Exploring the Effect of Linear Air Resistance on the Optimal Angle of Release for an NBA Free Throw

تخيل أنك تقف في شارع هادئ، ترمي كرة إلى صديق لك. أنت تعلم أنك إذا رميتها بشكل مسطح للغاية، فستصطدم بالأرض سريعاً؛ وإذا رميتها عالياً جداً، فقد لا تصل إلى المسافة المطلوبة. هذا الفعل البسيط هو في الواقع رقصة بين قوتين غير مرئيتين: الجاذبية، التي تسحب كل شيء للأسفل مثل المرساة، والهواء، الذي يدفع أي شيء يتحرك من خلاله. في عالم الفيزياء، يسمى هذا "حركة المقذوفات". عادةً، عندما نتعلم هذا في المدرسة، نتظاهر بأن الهواء غير موجود على الإطلاق، كما لو كنا نلعب في فراغ. لكن في العالم الحقيقي، يكون الهواء كثيفاً ولزجاً، ويعمل مثل يد لطيفة تحاول إبطاء الأشياء. يسمى هذا "مقاومة الهواء". وبينما نتجاهل هذا غالباً للأجسام الصغيرة والثقيلة، إلا أنه يمكن أن يغير بالفعل كيفية توجيه الأشياء، خاصة في الرياضة حيث تكون الدقة هي كل شيء.

هذا هو اللغز الدقيق الذي قرر طالب يدعى آريان برادهان حله، ولكن مع مسرح محدد للغاية: خط الرمية الحرة في دوري كرة السلة الأمريكي للمحترفين (NBA). أراد أن يعرف ما إذا كانت "اليد" غير المرئية لمقاومة الهواء تغير الزاوية المثالية لتصويب كرة السلة. لم يكتفِ بالتخمين؛ بل بنى عالمين رقميين باستخدام الرياضيات والبرمجة الحاسوبية. في العالم الأول، كان الهواء فارغاً وصامتاً. وفي العالم الثاني، كان الهواء حقيقياً، يدفع بقوة ضد الكرة أثناء طيرانها. ومن خلال محاكاة آلاف الرميات، اكتشف أن الزاوية "المثالية" ليست هي نفسها في كلا العالمين. بدون هواء، تكون أفضل زاوية للتصويب هي حوالي 51.4 درجة. ولكن عندما تضيف سحب الهواء الحقيقي، تنخفض الزاوية المثالية إلى 49 درجة. إنه فرق ضئيل، ولكن في لعبة عالية المخاطر مثل كرة السلة، فإن هذا التغيير بمقدار 2.4 درجة هو الفرق بين دخول الكرة في السلة ببراعة وبين اصطدامها بالحافة. تشير الدراسة إلى أنه للتغلب على الهواء، يحتاج اللاعبون في الواقع إلى التصويب بزاوية أقل قليلاً مما لو لم يكن الهواء موجوداً على الإطلاق.

اليد الخفية والرمية المثالية

فكر في الرمية الحرة لكرة السلة كقصة كرة تحاول الوصول إلى سلة ترتفع 3.05 متراً، وتقع على بعد 4.57 متراً. اللاعب، الواقف عند خط الرمية، يطلق الكرة من ارتفاع حوالي 2.01 متر في الهواء. في كون مثالي خالٍ من الاحتكاك (مثل لعبة فيديو تم إيقاف تشغيل قوانين الفيزياء فيها)، تتبع الكرة منحنى سلسًا ومتوقعًا. إذا كنت تريد إصابة ذلك الهدف بأقل قدر من الجهد، تخبرك الرياضيات أن توجه بزاوية 51.4 درجة. الأمر يشبه العثور على النقطة المثالية على الترامبولين حيث ترتد لأعلى ارتفاع بأقل مجهود في القفز.

لكن العالم الحقيقي ليس لعبة فيديو. فالهواء في صالة مباريات الـ NBA مليء بجزيئات غير مرئية تصطدم بالكرة، مما يبطئ سرعتها. هذه هي "مقاومة الهواء الخطية"، وهي قوة تعمل مثل مكبح لطيف، تتناسب مع سرعة حركة الكرة. سأل مؤلف هذه الورقة، آريان، سؤالاً بسيطاً: إذا كان الهواء يحاول إبطاء الكرة، فهل نحتاج إلى تغيير اتجاه تصويبنا؟

لإيجاد الإجابة، استخدم آريان برنامج كمبيوتر (بايثون - Python) لتكرار اللعبة ملايين المرات. لقد أنشأ سيناريوهين. في الأول، قام بمحاكاة رمية في فراغ. وفي الثاني، قام بتفعيل مفتاح "مقاومة الهواء"، مما جعل الهواء يدفع الكرة للخلف. افترض أن الكرة ذات حجم قياسي (نصف قطر 0.12 متر) وتزن حوالي 0.624 كجم، وأن اللاعب رمى الكرة بسرعة 7.5 م/ث.

