Mathematical Optimisation Techniques for Enterprise Finance: Maximising Returns and Minimising Risk
تُظهر هذه الدراسة أن تطبيق الأمثلة الرياضية على بيانات الأسهم اليومية لخمس شركات هندية يكشف عن وجود مقايضة حيث يؤدي تعظيم العائد غير المقيد إلى تركيز مفرط وتقلب عالٍ، في حين توفر الاستراتيجيات المتنوعة مثل المحافظ ذات الحد الأدنى من المخاطر أو المحافظ متساوية الوزن عوائد أكثر استقراراً وأداءً أفضل من حيث تعديل المخاطر لتمويل الشركات.
المؤلفون الأصليون:Reginald Djimatey, Michael Ayikwei Quarshie, Francis Tuffour, Rex Paul Danquah
تواجه كل شركة تدير الأموال توتراً جوهرياً لا يلين: الرغبة في تنمية الثروة مقابل الحاجة إلى حمايتها. في عالم تمويل الشركات، لا يتعلق الأمر بالتخمين أو الحدس، بل بالتنقل في مشهد ترتبط فيه المكافآت المحتملة العالية ارتباطاً وثيقاً بفرص الخسارة المرتفعة. ولإدارة ذلك، يعتمد القادة الماليون على مفهوم يُعرف باسم المقايضة بين المخاطرة والعائد. وببسا_طة، فإن الاستثمار الذي يعد بربح كبير عادة ما يحمل فرصة كبيرة في انخفاض قيمته، بينما يوفر الاستثمار الآمن نمواً متواضعاً فقط. ويكمن التحدي لأي منظمة في إيجاد المزيج الدقيق من الأصول الذي يقدم أفضل عائد ممكن مقابل مقدار المخاطر التي هي مستعدة لقبولها. وهنا يأتي دور التحسين الرياضي، حيث يقدم طريقة منهجية لحساب التوزيع الأمثل للأموال عبر استثمارات مختلفة، بدلاً من الاعتماد على الشعور الداخلي.
لقد شرع فريق من الباحثين من جامعات في غانا في اختبار كيفية أداء هذه الأدوات الرياضية في العالم الحقيقي لتمويل الشركات. وركزوا على خمس شركات كبرى مدرجة في البورصة الوطنية الهندية، وتتبعوا أسعار أسهمها اليومية على مدار عقد من الزمن، من عام 2015 إلى عام 2025. وقد مثلت الشركات صناعات مختلفة، بما في ذلك السيارات، والخدمات المصرفية، والتكنولوجيا، والأدوية، والصلب، مما وفر مجموعة متنوعة من البيانات للعمل عليها. لم يكتفِ الباحثون بالنظر في مقدار ما حققته كل شركة من أموال، بل قاسوا أيضاً مدى تقلب تلك الأرباح من يوم لآخر، وكيفية تحرك أداء إحدى الشركات بالنسبة للأخريات. ومن خلال تحليل هذه الأنماط، بنوا ثلاث استراتيجيات استثمارية متميزة لمعرفة أي نهج يقدم أكبر قيمة للمؤسسة.
كانت الاستراتيجية الأولى هي الأبسط: محفظة موزونة بالتساوي. في هذا النهج، ستقوم الشركة بتقسيم أموالها بالتساوي، ووضع نفس المبلغ في كل شركة من الشركات الخمس. هدفت الاستراتيجية الثانية إلى إيجاد المسار الأكثر أماناً، وهي محفظة الحد الأدنى من المخاطر المصممة للحفاظ على استقرار قيمة الاستثمار قدر الإمكان، حتى لو كان ذلك يعني قبول أرباح أقل. أما الاستراتيجية الثالثة فكانت النقيض تماماً، وهي محفظة العائد الأقصى التي تسعى لاستخراج كل دولار ممكن من الربح، بغض النظر عن مدى اضطراب الرحلة. استخدم الباحثون نماذج حاسوبية لحساب النسبة المئوية الدقيقة للأموال التي سيتم تخصيصها لكل سهم في الاستراتيجيتين الثانية والثالثة، تاركين الرياضيات تقرر المزيج الأفضل بناءً على البيانات التاريخية.
