A Finite Analytic Method for Two-Dimensional Power-Law Fluid Flow in Heterogeneous Porous Media Using Unstructured Grids

في أعماق الأرض، ضمن الشبكة المعقدة من الصخور التي تحوي النفط والغاز والمياه، لا تتحرك السوائل دائمًا في خطوط بسيطة يمكن التنبؤ بها. فالصخر نفسه نادرًا ما يكون متجانسًا؛ فهو عبارة عن رقع من المواد ذات قدرات متفاوتة تمامًا على تمرير السوائل. بعض الطبقات تشبه الطرق السريعة المفتوحة، بينما تشبه طبقات أخرى الجدران الكثيفة. وعندما يحاول المهندسون نمذجة كيفية تدفق هذه السوائل، يتعين عليهم مراعاة هذه التغيرات المفاجئة في خصائص الصخور. علاوة على ذلك، يمكن أن تكون السوال نفسها مخادعة؛ فبينما يتدفق الماء بسهولة، تتصرف العديد من السوائل الصناعية — مثل المعلقات (slurries) المستخدمة في صناعة الورق أو طين الحفر المستخدم في آبار النفط — بشكل مختلف. هذه السوائل هي سوائل "غير نيوتونية"، مما يعني أن لزوجتها ومقاومتها للتدفق تتغير اعتمادًا على مدى قوة دفعها. وعندما تواجه هذه السوائل المعقدة صخرًا يتغير طابعه بشكل مفاجئ، تصبح الرياضيات التي تصف حركتها صعبة للغاية، وغالبًا ما تنهار عند النقاط التي تتغير فيها خصائص الصخر تمامًا.

لعقود من الزمن، اعتمد العلماء على طريقة معيارية لحساب هذه التدفقات، وهي طريقة تعتمد أساسًا على حساب متوسط خصائص الصخر بين نقطتين. تعمل هذه الطريقة بشكل جيد بما يكفي عندما يكون الصخر متسقًا نسبيًا، لكنها تفشل فشلًا ذريعًا عندما يكون الصخر متنوعًا للغاية. وفي تلك الحالات، تقلل الطريقة المعيارية باستمرار من كمية السائل التي يمكن أن تتحرك فعليًا، مما يؤدي إلى أخطاء جسيمة. ولحل هذه المشكلة، طور باحثون في جامعة العلوم والتكنولوجيا في الصين تقنية حوسبة جديدة. فبدلاً من الاعتماد على المتوسطات البسيطة، تستخدم هذه الطريقة الجديدة وصفًا رياضيًا دقيقًا لكيفية سلوك السائل عند الحافة حيث يلتقي نوعان مختلفان من الصخور. ومن خلال التقاط السلوك الحقيقي والحاد للسائل عند هذه الحدود الحرجة، توفر الطريقة الجديدة صورة أوضح وأكثر دقة للتدفق تحت الأرض، حتى عندما يكون الصخر غير مستوٍ للغاية والسائل معقدًا.

ركز الباحثون على نوع محدد من السوائل يُعرف باسم "سائل قانون القوة" (power-law fluid). وهذه السوائل هي التي تتبع العلاقة بين القوة التي تدفعها وسرعة حركتها قاعدة غير خطية محددة. وفي العالم الحقيقي، يغطي هذا نطاقًا واسعًا من المواد، بدءًا من المحاليل البوليمرية السميكة وصولاً إلى أنواع معينة من النفط الخام. وتنشأ التحديات عندما تتدفق هذه السوائل عبر أوساط مسامية — أي صخور مليئة بالثقوب الصغيرة — حيث تتغير النفاذية، أو سهولة التدفق، فجأة من مكان إلى آخر. في مثل هذه البيئات، لا يتغير ضغط السائل بسلاسة؛ بل يخلق بدلاً من ذلك ارتفاعًا حادًا أو "تفرداً" (singularity) عند الحد الفاصل بين الصخور سهلة التدفق والصخور الصعبة التدفق. وتواجه النماذج الحاسوبية التقليدية، التي تقسم الصخر إلى شبكة من المثلثات الصغيرة، صعوبة في التعامل مع هذه الارتفاعات. فهي تفترض أن الضغط يتغير في خط مستقيم بين النقاط، وهو أمر غير صحيح فيزيائيًا عند هذه الحدود. ونتي نتيجة لذلك، تنتج هذه النماذج معدلات تدفق أقل بكثير من الواقع، وتتطلب عددًا هائلاً من نقاط الشبكة الصغيرة للحصول حتى على تقريب تقريبي للحقيقة.

