Modelling Extreme Water Levels of a Hydroelectric Dam under Natural Truncation

تخيل أنك تحاول التنبؤ بالطقس، ولكن بدلاً من القلق بشأن ما إذا كانت ستمطر غداً، أنت تحاول تخمين أعنف وأكثر العواصف استِحالةً يمكن أن تضرب بلدتك. هذه هي وظيفة فرع من الرياضيات يسمى نظرية القيم القصوى (Extreme Value Theory). بينما تركز الإحصاءات العادية على اليوم "المتوسط" — مثل درجة الحرارة المعتادة أو كمية المطر المعتادة — فإن نظرية القيم القصوى مهووسة بالقيم المتطرفة: الفيضانات التي تحدث مرة كل قرن، أو موجات الحر القياسية، أو الأمواج الهائلة التي تضرب أعلى المنحدرات. إنها تطرح سؤالاً بسيطاً ولكنه مرعب: "إلى أي ارتفاع يمكن أن يصل مستوى الماء حقاً؟"

لماذا يهم هذا؟ لأنه عندما نبني أشياء مثل الجسور أو السدود أو ناطحات السحاب، نحتاج إلى معرفة الحدود. إذا أخطأنا في التقدير وظننا أن الفيضان سيصل فقط إلى الطابق الأول، بينما يصل في الواقع إلى السقف، فستكون العواقب كارثية. يستخدم المهندسون هذه الأدوات الرياضية لتصميم شبكات الأمان، لضمان أنه عندما توجه الطبيعة أسوأ ضرباتها، تستطيع هياكلنا تحملها. لكن هناك عقبة: الطبيعة تمتلك أحياناً "سقفاً". تماماً كما لا يمكن لكوب من الماء أن ينسكب أعلى من حافة الكوب، فإن النهر المحاصر خلف سد لا يمكنه الارتفاع أعلى من قمة السد. هذا الحد الفيزيائي يغير الرياضيات، وفهم كيفية حساب المخاطر عندما يوجد "سقف" هو اللغز الذي تحله هذه الدراسة.

---

قصة سد أكوسومبو والسقف الخفي

في أعماق غانا، يقف سد أكوسومبو كحارس عملاق، يحجز نهر فولتا لتوليد الكهرباء للبلاد. إنه آلة ضخمة، لكن لديه قاعدة صارمة للغاية: لا يمكن للمياه بداخله أن ترتفع فوق خط محدد، يُعرف باسم الحد الأقصى لمستوى التشغيل وهو 278 قدماً. إذا حاولت المياه الارتفاع أعلى من ذلك، فستتدفق فوق القمة، وهو أمر خطير.

لفترة طويلة، حاول العلماء استخدام الرياضيات للتنبؤ بمدى ارتفاع المياه خلال عاصفة ضخمة. استخدموا أدوات قياسية تفترض أن مستويات المياه يمكن أن ترتفع نظرياً إلى ما لا نهاية إذا كانت العاصفة قوية بما يكفي. الأمر يشبه محاولة التنبؤ بمدى ارتفاع ارتداد كرة السلة إذا استمررت في ضربها بقوة أكبر فأكبر، متجاهلاً حقيقة أن سقف الصالة الرياضية سيوقفها. المشكلة هي أنه بالنسبة للسد، فإن "السقف" (قمة السد) حقيقي جداً وقريب جداً من أعلى مستويات المياه التي شهدناها على الإطلاق.

قررت هذه الدراسة، التي قادها باحثون من جامعة غانا، إصلاح هذه المشكلة الرياضية. وسألوا: "ماذا لو بنينا نموذجاً يعرف أن المياه لا يمكن أن ترتفع أعلى من قمة السد؟" وقارنوا بين ثلاث طرق مختلفة للقيام بالعملية الحسابية:

1. الطريقة القديمة (GEV): طريقة قياسية تنظر إلى أكبر مستويات المياه من كل عام.
2. الطريقة الشائعة (GPD): طريقة تنظر إلى كل مرة يصبح فيها مستوى الماء "مرتفعاً جداً" (فوق خط معين) ولكنها تفترض أيضاً عدم وجود سقف صلب.
3. الطريقة الجديدة (RT-POT): نموذج خاص يأخذ في الاعتبار صراحةً "القطع الطبيعي" (natural truncation) — حقيقة أن السد يمنع الماء فيزيائياً من الارتفاع أكثر.

العمل الاستقصائي: إيجاد الحد

نظر الباحثون في 49 عاماً من بيانات مستويات المياه اليومية لسد أكوسومبو، بإجمالي 17,533 قياساً. ووجدوا أن مستويات المياه تراوحت من أدنى مستوى بلغ 197.40 قدماً إلى أعلى مستوى قياسي بلغ 277.54 قدماً. هذا الرقم القياسي قريب بشكل مذهل من حد الـ 278 قدماً، مما يعني أن السد كان يعمل عند حافة قدرته الاستيعابية تماماً.

