Earth radius from a single sunrise image: a classroom-ready activity

Dieser Beitrag stellt eine Unterrichtseinheit vor, in der Studierende den Erdradius schätzen, indem sie ein Sonnenaufgangsfoto des Mont-Blanc-Schattens von Genf aus analysieren und dabei geometrische Überlegungen sowie Korrekturen für die atmosphärische Refraktion nutzen, um eine obere Schranke abzuleiten, die als praktische Lektion in wissenschaftlicher Modellierung und im Wesen der Wissenschaft dient.

Das Wesentliche

Stellen Sie sich vor, Sie stehen in Genf und blicken auf den Sonnenaufgang. Die Sonne lugt gerade über den Horizont, ist aber so tief, dass sie die Krümmung der Erde noch nicht wirklich überschritten hat. Ihr Licht ist jedoch stark genug, um über den Gipfel eines fernen Berges, des Mont Blanc, zu scheinen und einen riesigen Schatten auf eine Schicht von Wolken zu werfen, die über diesem Berg schwebt.

Dieser Artikel ist im Wesentlichen eine clevere „Detektivgeschichte", in der zwei Lehrer mithilfe dieses einen Fotos ein Rätsel lösen: Wie groß ist die Erde?

Hier ist die Geschichte, wie sie es schafften, in einfachen Schritten aufgeschlüsselt:

1. Der Hinweis: Ein Schatten auf einer Wolke

Normalerweise muss man tausende Meilen zu verschiedenen Städten reisen, um die Erde zu vermessen (wie der antike Grieche Eratosthenes). Doch diese Autoren fanden einen Abkürzungsweg. Sie machten ein Foto des Schattens des Mont Blanc, der auf eine Wolkenschicht fiel.

Stellen Sie sich das Sonnenlicht als ein riesiges, unsichtbares Lineal vor. Da die Sonne so weit entfernt ist, sind ihre Strahlen fast perfekt parallel. Wenn diese Strahlen den Gipfel des Mont Blanc treffen und weiter zur Wolke laufen, erzeugen sie einen bestimmten Winkel. Indem sie genau maßen, wo der Schatten im Vergleich zum Berggipfel auf der Wolke fiel, konnten sie den Winkel bestimmen, unter dem das Sonnenlicht auf den Berg traf.

2. Die Kamera als Winkelmesser

Das Foto war nicht nur ein hübsches Bild; es war ein Messinstrument. Die Autoren nutzten das Objektiv der Kamera wie einen Winkelmesser.

• Sie maßen den Abstand zwischen dem Berggipfel und seinem Schatten in „Pixeln" auf dem Foto.
• Sie kannten die Größe des Kamerasensors und die Brennweite des Objektivs (die „Zoom"-Leistung).
• Mit Hilfe einfacher Mathematik (Trigonometrie) wandelten sie diese Pixel in einen realen Winkel um. Es ist so, als wüsste man, dass, wenn ein Schatten eine bestimmte Länge an einer Wand hat, die Lichtquelle einen spezifischen Winkel haben muss.

Sie berechneten, dass die Sonnenstrahlen den Berg in einem Winkel von etwa 88,9 Grad relativ zur Senkrechten trafen. (Wäre die Erde flach, wäre der Winkel genau 90 Grad. Die Tatsache, dass er etwas weniger ist, beweist, dass die Erde gekrümmt ist).

3. Der „Flache-Erde"-Test

Um den Erdradius zu finden, stellten sie sich ein einfaches geometrisches Dreieck vor:

• Punkt A: Das Zentrum der Erde.
• Punkt B: Die Spitze des Mont Blanc.
• Punkt C: Der Punkt, an dem der Sonnenstrahl die Erdoberfläche gerade noch streift (Tangente), bevor er den Berg trifft.

Wäre die Erde flach, würde das Licht den Berg direkt treffen. Da die Erde rund ist, muss das Licht leicht „abtauchen", um die Krümmung zu überwinden. Je steiler das Abtauchen, desto kleiner die Erde; je flacher das Abtauchen, desto größer die Erde.

