The magmatic universe revisited: we define ordered pairs, relations, numbers and a special form of Separation

Dieser Begleitartikel zu \cite{Tz24} untersucht, ob im magmatischen Universum $M$ grundlegende mengentheoretische Konzepte wie geordnete Paare und Funktionen definiert werden können, und zeigt, dass zwar magmatische Analogien für Paare existieren, die Definition von Funktionen jedoch aufgrund der Unterscheidung zwischen „intendierten" und „kollateralen" Elementen erhebliche Probleme aufwirft, während das Magmatische Separationsschema für eine bestimmte Formelklasse gilt, das Ersetzungsschema jedoch versagt.

Das Wesentliche

Titel: Das magmatische Universum – Eine Reise in eine Welt, in der alles zusammenklebt

Stellen Sie sich das Universum der Mathematik, wie wir es gewohnt sind (die sogenannte Mengenlehre), als einen riesigen, sauberen Supermarkt vor. In diesem Supermarkt gibt es Regale mit einzelnen, perfekt getrennten Äpfeln, Orangen und Bananen. Sie können einen Apfel nehmen, ihn in eine Tüte stecken, und er bleibt ein einzelner Apfel. Sie können zwei Äpfel zu einem Paar zusammenfassen, und sie bleiben zwei getrennte Äpfel. Das ist das Reich der „Mengen": Alles ist klar getrennt, unabhängig und definiert.

Nun stellt der Autor dieses Papiers, Athanassios Tzouvaras, eine völlig andere Welt vor: Das magmatische Universum.

Stellen Sie sich dieses Universum nicht als Supermarkt, sondern als einen riesigen, fließenden Vulkan aus Lava vor. In diesem Vulkan gibt es keine einzelnen, losen Steine. Alles ist miteinander verschmolzen. Wenn Sie versuchen, ein Stück aus der Lava zu nehmen, nehmen Sie nicht nur das Stück, sondern auch alles, was damit verbunden ist. Es gibt keine „leeren Tüten" (die leere Menge existiert hier nicht) und keine isolierten Objekte.

Hier ist die einfache Erklärung dessen, was in diesem Papier passiert, mit ein paar kreativen Analogien:

1. Das Problem: Wie macht man ein Paar in einer Lava-Welt?

In unserer normalen Welt (Mengenlehre) machen wir ein geordnetes Paar aus zwei Dingen (z. B. „Ich und du") durch eine klare Struktur: Wir stecken sie in eine Tüte, und die Tüte ist das Paar.

Im magmatischen Universum funktioniert das nicht. Wenn Sie versuchen, zwei Dinge zu verbinden, kleben sie nicht nur aneinander, sondern sie ziehen auch ihre ganze Umgebung mit sich.

• Die Analogie: Stellen Sie sich vor, Sie wollen zwei Freunde (A und B) auf ein Foto setzen. In der normalen Welt ist das Foto einfach ein Bild von A und B. Im magmatischen Universum ist das Foto jedoch ein riesiger, unscharfer Nebel, der nicht nur A und B zeigt, sondern auch jeden, der A oder B auch nur ein wenig ähnelt oder mit ihnen verbunden ist.
• Das Ergebnis: Der Autor schafft es, eine Art „magmatisches Paar" zu definieren. Aber dieses Paar ist kein sauberes Foto. Es ist wie ein riesiger Klecks Farbe, in dem das eigentliche Paar (die „beabsichtigten" Elemente) von unzähligen anderen, kleineren Klecksen umgeben ist (den „Neben-Effekten" oder „Kollateral-Elementen").

2. Das große Hindernis: Funktionen sind fast unmöglich

In der Mathematik sind Funktionen wie Automaten: Sie geben ein Ding rein (Eingabe), und es kommt genau ein bestimmtes Ding raus (Ausgabe).

• Im Supermarkt: Ich stecke einen Apfel rein, und es kommt genau eine Apfelschale raus.
• Im Vulkan: Wenn ich einen Apfel (Eingabe) in den Vulkan werfe, kommt nicht nur eine Apfelschale raus. Es kommt die Apfelschale heraus, aber auch tausend andere Schalen von Äpfeln, die dem ersten ähnlich sind, sowie Teile von Äpfeln, die gar nicht da waren.

Das ist das Hauptproblem des Papiers: Funktionen funktionieren hier nicht so, wie wir es kennen.
Da alles miteinander verbunden ist, kann man nicht sagen: „Wenn ich X habe, bekomme ich genau Y." Denn wenn ich X habe, habe ich automatisch auch alle Teile von X, und alle Teile von X haben ihre eigenen Ausgänge. Der „Automat" gibt also unendlich viele Ausgänge gleichzeitig aus. Der Autor zeigt, dass man Funktionen nur unter sehr speziellen, eingeschränkten Bedingungen definieren kann, bei denen man die „Lava" sorgfältig filtern muss.