نتائج المحاكاة

عندما قام الكمبيوتر بتشغيل المحاكاة بدون هواء، أكد الإجابة الموجودة في الكتب المدرسية: أفضل زاوية هي 51.4 درجة. عند هذه الزاوية، تحلق الكرة بدقة داخل السلة.

ومع ذلك، عندما أضاف الكمبيوتر مقاومة الهواء، تغيرت القصة. عمل الهواء كجدار كان على الكرة دفعه، مما سرق بعض طاقتها وقصر مسافة طيرانها. ولتعويض تأثير "الكبح" هذا، احتاجت الكرة إلى استراتيجية مختلفة. أظهرت المحاكاة أن الزاوية المثالية انخفضت إلى 49 درجة.

لماذا يحدث هذا؟ تخيل أنك تركض عبر مسبح من الماء. إذا حاولت الركض في خط مستقيم، سيقوم الماء بإبطائك. إذا كنت تريد الوصول إلى الطرف الآخر بأسرع ما يمكن، فقد تغير خطوتك أو زاويتك. وبالمثل، لأن الهواء يبطئ الكرة، فإن التصويب بزاوية أقل قليلاً (49 درجة بدلاً من 51.4 درجة) يسمح للكرة بقضاء وقت أقل في محاربة الهواء ووقت أكثر في مسارها نحو السلة. وجدت الدراسة أن هذا الفرق البالغ 2.4 درجة كافٍ لخفض أعلى نقطة (القمة) للرمية وتقصير المسافة الإجمالية التي تقطعها الكرة.

ما تقوله الورقة (وما لا تقوله)

من المهم فهم ما أثبتته هذه الدراسة بالفعل. استخدم المؤلف عمليات المحاكاة والنماذج الرياضية لإيجاد هذه الأرقام. لم يذهب ليقوم بتصويب آلاف كرات السلة الحقيقية في الصالة الرياضية لقياس ذلك بشريط قياس. بدلاً من ذلك، قام بحل معادلات معقدة تصف كيفية عمل القوى وترك الكمبيوتر يقوم بعملية التصويب.

لقد استبعدت الورقة صراحةً بعض الأمور لجعل الرياضيات قابلة للإدارة. افترضت أن مقاومة الهواء "خطية"، مما يعني أنها تدفع للخلف في خط مستقيم يتناسب مع السرعة. في الواقع، غالبًا ما تكون مقاومة الهواء أكثر تعقيداً (تربيعية)، لكن المؤلف اختار النموذج الخطي لرؤية التأثير الأساسي. كما افترض أن الكرة ليس لها دوران وأن اللاعب يرميها بنفس السرعة في كل مرة. في العالم الحقيقي، يقوم اللاعبون بتدوير الكرة، وتتفاوت سرعتهم، مما قد يغير النتائج.

تخلص الدراسة إلى أنه، بناءً على هذه المحاكاة المحددة، تسبب مقاومة الهواء الخطية في انخفاض زاوية الانطلاق المثالية. وتشير إلى أنه إذا استطاع لاعب في الـ NBA التحكم في رميته بشكل مثالي ومراعاة الهواء، فقد يصوب بزاوية أقل قليلاً مما لو كان في الفراغ المثالي. ومع ذلك، تقر الورقة بأن هذه النتائج نظرية بناءً على نموذج مبسط. هي لا تدعي أن كل لاعب يجب أن يغير أسلوبه، بل توضح أن فيزياء مقاومة الهواء تغير المثالية الرياضية.

الخلاصة

إذن، ما هو الدرس الكبير هنا؟ على الرغم من أن الرمية الحرة تبدو وكأنها رمية بسيطة وروتينية، إلا أنها في الواقع معركة ضد قوى غير مرئية. الهواء موجود دائماً، يحاول إبطاء الكرة. تظهر هذه الدراسة أنه للتغلب على هذه المعركة، تقول الرياضيات إن عليك التصويب بزاوية أقل قليلاً — 49 درجة بدلاً من 51.4 درجة — لتسمح للكرة باختراق الهواء بكفاءة أكبر. إنه تعديل صغير، ولكن في عالم الفيزياء وكرة السلة، يمكن حتى لجزء من الدرجة أن يكون هو الفرق بين الرمية المثالية والفرصة الضائعة.