الارتباط (COR): 0.82.
  • الكسر ضمن عامل اثنين (FAC2): 0.997.
• التوافق البصري: يوضح الشكل 1 درجة عالية من الاتفاق بين ملفات التركيز المرصودة والمتوقعة. ويؤكد الشكل 2 أن القيم المتوقعة تقع ضمن عامل اثنين من البيانات المرصودة.

الأهمية والادعاءات
يزعم المؤلفون أن النموذج التحليلي المقترح يحقق "درجة عالية من الاتفاق المغلق" مع بيانات المجال المرصودة. وتحديداً، تشير الورقة إلى أن التركيزات المتوقعة حققت توافقاً بنسبة 100% مع التركيزات المرصودة عند خط المنتصف، كما يتضح من قيمة FAC2 البالغة 0.997 والانحياز القريب من الصفر. وتخلص الدراسة إلى أن طريقة الفصل، جنباً إلى جنب مع تمثيلات دالة القوة للرياح والانتشار، توفر أداة تحليلية قوية للتنبؤ بتشتت الملوثات تحت الظروف الجوية غير المستقرة دون الحاجة إلى عمليات محاكاة عددية معقدة. ويعزز هذا العمل فائدة الحلول التحليلية القائمة على التحويل والفصل في التقاط الفيزياء الأساسية لنقل الملوثات في الطبقات الحدودية غير المستقرة.