وكشفت النتائج عن تباين صارخ بين هذه النهج. فالاستراتيجية التي طاردت أعلى ربح ممكن انتهت بوضع كل الأموال في شركة واحدة فقط، وهي شركة "تاتا ستيل" (Tata Steel). وبينما حقق هذا النهج عائداً سنوياً هائلاً بنسبة 32.89 بالمائة، إلا أنه جاء بثمن: فقد تذبذبت قيمة الاستثمار بشكل جامح، مع تقلب سنوي بلغ 48.72 بالمائة. وهذا التركيز الشديد يعني أنه إذا واجهت "تاتا ستيل" مشاكل، فإن الاستثمار بأكمله سيعاني. ووجدت الدراسة أن هذا النوع من نهج "الكل في واحد"، رغم أنه مثالي رياضياً للربح الصافي، إلا أنه يخلق مستوى من المخاطر يكون غالباً مرتفعاً جداً بالنسبة لشركة مستقرة.
في المقابل، رسمت استراتيجية الحد الأدنى من المخاطر صورة مختلفة تماماً. فمن خلال توزيع الأموال بعناية عبر الشركات الخمس، مع ذهاب الحصة الأكبر إلى شركة التكنولوجيا "إنفوسيس" (Infosys)، حققت المحفظة عائداً سنوياً بنسبة 16.91 بالمائة. والأهم من ذلك، أن قيمة هذه المحفظة كانت أكثر استقراراً، مع تقلب بلغ 18.55 بالمائة فقط. وقد أثبت ذلك أنه من خلال التنويع — أي توزيع الاستثمارات عبر شركات مختلفة لا تتحرك في خطى متزامنة تماماً — يمكن للشركة تقليل احتمال حدوث انخفاض حاد في القيمة بشكل كبير. أما النهج المتساوي الوزن، الذي قام ببساطة بتقسيم الأموال خمسة طرق دون حسابات معقدة، فقد استقر في مكان ما في المنتصف، محققاً عائداً بنسبة 19.87 بالمائة مع تقلب بنسبة 20.80 بالمائة.
تخلص الدراسة إلى أنه بينما تعد النماذج الرياضية أدوات قوية لاتخاذ القرارات الاستثمارية، إلا أنه يجب استخدامها بحذر. ويشير البحث إلى أن اتباع نموذج يسعى فقط لتعظيم العوائد بشكل أعمى يمكن أن يؤدي إلى تركيز خطر في أصل واحد. وبدلاً من ذلك، فإن النهج الأكثر عملية للمؤسسة هو استخدام هذه النماذج لإيجاد تخصيص متوازن يحترم الحاجة إلى الاستقرار. وتشير النتائج إلى أن المحفظة المتنوعة، التي تقبل عائداً أقل قليلاً مقابل مخاطر أقل بكثير، هي غالباً الخيار الأذكى للصحة المالية طويلة الأجل. ومن خلال الجمع بين الدقة الرياضية والقواعد المنطقية حول مقدار الأموال التي توضع في أي استثمار منفرد، يمكن للشركات التنقل في حالة عدم اليقين في السوق بثقة ووضوح أكبر.
