Modeling Maximum Extreme Values by New Different Continuous Distributions Derived from the Median Based Unit Rayleigh Distribution

تخيل أنك تحاول التنبؤ بأسوأ حدث ممكن قد يواجهه نظام ما: أعلى مستوى لفيضان قد يصل إليه نهر في قرن من الزمان، أو أشد موجة حر قد تشهدها مدينة، أو أقوى رياح يجب أن يتحملها جسر. هذه ليست مجرد أرقام عشوائية؛ بل هي حدود السلامة والبقاء. لعقود من الزمن، اعتمد العلماء على إطار رياضي محدد لنمذجة هذه القيم القصوى، وهو إطار يشير إلى أنه مهما بلغت درجة تعقيد البيانات الأساسية، فإن القيم الأكبر دائمًا ما تميل إلى الاستقرار في أحد ثلاثة أنماط متوقعة مع نمو حجم العينة إلى ما لا نهاية. هذا هو مجال نظرية القيم القصوى، وهو مجال مخصص لفهم سلوك الحوادث الأكثر ندرة وخطورة. وبينما تخبرنا النظرية بما يحدث عندما ننتظر للأبد للوصول إلى الرقم القياسي النهائي، إلا أن العالم الحقيقي نادرًا ما يقدم وقتًا لانهائيًا. نحن نعمل مع بيانات محدودة، وفي تلك النافذة المحدودة، يمكن أن يكون المسار نحو القيمة القصوى غادرًا ومضللاً إذا استخدمنا الأدوات الخاطئة.

في دراسة حديثة، سعى الباحث إيمان عطية إلى بناء أدوات أفضل لهذا التحدي المحدد. يبدأ العمل بتوزيع إحصائي معروف الشكل يسمى "توزيع رايلي للوحدة القائم على الوسيط" (Median Based Unit Rayleigh distribution)، وهو نموذج يصف البيانات المحصورة بين الصفر والواحد. تساءل عطية سؤالاً جوهرياً: إذا بدأنا بهذا الشكل المحدد وطبقنا تحويلات رياضية مختلفة عليه، فما هي الأشكال الجديدة التي ستظهر، وكيف ستتصرف عندما ننظر إلى قيمها القصوى؟ لم يكن الهدف مجرد إنشاء صيغ جديدة، بل هندسة توزيعات تتناسب مع بيانات العالم الحقيقي بدقة أكبر قبل أن يصبح حجم العينة لانهائياً. ومن خلال أخذ الشكل الأصلي وتحويله عبر عمليات محددة — مثل أخذ اللوغاريتم السالب للمتغير أو تطبيق تحويل اللوغاريتم المزدوج — استخلص المؤلف أربعة توزيعات مستمرة جديدة متميزة. ويأتي كل من هذه النماذج الجديدة بمجموعته الفريدة من الخصائص، بما في ذلك مدى احتمالية إنتاج قيمة عند نقطة معينة، وكيفية تراكم هذه الاحتمالية، وكيف تتغير مخاطر وقوع حدث متطرف مع مرور الوقت أو زيادة المقدار.

تكشف الدراسة أن هذه التوزيعات الجديدة ليست مجرد فضول نظري؛ بل تمتلك قدرة قوية على التكيف مع البيانات التي يُفترض بها وصفها. وعندما حلل المؤلف سلوك القيم القصوى ضمن هذه النماذج الجديدة مع نمو عدد الملاحظات، ظهر نمط واضح. فاعتماداً على التحويل الذي تم تطبيقه، تقاربت النماذج نحو أحد نوعين رئيسيين من سلوك القيم القصوى. وقد تبين أن اثنين من التوزيعات الجديدة، اللذين أُنشئا بتطبيق تحويل اللوغاريتم السالب المربع وتحويل اللوغاريتم المزدوج السالب، يستقران في النهاية ضمن نمط "غومبل" (Gumbel). هذا النمط يميز التوزيعات ذات الذيول الخفيفة، حيث تكون القيم المتطرفة نادرة وتنخفض احتمالية حدوثها بسرعة. أما التحويل الآخر، الذي يتضمن تعديلاً معيناً بقانون القوة، فقد أدى بالنموذج إلى التقارب نحو نمط "فريشيه" (Fréchet)، الذي يصف التوزيعات ذات الذيول الثقيلة حيث تكون الأحداث المتطرفة أكثر تكراراً ويكون ذيل منحنى الاحتمال أطول بكثير.

ولعل الأمر الأكثر أهمية هو أن الدراسة أكدت أن توزيع "رايلي للوحدة القائم على الوسيط" نفسه، دون أي تحويل، يتقارب نحو نمط ثالث يُعرف بتوزيع "ويبول" (Weibull). هذا النمط فريد من نوعه لأنه ينطبق على البيانات التي لها حد علوي صلب، أي سقف أقصى لا يمكن تجاوزه. ومن خلال إثبات هذه الحدود، أظهر المؤلف أن هذه النماذح الجديدة سليمة رياضياً وتنتمي إلى العائلات الصحيحة لنظرية القيم القصوى. ولا تقتصر الأبحاث على تحديد الحدود فحسب؛ بل توفر الآلية الرياضية الكاملة لكل توزيع جديد. ويتضمن ذلك القدرة على حساب القيمة المتوسطة، والتباين، والنقطة المحددة التي تقع تحتها نسبة مئوية معينة من البيانات. كما تفصل "معدل المخاطر" (hazard rate)، وهو مقياس لكيفية تغير خطر وقوع حدث متطرف بمرور الوقت، موضحاً أن بعض هذه النماذح الجديدة يبدأ فيها الخطر منخفضاً، ثم يرتفع إلى ذروة، ثم يستقر أو ينخفض، مما يوفر رؤية أكثر دقة للخطر من النماذج الأبسط.

تكمن قيمة هذا العمل في دقته بالنسبة للبيانات المحدودة. فبينما قد يكون الحد النهائي لأي نموذج للقيم القصوى هو توزيع "غومبل" أو "فريشيه" قياسي، فإن الرحلة نحو ذلك الحد تهم بشكل كبير. فالنماذج القياسية غالباً ما تفترض سرعة تقارب جامدة لا تتوافق مع الواقع، مما يؤدي إلى تقديرات متحيزة عند تطبيقها على مجموعات البيانات المحدودة التي نمتلكها فعلياً. تعمل هذه التوزيعات الجديدة كجسر؛ فهي تحتوي على معاملات إضافية تسمح لها بالانحناء وتشكيل نفسها لتناسب الخصائص المحددة للبيانات المتاحة، مما يلتقط السلوك "قبل النهائي" (penultimate) للنظام قبل وصوله إلى اللانهاية النظرية. وهذا يعني أن المهندسين، وعلماء الهيدرولوجيا، ومحللي المخاطر يمكنهم استخدام هذه النماذج للحصول على صورة أكثر دقة للكوارث المحتملة. يمكنهم الوثوق بأن النموذج يفهم الفروق الدقيقة الفيزيائية أو الهيكلية للنظام الذي يدرسونه، بدلاً من مجرد فرض البيانات في قالب عام. وتخلص الدراسة إلى أنه من خلال اشتقاق هذه التحويلات المحددة من توزيع أم واحد، فإننا نكتسب مجموعة أدوات متعددة الاستخدامات لنمذجة القيم القصوى، مما يضمن أن تكون توقعاتنا لأسوأ السيناريوهات ممكنة موثوقة وواقعية قدر الإمكان.