3. Die Lösung: „Beabsichtigte" vs. „Neben-Effekte"

Um mit dieser chaotischen Welt umzugehen, führt der Autor eine Unterscheidung ein:

• Beabsichtigte Elemente: Das sind die Dinge, die wir eigentlich meinen (z. B. das Paar, das wir fotografieren wollten).
• Kollaterale Elemente: Das ist der ganze „Lärm" drumherum. Alles, was automatisch mitkommt, weil es mit dem beabsichtigten Ding verbunden ist.

Stellen Sie sich vor, Sie wollen eine Party planen (eine mathematische Relation). Sie laden nur Ihre besten Freunde ein (die beabsichtigten Elemente). Aber weil in diesem Universum alles miteinander verbunden ist, kommen automatisch auch deren Cousins, Nachbarn und sogar deren Haustiere mit (die kollateralen Elemente). Sie können die Party nicht einfach auf die besten Freunde beschränken; die Gäste sind einfach da.

4. Zahlen und Regeln in der Lava

Der Autor zeigt auch, wie man Zahlen in dieser Welt macht.

• Normalerweise bauen wir Zahlen wie eine Treppe: 0 ist leer, 1 ist eine Tüte mit 0, 2 ist eine Tüte mit 0 und 1, usw.
• Im Vulkan gibt es keine leeren Tüten. Also fängt man mit einem festen Stein (einem „Atom") an und baut darauf auf. Aber jede neue Zahl ist nicht nur die alte Zahl plus ein neues Ding, sondern die alte Zahl plus alles, was damit verbunden ist. Die Zahlen wachsen also wie Kristalle in der Lava, die immer komplexer und verschlungener werden.

5. Die Regeln des Spiels (Separation vs. Replacement)

Am Ende des Papiers geht es um die Gesetze, die in diesem Universum gelten.

• Separation (Trennung): In der normalen Mathematik können wir eine Menge nehmen und alle Elemente herausschneiden, die eine bestimmte Eigenschaft haben (z. B. „Alle roten Äpfel"). Im Vulkan funktioniert das nur, wenn wir vorsichtig sind. Wenn wir einen „roten Apfel" nehmen, müssen wir auch alle Teile mitnehmen, die rot sind. Der Autor zeigt, dass eine spezielle Art von Trennung funktioniert, wenn man nur nach „magmatischen" Regeln fragt (Regeln, die die Verbindung akzeptieren).
• Replacement (Ersetzung): Dies ist das Gesetz, das besagt: „Wenn ich jedes Element einer Menge durch ein anderes ersetze, bekomme ich wieder eine Menge." Im Vulkan scheitert dieses Gesetz katastrophal. Wenn Sie versuchen, die Lava umzuformen, zerfällt die Struktur oder wird zu etwas, das keine Menge mehr ist. Die „Maschine" der Ersetzung bricht zusammen, weil die Verbindungen zu stark sind.

Fazit

Dieses Papier ist eine Reise in eine Welt, die das Gegenteil unserer gewohnten, klaren Mathematik ist. Es ist eine Welt der Abhängigkeit statt der Unabhängigkeit.

• Unsere Welt: Alles ist getrennt, klar und kontrollierbar.
• Die magmatische Welt: Alles ist verbunden, verschwommen und „klebt" zusammen.

Der Autor sagt im Grunde: „Ja, wir können in dieser chaotischen Lava-Welt Mathematik betreiben, aber wir müssen unsere Werkzeuge (Paare, Funktionen, Zahlen) völlig neu erfinden. Und wir müssen akzeptieren, dass wir nie nur das bekommen, was wir wollen, sondern immer auch den ganzen 'Neben-Effekt' dazu."

Es ist wie der Versuch, mit einem Löffel aus flüssigem Gold zu essen: Man bekommt das Gold, aber man bekommt auch immer etwas davon an den Fingern, und man kann es nie ganz sauber abtrennen.

Technische Zusammenfassung

Hier ist eine detaillierte technische Zusammenfassung des Artikels „The magmatic universe revisited" von Athanassios Tzouvaras auf Deutsch.

Titel und Kontext

Der Artikel ist eine Begleitarbeit zu einer früheren Publikation [4] und untersucht die mathematischen Strukturen innerhalb des „magmatischen Universums" $M$. Dieses Universum wurde entwickelt, um Aspekte der von Cornelius Castoriadis eingeführten „Magmen" (Magma) formal abzubilden. Im Gegensatz zur klassischen Mengenlehre (ZF/ZFC) zeichnet sich $M$ durch eine fundamentale Abhängigkeit seiner Elemente aus, was zu einem „nicht-separativen" Weltbild führt, in dem Elemente nicht in beliebige Teilmengen zerlegbar sind.