ملخص تقني: تقنيات التحسين الرياضي للتمويل المؤسسي
بيان المشكلة يواجه مديرو التمويل في المؤسسات التحدي المعقد المتمثل في تخصيص رأس المال للموازنة بين السعي وراء عوائد استثمارية أعلى وضرورة السيطرة على المخاطر المالية في ظل ظروف السوق غير المستقرة. وبينما يعد التوازن بين المخاطر والعوائد مفهوماً جوهرياً، فإن تحديد المزيج الأمثل من الأصول يتطلب أساليب منهجية تأخذ في الاعتبار العوائد المتوقعة، والتقلب، والارتباط، والتباين المشترك. تتناول الورقة الفجوة في الدراسات التجريبية التي تقارن صراحةً بين استراتيجيات التخصيص المتنوعة البسيطة (مثل التوزين المتساوي) مقابل المحافظ المثالية رياضياً (الحد الأدنى للمخاطر والحد الأقصى للعوائد) باستخدام مجموعة مستهدفة من الشركات الهندية الكبرى. كما تسعى إلى إثبات كيف يمكن للتحسين الرياضي غير المقيد أن يؤدي إلى تركيز غير واقعي، مما يسلط الضوء على الحاجة إلى قيود التنويع في اتخاذ القرارات المؤسسية العملية.
المنهجية تعتمد الدراسة تصميماً بحثياً كمياً باستخدام بيانات ثانوية من يناير 2015 إلى يناير 2025. وتتكون مجموعة البيانات من بيانات أسعار الأسهم اليومية (الافتتاح، الأعلى، الأدنى، الإغلاق، الحجم) لخمس شركات مدرجة في البورصة الوطنية الهندية (NSE) وهي: ماروتي سوزوكي، آي سي آي سي بانك، إنفوسيس، صن فارماسيوتيكال إندستريز، وتاتا ستيل. وقد تم اختيار هذه الشركات لتمثيل قطاعات مختلفة، مما يوفر إمكانية للتنويع.
تضمن النهج التحليلي الخطوات التالية:
معالجة البيانات: تم حساب العوائد اليومية والشهرية من أسعار الإغلاق. كما تم حساب المقاييس الإحصائية الرئيسية، بما في ذلك متوسط العوائد، والانحرافات المعيارية (التقلب)، ومعاملات الارتباط، ومصفوفات التباين المشترك.
بناء المحفظة: تم بناء وتقييم ثلاث استراتيجيات متميزة للمحافظ الاستثمارية:
المحفظة ذات التوزين المتساوي: استراتيجية تنويع قياسية تخصص 20% لكل سهم.
محفظة الحد الأدنى للمخاطر: تم تحسينها لتقليل تباين المحفظة (التقلب) مع مراعاة تخصيص رأس المال الكامل وعدم وجود قيود على البيع على المكشوف.
محفظة الحد الأقصى للعائد: تم تحسينها لتعظيم العائد المتوقع مع مراعاة نفس القيود.
تقنيات التحسين: استخدمت الدراسة تحسين التباين والمتوسط والبرمجة التربيعية. تم تحديد دوال الهدف كتقليل تباين المحفظة (minσp2) لنموذج المخاطر، وتعظيم عائد المحفظة المتوقع (maxE(Rp)) لنموذج العائد.
التنفيذ: تم تنفيذ التحليل الإحصائي والتحسين باستخدام لغة بايثون (Python)، بالاعتماد على مكتبات مثل Pandas وNumPy وSciPy وMatplotlib لمعالجة البيانات، والحساب العددي، والتحسين، وتصور الحدود الكفؤة (efficient frontier).
مقاييس الأداء: تم تقييم المحافظ بناءً على العائد السنوي، والتقلب السنوي، وتباين المحفظة، ونسبة شارب (Sharpe ratio).
النتائج الرئيسية أسفر التحليل عن ملفات تعريف متميزة للمخاطر والعوائد للثلاث استراتيجيات:
خصائص الأصول: أظهرت شركة "تاتا ستيل" أعلى متوسط عوائد يومية (0.01305) وشهرية (0.026472) ولكن أيضاً أعلى تقلب (الانحراف المعياري الشهري بلغ 0.130514). وفي المقابل، أظهرت "إنفوسيس" أدنى تقلب (0.070480) وعائداً متوسطاً، مما جعلها أصلاً مستقراً.
تحليل الارتباط: كانت جميع الارتباطات الثنائية موجبة ولكنها ظلت دون 0.50، مع أدنى ارتباط (0.1470) بين "إنفوسيس" و"تاتا ستيل". وأشار هذا إلى أن الأسهم المختارة لم تكن تتحرك بشكل متزامن تماماً، مما يدعم إمكانية التنويع.