Mit ihrem berechneten Winkel führten sie die Rechnung durch und erhielten ein Ergebnis: Der Erdradius beträgt etwa 26.600 km.

4. Der Realitätscheck: Die „Atmosphärische Linse"

Hier wird die Geschichte interessant. Der tatsächliche Erdradius beträgt nur etwa 6.370 km. Ihr erster Versuch war mehr als viermal zu groß!

Warum? Sie hatten die Atmosphäre vergessen.
Stellen Sie sich die Erdatmosphäre wie eine riesige, gekrümmte Linse vor. Wenn Licht durch die Luft reist, wird die Luft mit zunehmender Höhe dünner. Dies biegt die Lichtstrahlen nach unten, genau wie ein Strohhalm in einem Glas Wasser gebogen aussieht.

• Der Effekt: Diese Brechung lässt die Sonne höher am Himmel erscheinen, als sie tatsächlich ist.
• Die Korrektur: Die Autoren passten ihre Mathematik an, um diese „Biegung" (Refraktion) zu berücksichtigen. Sie subtrahierten einen winzigen Betrag von ihrem Winkel (etwa 0,6 Grad).

5. Das Endergebnis

Nach der Korrektur für die Atmosphäre sank ihre neue Schätzung für den Erdradius auf etwa 10.900 km.

• Dies ist immer noch etwa 1,7-mal größer als die reale Erde.
• Aber angesichts dessen, dass sie nur ein einziges Foto, eine Kamera und Schulmathematik verwendeten, ist es ein riesiger Erfolg, innerhalb eines Faktors von zwei zu liegen!

Warum das für Schüler wichtig ist

Die Autoren versuchen nicht nur zu beweisen, dass die Erde rund ist (das wissen wir bereits). Das eigentliche Ziel dieses Artikels ist es, Schülern zu zeigen, wie Wissenschaft funktioniert:

1. Beobachtung: Betrachten Sie etwas Einfaches und Alltägliches (einen Schatten).
2. Modellierung: Bauen Sie ein mathematisches Modell, um es zu erklären.
3. Fehleranalyse: Erkennen Sie, dass Ihre erste Antwort falsch ist, weil Sie einen Faktor übersehen haben (die Atmosphäre).
4. Verfeinerung: Korrigieren Sie das Modell und erhalten Sie eine bessere Antwort.

Es lehrt, dass es bei der Wissenschaft nicht darum geht, sofort die perfekte Zahl zu erhalten; es geht darum zu verstehen, warum Ihre Zahlen abweichen und wie man sein Modell verbessert. Es verwandelt ein einfaches Foto eines Sonnenaufgangs in eine Lektion über Geometrie, Physik und die wissenschaftliche Methode.

Technische Zusammenfassung

1. Problemstellung

Der Artikel adressiert die Herausforderung, den Erdradius ausschließlich mit lokalen Beobachtungen und einem einzigen Foto zu schätzen, wobei der Bedarf an großflächigen geodätischen Vermessungen oder weit voneinander entfernten Beobachtungspunkten vermieden wird (im Gegensatz zu historischen Methoden von Eratosthenes oder Al-Biruni). Konkret zielen die Autoren darauf ab, eine konservative Obergrenze für den Erdradius abzuleiten, indem sie ein Foto verwenden, das in Genf aufgenommen wurde und den Schatten des Mont Blanc auf eine Wolkenschicht projiziert zeigt. Die Studie dient zudem als pädagogisches Werkzeug, um die wissenschaftliche Methode – einschließlich Hypothesenbildung, Modellierung und Unsicherheitsanalyse – für Schüler der Oberstufe im MINT-Bereich zu demonstrieren.