ولإصلاح ذلك، طور الفريق "الطريقة التحليلية المحدودة" (Finite Analytic Method). والفكرة الجوهرية هي التوقف عن التخمين حول كيفية سلوك السائل عند الحد، واستخدام وصف رياضي دقيق ومعروف لهذا السلوك بدلاً من ذلك. فقد أدرك الباحثون أنه بالقرب من النقطة التي تتغير فيها خصائص الصخر، يتبع ضغط السائل نمطًا منحنيًا محددًا، يرتفع أو ينخفض بطريقة تعتمد على طبيعة "قانون القوة" للسائل. وقد قاموا بحساب الشكل الدقيق لهذا المنحنى، المعروف باسم "الدالة الذاتية" (eigenfunction)، للجزء الأكثر حرجًا من التدفق. تضمن هذا الحساب حل مجموعة معقدة من المعادلات التي تصف حركة السائل في منطقة تشبه الإسفين حيث تختلف خصائص الصخور. ومن خلال إيجاد الحل الأصغر والأكثر أهمية لهذه المعادلات، تمكنوا من التقاط السلوك المهيمن للسائل عند نقطة الخلل تحديدًا.

بمجرد فهم هذا السلوك المحلي، بنى الباحثون مخططًا عدديًا جديدًا حوله. فبدلاً من استخدام طريقة المتوسطة القديمة والمعيبة لربط نقاط الشبكة، استخدموا حلهم التحليلي الجديد لحساب التدفق عبر حدود كل خلية مثلثية في شبكتهم. سمح هذا للكمبيوتر بأن "يعرف" بالضبط كيف يجب أن يتصرف السائل أثناء انضغاطه عبر العنق الضيق بين مناطق النفاذية العالية والمنخفضة. والنتيجة هي محاكاة تحترم فيزياء المشكلة عند أكثر النقاط صعوبة، بدلاً من تنعيمها باستخدام التقديرات التقريبية.

اختبر الفريق هذه الطريقة الجديدة مقابل عدة سيناريوهات تحديّة لمعرفة مدى أدائها. بدأوا بنمط "لوحة الشطرنج" الكلاسيكي، حيث يتم ترتيب الصخور عالية النفاذية ومنخفضة النفاذية في مربعات متبادلة. في هذا الإعداد، تغيرت خصائص الصخر بمعامل قدره مائة. وعندما قارنوا طريقتهم الجديدة بالطريقة التقليدية، كان الفرق صارخًا. فقد قللت الطريقة التقليدية من تقدير التدفق بهوامش ضخمة، حيث كانت تخطئ القيمة الحقيقية أحيانًا بنسبة تقارب تسعين بالمائة على الشبكة الخشنة. في المقابل، ظلت الطريقة الجديدة قريبة بشكل ملحوظ من الإجابة الصحيحة، حتى عندما لم تكن الشبكة دقيقة جدًا. ومع جعل الشبكة أكثر دقة، تقاربت الطريقة الجديدة مع الإجابة الصحيحة بسرعة كبيرة، بينما كافحت الطريقة التقليدية للحاق بها، حتى مع استخدام شبكات دقيقة للغاية.

كما اختبروا الطريقة على مجال سداسي منتظم وعلى مجال ذي توزيع "لوغاريتمي طبيعي" للنفاذية، مما يحاكي الطبيعة الفوضوية للخزانات الجوفية الحقيقية. وفي كل حالة، أثبتت الطريقة الجديدة تفوقها؛ فقد تعاملت مع التباينات الشديدة في خصائص الصخور بكل سهولة، وظلت دقيقة بغض النظر عن النوع المحدد لسائل "قانون القوة" الذي تمت محاكاته. وكان أحد أكثر النتائج إثارة هو أن دقة الطريقة الجديدة لم تكن تعتمد بشكل كبير على الخصائص المحددة للسائل أو الصخر. فسواء كان السائل سميكًا جدًا أو رقيقًا جدًا، أو كان التباين الصخري طفيفًا أو شديدًا، قدمت الطريقة نتائج متسقة. ووجد الباحثون أن مستوى متوسطًا من تكثيف الشبكة كان كافيًا لتحقيق دقة عالية، حيث انخفضت الأخطاء إلى أقل من ثمانية بالمائة حتى في أسوأ السيناريوهات.

يمثل هذا العمل خطوة كبيرة للأمام في كيفية محاكاة تدفق السوائل في البيئات المعقدة تحت الأرض. فمن خلال استبدال تقنية المتوسطة المعيبة بحل يحترم الفيزياء الحقيقية للحدود، أنشأ الباحثون أداة هي أكثر دقة وكفاءة في آن واحد. وبالنسبة للصناعات التي تعتمد على فهم كيفية تحرك السوائل عبر الأرض، من إنتاج الطاقة إلى الإدارة البيئية، فإن هذا يعني أنه يمكن الوثوق بالمحاكاة وتشغيلها بشكل أسرع. ولا تتطلب الطريقة القدرة الحوسبية الهائلة التي كانت مطلوبة سابقًا للحصول على إجابة مقبولة، مما يجعل النمذجة عالية الدقة للأنظمة المعقدة وغير المتجانسة أكثر سهولة في الوصول إليها. وتشير النتائج إلى أنه من خلال النظر بتمعن في النقاط المفردة حيث يتغير العالم، يمكننا بناء فهم أفضل للكل.