أداء المحفظة:
المحفظة ذات التوزين المتساوي: حققت عائداً سنوياً بنسبة 19.87% مع تقلب بنسبة 20.80% ونسبة شارب بلغت 0.8595.
محفظة الحد الأدنى للمخاطر: حققت عائداً سنوياً بنسبة 16.91% مع أدنى مستوى للتقلب بنسبة 18.55%. وقد فضّل التخصيص الأمثل شركة "إنفوسيس" (34.73%)، تليها "صن فارماسيوتيكال" (26.16%)، ثم "ماروتي سوزوكي" (24.92%)، مع تخصيص ضئيل لـ "تاتا ستيل" (2.30%).
محفظة الحد الأقصى للعائد: أنتجت أعلى عائد سنوي بنسبة 32.89% ولكن على حساب تقلب شديد (48.72%). حيث خصص نموذج التحسين 100% من رأس المال لشركة "تاتا ستيل"، مما أدى إلى محفظة مركزة للغاية وعالية المخاطر.
المساهمات الرئيسية تساهم الورقة في أدبيات التمويل المؤسسي من خلال:
المقارنة التجريبية: تقديم مقارنة مباشرة بين استراتيجية الوزن المتساوي القياسية والمحافظ المحسنة رياضياً باستخدام مجموعة بيانات لمدة 10 سنوات لشركات مدرجة في بورصة الهند الوطنية.
إثبات "لغز التحسين": التحقق من المخاوف من أن تعظيم العائد غير المقيد يمكن أن يؤدي إلى تركيز شديد للأصول (في هذه الحالة، 100% في سهم واحد متقلب)، وهو أمر قد يكون غير عملي لإدارة المخاطر في المؤسسات.
التحقق من التنويع: إظهار أن محفظة الحد الأدنى للمخاطر نجحت في تقليل التقلب إلى ما دون المحفظة ذات التوزيـع المتساوي من خلال الاستفادة من الارتباط المنخفض بين أصول محددة (مثل إنفوسيس وتاتا ستيل).
التطبيق المنهجي: توضيح تطبيق تحسين التباين والمتوسط والبرمجة التربيعية في سياق تمويل مؤسسي حقيقي باستخدام لغة بايثون.
الأهمية والادعاءات يدعي المؤلفون أن التحسين الرياضي يوفر إطاراً منهجياً وشفافاً لتحديد تخصيصات المحفظة الكفؤة. ومع ذلك، تخلص الدراسة بتواضع إلى أن المثالية الرياضية لا تعني تلقائياً الفعالية العملية. وتشير النتائج إلى ما يلي:
التعظيم غير المقيد ينطوي على مخاطر: إن السعي وراء أقصى قدر من العوائد دون قيود يؤدي إلى تركيز مفرط وعدم استقرار، وهو أمر غير مناسب لمعظم المؤسسات.
التنويع أمر بالغ الأهمية: إن التخصيص المتنوع (سواء كان متساوي الوزن أو الحد الأدنى للمخاطر) يحسن استقرار المحفظة ويقدم توازناً أفضل بين المخاطر والعوائد.
الآثار الإدارية: يجب أن تستخدم قرارات الاستثمار المؤسسية نماذج التحسين، ولكن يجب دمجها مع قيود عملية، مثل حدود التعرض، ومتطلبات التنويع، والمراجعات الدورية للمحفظة. وتفترض الدراسة أنه من أجل أداء مالي مستدام، فإن التخصيص المتنوع للحد الأدنى من المخاطر أو التخصيص المتوازن هو الأكثر ملاءمة من استراتيجية العائد الأقصى المركزة.
لا تدعي الورقة أنها تحل جميع تحديات التمويل المؤسسي، بل توضح فائدة هذه النماذج في قياس المقايضات وضرورة دمجها مع سياسات إدارة المخاطر.