2. Methodik

Die Methodik kombiniert beobachtende Astronomie, geometrische Optik, Trigonometrie und atmosphärische Physik. Der Prozess ist in vier Hauptstufen unterteilt:

A. Datengewinnung und Bildgeometrie

• Beobachtung: Ein Foto wurde am 7. Januar 2022 um 08:06 Uhr Ortszeit in Genf (Höhe $h_G = 430$ m) aufgenommen. Es zeigt die Schatten des Mont Blanc ($h_B = 4810$ m) und des Mont Maudit ($h_M = 4465$ m), die auf eine Stratuswolken-Schicht geworfen werden.
• Pixelmessung: Die Autoren maßen die Pixelabstände auf dem zugeschnittenen Bild:
  • Radialer Abstand zwischen den beiden Schatten: $\Delta d_{pix} = 307$ px.
  • Radialer Abstand zwischen Mont Blanc und seinem Schatten: $x_{pix} = 105$ px.
  • Gesamte Bildhöhe: $4608$ px.
• Optische Umrechnung: Unter Verwendung der Sensordimensionen der Kamera ($18,0 \text{ mm} \times 13,5 \text{ mm}$) und der Brennweite ($f = 42,0$ mm) wurden Pixelabstände in physikalische Abstände auf dem Sensor und anschließend in Winkelabstände ($\delta$ und $\theta$) umgerechnet, wobei die Linsengleichung verwendet wurde (unter der Annahme, dass der Objektabstand viel größer als die Brennweite ist):
  • Winkelabstand zwischen den Schatten: $\delta = 1,64^\circ$.
  • Winkelabstand zwischen Mont Blanc und seinem Schatten: $\theta = 0,560^\circ$.

B. Geometrische Modellierung (Bestimmung des Lichteinfalls)

Die Autoren erstellten ein geometrisches Modell, um den Einfallswinkel der Sonnenstrahlen ($\alpha$) relativ zur lokalen Vertikalen am Gipfel des Mont Blanc zu bestimmen.

• Bekannte Größen: Höhenunterschiede, horizontaler Abstand zum Mont Blanc ($d = 71$ km) sowie die gemessenen Winkel $\delta$ und $\theta$.
• Unbekannte Größen: Die Höhe der Wolkenschicht über dem Gipfel ($x$) und die horizontalen Abstände zu den Schatten.
• Berechnung: Durch Anwendung der rechtwinkligen Trigonometrie und Lösen eines Gleichungssystems basierend auf ähnlichen Dreiecken, die durch die parallelen Sonnenstrahlen gebildet werden, lösten die Autoren nach der Wolkenhöhe ($x \approx 146$ m).
• Ergebnis: Der Lichteinfallsinkel $\alpha$ wurde als $88,9^\circ$ relativ zur lokalen Vertikalen berechnet.

C. Radiusabschätzung (Geometrische Grenze)

Unter Verwendung der Methode von Al-Biruni nahmen die Autoren an, dass die Erde eine perfekte Kugel ist und das Sonnenlicht, das den Schatten wirft, tangential zur Erdoberfläche verläuft.

• Formel: $R = h_B \cdot \frac{\sin(\alpha)}{1 - \sin(\alpha)}$
• Erstes Ergebnis: Durch Einsetzen der Werte ergab sich eine Obergrenze von $R_{max} \approx 26.600$ km.
• Hinweis: Dies liegt deutlich über dem akzeptierten Erdradius ($\approx 6.371$ km), was die Notwendigkeit von Korrekturen aufzeigt.

D. Brechungskorrektur

Die Autoren verfeinerten die Schätzung, indem sie die atmosphärische Brechung berücksichtigten, die Lichtstrahlen beim Durchgang durch die Atmosphäre nach unten krümmt und die Sonne höher erscheinen lässt als ihre geometrische Position.

• Korrektur: Eine Standardkorrektur für die Horizontbrechung von $34'$ (Bogenminuten) wurde auf $\alpha$ angewendet.
• Korrigierter Winkel: $\alpha_{corr} = 88,9^\circ - 34' = 88,3^\circ$.
• Korrigiertes Ergebnis: Die revidierte Obergrenze betrug $R_{max, corr} \approx 10.900$ km.