Das Problem

Das magmatische Universum $M$ enthält keine endlichen Mengen (nicht einmal die leere Menge). Daher fehlen in $M$ die grundlegenden Konstrukte der klassischen Mengenlehre, die auf geordneten Paaren basieren:

1. Fehlende geordnete Paare: Die übliche Definition $\langle x, y \rangle = \{\{x\}, \{x, y\}\}$ ist in $M$ nicht möglich.
2. Fehlende Relationen und Funktionen: Da Relationen und Funktionen als Mengen geordneter Paare definiert sind, existieren sie in ihrer klassischen Form nicht.
3. Fehlende Zahlen: Natürliche und Ordinalzahlen, die üblicherweise als Mengen aufgebaut werden (z. B. von Neumann-Zahlen), können nicht direkt definiert werden.
4. Axiomatische Defizite: Das Trennungsaxiom (Separation) und das Ersetzungsaxiom (Replacement) von ZFC gelten in ihrer allgemeinen Form nicht.

Die zentrale Fragestellung des Artikels ist:

• Können in $M$ funktionale Analoga zu geordneten Paaren, Relationen, Funktionen und Zahlen definiert werden?
• Gibt es eingeschränkte Formen der Axiome Separation und Replacement, die in $M$ gelten?

Methodik

Der Autor verwendet eine konstruktive Methode innerhalb der Theorie der Mengen mit Atomen ($ZFA$), wobei $M$ als Unterverzeichnis von $V(A)$ definiert ist.

• Topologischer Ansatz: Die Elemente von $M$ werden als „untere offene Mengen" (lower open sets) bezüglich einer Präordnung $\preccurlyeq$ auf einer Menge von Atomen $A$ definiert.
• Abhängigkeitsrelation: Die Inklusion $\subseteq$ wird als Relation der Abhängigkeit interpretiert. Wenn $x \in M$, dann enthält die kleinste Magme, die $x$ enthält, unendlich viele andere Magmen (Submagmen).
• Erweiterung des Universums: Um über Mengen isolierter Elemente zu sprechen, wird $M$ um eine Klasse $M_{seq}$ erweitert (die Menge aller nicht-leeren Teilmengen von $M$), um das Universum $\tilde{M} = M \cup M_{seq}$ zu bilden. Dies erlaubt die Unterscheidung zwischen „beabsichtigten" (intended) und „kollateralen" (collateral) Elementen.

Schlüsselbeiträge und Ergebnisse

1. Magmatische geordnete Paare

Der Autor definiert ein Analogon zu geordneten Paaren, das er „magmatisches Paar" $\langle\langle x, y \rangle\rangle$ nennt.

• Definition: Unter Verwendung zweier spezieller, unvergleichbarer Atome $a_0, a_1$ wird definiert:
  $$\langle\langle x, y \rangle\rangle := pr(pr^2(x) \cup pr^2(a_0)) \cup pr(pr^2(y) \cup pr^2(a_1))$$
  wobei $pr(x)$ die Menge der Vorgänger von $x$ ist.
• Eigenschaft: Es gilt die Eindeutigkeit: $\langle\langle x, y \rangle\rangle = \langle\langle x', y' \rangle\rangle \iff x = x' \land y = y'$.
• Problem: Im Gegensatz zu klassischen Paaren enthält jedes magmatische Paar $\langle\langle x, y \rangle\rangle$ unendlich viele kollaterale Subpaare $\langle\langle x', y' \rangle\rangle$ mit $x' \subseteq x$ und $y' \subseteq y$.

2. Magmatische Produkte, Relationen und Funktionen

• Produkte: Das magmatische Produkt $x \boxtimes y$ ist die kleinste Magme, die alle Paare $\langle\langle z, w \rangle\rangle$ für $z \in x, w \in y$ enthält.
• Intended vs. Collateral: Ein zentrales Konzept ist die Unterscheidung zwischen:
  • Intended (Beabsichtigt): Die spezifischen Paare, die der Konstruktor einfügen wollte.
  • Collateral (Kollateral): Alle anderen Elemente, die aufgrund der Abhängigkeitsrelation ($\subseteq$) automatisch mitgeliefert werden.
• Das Funktionsproblem: Die Definition von Funktionen scheitert an der Eindeutigkeit. In einer klassischen Funktion ist jedem $x$ genau ein $y$ zugeordnet. In $M$ führt die Definition einer Relation über beabsichtigte Paare jedoch dazu, dass für ein $x$ auch alle $x' \subseteq x$ und alle $y' \subseteq y$ in der Relation enthalten sind.
  • Lösung: Der Autor definiert „magmatische Funktionen" nur unter sehr speziellen Bedingungen. Eine Relation $R$ ist eine Funktion, wenn für jedes $z \in dom(R)$ die Menge der Bilder $R[z]$ ein größtes Element bezüglich $\subseteq$ besitzt.
  • Ergebnis: Magmatische Funktionen existieren nur, wenn die beabsichtigten Eingabepaare bestimmte Disjunktheits- oder Inklusionsbedingungen erfüllen (z. B. Lemma 4.8: Die Domänen der beabsichtigten Paare müssen paarweise disjunkt sein). Im Allgemeinen sind magmatische Relationen keine Funktionen im klassischen Sinne.