لحل اللغز، كان عليهم أولاً اختيار "عتبة" — وهي مستوى مياه مرتفع بما يكفي لاعتباره حدثاً "متطرفاً". بعد تحليل البيانات باستخدام بعض الرسوم البيانية المتطورة (التي تعمل مثل عدسة المحقق المكبرة)، قرروا أن 272 قدماً هو الخط المثالي لرسمه. أي مياه فوق هذا الخط كانت جزءاً من "الذيل المتطرف" الذي يتعين عليهم دراسته.

ثم جاء الاختبار الكبير: هل يوجد سقف؟
أجروا اختباراً إحصائياً لمعرفة ما إذا كانت البيانات تظهر علامات على كونها "مقطوعة" (truncated) بسبب قمة السد. وكانت النتيجة نعم قاطعة. أظهرت البيانات "قطعاً خشناً" (rough truncation)، مما يعني أن القمة الفيزيائية للسد قريبة جداً من أعلى مستويات المياه لدرجة أنها تشكل الإحصائيات فعلياً. النماذج القياسية التي تجاهلت هذا السقف كانت مثل محاولة قياس غرفة مع التظاهر بأن السقف غير موجود؛ فقد كانت تبالغ في تقدير مدى ارتفاع المياه.

النتائج: صورة أكثر أماناً

عندما طبق الباحثون نموذجهم الجديد (RT-POT)، تغيرت الأرقام بطريقة مطمئنة.

• فيضان المائة عام: باستخدام النموذج الجديد، حسبوا أن "مستوى العودة لمرة كل 100 عام" (فيضان كبير يحدث، في المتوسط، مرة كل قرن) سيصل إلى 277.13 قدماً.
• الحد المطلق: قدر النموذج أقصى ارتفاع يمكن أن تصل إليه المياه تحت الظروف الحالية هو 277.60 قدماً.

إليك الجزء الأهم: كلا الرقمين أقل من الحد الأقصى لتشغيل السد البالغ 278 قدماً.

هذا يعني أنه، وفقاً للدراسة، يمتلك السد هامش أمان. فحتى في عاصفة ضخمة تحدث مرة كل قرن، يُتوقع أن تتوقف المياه عند 277.13 قدماً، مما يترك فجوة قدرها 0.87 قدماً قبل أن تتدفق فوق القمة. كما أن الحد المطلق المقدر البالغ 277.60 قدماً لا يزال تحت قمة السد البالغة 278 قدماً.

وجد الباحثون أن احتمال تجاوز المياه لحد الـ 278 قدماً هو احتمال ضئيل للغاية — ضئيل جداً لدرجة أنه يكاد يكون معدوماً. كما لاحظوا أن أعلى مستوى مياه تم تسجيله في مجموعة البيانات التي تمتد لـ 49 عاماً كان 277.54 قدماً، وهو حدث نادر باحتمالية قدرها 0.0008 فقط (أي 8 في كل 10,000).

لماذا يهم هذا؟

تشير الدراسة إلى أن النماذج القديمة، التي لم تأخذ في الاعتبار القمة الفيزيائية للسد، كانت تتنبأ بمستويات مياه أعلى من اللازم (اقترحت بعض الدراسات السابقة حدوداً تصل إلى 280.18 قدماً). ومن خلال تجاهل "السقف"، جعلت تلك النماذج السد يبدو أكثر خطورة مما هو عليه في الواقع.

إن نموذج RT-POT الجديد أكثر دقة لأنه يحترم قوانين الفيزياء. فهو يخبر المهندسين ومديري السدود أن الهيكل الحالي قادر على التعامل مع أسوأ العواصف التي واجهتها الطبيعة في الخمسين عاماً الماضية. "السقف" ليس مجرد فكرة نظرية؛ بل هو حاجز حقيقي يبقي المياه تحت السيطرة.

ومع ذلك، يوضح المؤلفون بحذر أن هذا يعتمد على افتراض أن المناخ وسلوك السد لم يتغيرا بشكل جذري بمرور الوقت. ويقترحون أن العمل المستقبلي يجب أن ينظر في كيفية تأثير أنماط الطقس المتغيرة على هذه الأرقام. ولكن في الوقت الحالي، توفر هذه الدراسة خريطة أكثر وضوحاً وواقعية لمنطقة الخطر، وتظهر أن سد أكوسومبو لديه هامش مريح بين أعلى مستوى مياه مسجل ونقطة الكارثة.