3. Hauptbeiträge

• Pädagogisches Rahmenwerk: Der Artikel bietet eine strukturierte, aktivitätstaugliche Unterrichtseinheit, die Schüler von einfachen Beobachtungen zu komplexer Modellierung führt. Er betont das „Wesen der Wissenschaft" (Nature of Science, NOS), indem er von den Schülern verlangt, Hypothesen zu formulieren, Näherungen zu handhaben und Fehlerquellen zu analysieren.
• Einzelbild-Methodik: Es wird demonstriert, dass ein einziges Foto, kombiniert mit bekannten geografischen Daten und grundlegender Trigonometrie, eine physikalisch sinnvolle (wenn auch eine Obergrenze darstellende) Schätzung des planetaren Maßstabs liefern kann.
• Fehleranalyse: Die Studie identifiziert und quantifiziert explizit die Quellen der Überschätzung:
  1. Atmosphärische Brechung: Die Hauptfehlerquelle, die in Abschnitt 5 behandelt wird.
  2. Topografie: Die Annahme einer perfekt kugelförmigen Erde ignoriert lokale Geländeschwankungen, die den tangentialen Strahl blockieren könnten.
  3. Mathematische Sensitivität: Die Funktion, die den Winkel $\alpha$ mit dem Radius $R$ verknüpft, ist in der Nähe von $90^\circ$ stark nichtlinear. Ein kleiner Fehler in $\alpha$ (z. B. 1 %) führt zu einem massiven Fehler in $R$ (>10 %), was die Bedeutung der Präzision in Grenzfällen veranschaulicht.

4. Ergebnisse

• Erstschätzung: $26.600$ km ($\approx 4,2 \times$ der tatsächliche Erdradius).
• Brechungskorrigierte Schätzung: $10.900$ km ($\approx 1,7 \times$ der tatsächliche Erdradius).
• Verifikation der Wolkenhöhe: Die berechnete Wolkenhöhe ($\approx 4956$ m) wurde mit meteorologischen Daten von MétéoSuisse abgeglichen, was die interne Konsistenz des Modells bestätigte.
• Sensitivität: Die Studie bestätigt, dass die geometrische Herleitung zwar robust ist, die finale Radiusabschätzung jedoch aufgrund des asymptotischen Charakters der Tangensfunktion in der Nähe des Horizonts extrem empfindlich auf den genauen Wert des Sonnenhöhenwinkels reagiert.

5. Bedeutung

• Bildungswert: Die Aktivität schließt die Lücke zwischen abstrakten physikalischen Konzepten (Trigonometrie, Optik, Brechung) und realen Beobachtungen. Sie ist für Schüler der Oberstufe (Gymnasialniveau) zugänglich, aber dennoch streng genug, um komplexes wissenschaftliches Denken zu veranschaulichen.
• Veranschaulichung der wissenschaftlichen Methode: Sie demonstriert konkret, wie wissenschaftliche Modelle iterativ sind. Das initiale Modell (nur geometrisch) liefert ein „falsches", aber begrenzendes Ergebnis; das verfeinerte Modell (einschließlich Brechung) verbessert die Genauigkeit; und die Diskussion der Grenzen (Topografie, Sensitivität) lehrt kritische Bewertung.
• Zugänglichkeit: Sie beweist, dass bedeutende wissenschaftliche Untersuchungen nicht immer fortschrittliche Technologie oder globale Datensätze erfordern; sorgfältige Beobachtung alltäglicher Phänomene (Sonnenaufgangsschatten) kann zu tiefgründigen Erkenntnissen über die planetare Geometrie führen.

Zusammenfassend nutzt der Artikel erfolgreich ein spezifisches fotografisches Ereignis, um eine konservative Obergrenze für den Erdradius abzuleiten und verwandelt ein einfaches Bild in eine umfassende Lektion über geometrische Modellierung, atmosphärische Physik und die Grenzen, die der wissenschaftlichen Messung inhärent sind.