3. Magmatische natürliche und Ordinalzahlen

Da die leere Menge $\emptyset$ in $M$ fehlt, wird als Startpunkt ein Atom $a_0$ gewählt.

• Definition:
  • $0 := pr^2(a_0)$(anstatt$\emptyset$).
  • Nachfolger $n' := n \cup pr(n)$ (anstatt $n \cup \{n\}$).
• Ordnung: Die Ordnung $\alpha < \beta$ wird durch die echte Inklusion $\alpha \subset \beta$ definiert.
• Alternative: Es wird eine alternative Definition vorgeschlagen, bei der $n = pr^{n+2}(a_0)$, was zu disjunkten Mengen führt, aber weniger intuitiv für die Addition ist.

4. Das Trennungsaxiom (Separation)

• Allgemeines Versagen: Das volle Trennungsaxiom gilt nicht, da die Schnittmenge einer Magme mit einer definierbaren Klasse oft keine Magme ist (fehlende Abgeschlossenheit unter $\subseteq$).
• Magmatische Formeln: Der Autor definiert eine Klasse von „magmatischen Formeln" $\phi(x)$, die die Bedingung erfüllen:
  $$\forall x, y \in M: (\phi(x) \land y \subseteq x) \implies \phi(y)$$
  Das bedeutet, wenn ein Element die Eigenschaft hat, dann haben auch alle seine Submagmen diese Eigenschaft.
• Magmatisches Trennungsaxiom (MSS): Für jede magmatische Formel $\phi$ und jede Magme $u$ ist die Schnittmenge $\{x \in u \mid \phi(x)\}$ wieder eine Magme. Dies wird als wahr in $M$ bewiesen.

5. Das Ersetzungsaxiom (Replacement)

• Versagen: Das Ersetzungsaxiom schlägt in $M$ fundamental fehl.
• Grund: Das Axiom erfordert funktionale Abbildungen. Wie in Abschnitt 4 gezeigt, sind magmatische Funktionen extrem eingeschränkt. Selbst wenn man eine funktionale Relation definiert (z. B. $y = pr(x)$), ist das Bild einer Magme unter dieser Relation meist keine Magme, da die Struktur der Abhängigkeit nicht erhalten bleibt (das Bild enthält keine „kollateralen" Elemente, die für eine Magme notwendig wären).
• Unmöglichkeit einer Einschränkung: Versuche, das Axiom durch Einschränkung auf „magmatische" funktionale Formeln zu retten, scheitern, da die magmatische Vervollständigung einer funktionalen Relation die Funktionalität zerstört (ein $x$ würde dann auf viele $y$ abbilden).

Signifikanz und Fazit

Der Artikel zeigt, dass das magmatische Universum $M$ eine konsistente, aber radikal andere mathematische Struktur als die klassische Mengenlehre ist.

1. Abhängigkeit vs. Unabhängigkeit: Während ZFC auf der Unabhängigkeit von Mengen basiert (man kann beliebige Teilmengen bilden), basiert $M$ auf der Unauflösbarkeit und gegenseitigen Abhängigkeit von Elementen.
2. Limitationen: Die Einführung von „magmatischen Paaren" löst das Problem der Existenz von Paaren, führt aber zu komplexen Problemen bei der Definition von Funktionen durch die unvermeidbare Präsenz „kollateraler" Elemente.
3. Axiomatische Konsequenz: Während eine eingeschränkte Form des Trennungsaxioms (MSS) für „magmatische" Eigenschaften funktioniert, ist das Ersetzungsaxiom in $M$ aufgrund seiner funktionalen Natur unvereinbar mit der Struktur der Magmen.

Dies unterstreicht, dass Castoriadis' Konzept der Magmen nicht einfach als „Mengenlehre mit anderen Axiomen" modelliert werden kann, sondern eine fundamentale Neuinterpretation der mathematischen Objekte erfordert, bei der die Unterscheidung zwischen „beabsichtigten" und „kollateralen" Elementen zentral ist.