Hyperelliptic curves mapping to abelian varieties and applications to Beilinson's conjecture for zero-cycles

Cet article décrit une collection abondante de courbes hyperelliptiques non isomorphes se plongeant birationnellement dans une surface abélienne isogène à un produit de courbes elliptiques, et utilise ces courbes pour établir de nouvelles équivalences rationnelles dans le groupe de Chow des zéro-cycles, apportant ainsi des progrès vers la conjecture de Beilinson concernant le noyau de l'application d'Albanese.

L'essentiel

Voici une explication de ce papier de recherche, traduite en langage simple et imagé, comme si nous en discutions autour d'un café.

Le Titre : Des Routes Sinueuses vers des Mondes Mathématiques

Imaginez que les mathématiques sont un vaste univers rempli de différents types de terrains.

• Les Courbes Hyperelliptiques sont comme des routes sinueuses, des sentiers de montagne avec des virages en épingle à cheveux (des courbes complexes).
• Les Variétés Abéliennes sont comme de vastes plaines ou des tores (des formes de beignets géants) qui ont des règles de mouvement très précises.

Le but de ce papier, écrit par Evangelia Gazaki et Jonathan Love, est de construire des ponts (des applications mathématiques) entre ces routes sinueuses et ces plaines géantes. Et ce, pour résoudre une énigme vieille de plusieurs décennies : la Conjecture de Beilinson.

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1. Le Problème : Le "Gouffre" Invisible

Pour comprendre l'énigme, imaginons une carte géographique.

• Si vous êtes sur un terrain complexe (comme une surface avec beaucoup de "trous" ou de courbures), il existe un "gouffre" caché appelé le noyau d'Albanese.
• Ce gouffre contient des points qui semblent différents les uns des autres, mais qui, selon les règles de la géométrie rationnelle, devraient être considérés comme le même endroit.
• En France, on dirait que c'est un "trou noir" dans la logique : des points qui devraient être identiques mais qui ne le sont pas.

La Conjecture de Beilinson dit quelque chose de très fort : "Si vous regardez ces terrains depuis le monde des nombres rationnels (les fractions simples, comme 1/2, 3/4), ce gouffre n'existe pas ! Tout ce qui devrait être ensemble est ensemble."

C'est une conjecture très difficile à prouver. Personne n'a encore réussi à le faire pour un terrain complexe quelconque.

2. La Solution : Les Routes Sinueuses (Courbes Hyperelliptiques)

Les auteurs ont une idée brillante : au lieu d'essayer de prouver que le gouffre est vide directement, ils vont remplir le terrain de routes sinueuses (des courbes hyperelliptiques) qui traversent la plaine.

L'analogie du tapis :
Imaginez que votre terrain (la variété abélienne) est un tapis. Vous voulez savoir si deux points sur ce tapis sont "liés" par une relation cachée.

• Les auteurs disent : "Si nous pouvons faire passer une route sinueuse (une courbe hyperelliptique) à travers ces deux points, alors ces points sont liés !"
• Plus important encore, ils montrent que si vous avez assez de ces routes, vous pouvez prouver que tous les points du tapis sont liés les uns aux autres. Le gouffre disparaît !

3. La Méthode : Comment construire ces routes ?

C'est là que l'ingénierie mathématique devient fascinante.

1. Le Miroir (Surface de Kummer) : Les auteurs prennent leur terrain (la surface abélienne) et le "plient" en deux. Cela crée une surface avec 16 points de pliage (des singularités). C'est comme prendre une feuille de papier, la plier, et regarder les plis.
2. Les Lignes Droites (Courbes Rationnelles) : Sur cette surface pliée, il est plus facile de trouver des lignes droites (des chemins simples).
3. Le Dépliement : Ils prennent ces lignes droites et les "déplient" pour les ramener sur le terrain original. Magie ! Ces lignes droites deviennent des routes sinueuses (des courbes hyperelliptiques) sur le terrain original.

L'astuce de génie :
Ils utilisent une structure appelée "fibration elliptique" (comme un escalier en colimaçon) sur cette surface pliée. En ajoutant des "marches" à cet escalier (en utilisant l'arithmétique des points), ils peuvent créer une infinité de lignes droites différentes. Chaque ligne droite dépliée donne une nouvelle route sinueuse unique.

4. Le Résultat : Une Forêt de Routes

Le papier prouve deux choses incroyables :

1. Quantité : Pour un certain type de terrain (celui qui ressemble à deux beignets collés ensemble), ils peuvent construire une infinité de routes sinueuses différentes.
2. Qualité : Ces routes sont toutes uniques. Aucune n'est une copie de l'autre, et elles ne se chevauchent pas de manière prévisible.

C'est comme si, au lieu d'avoir un seul sentier dans une forêt, ils avaient découvert une forêt entière de sentiers, chacun menant à un endroit différent, mais tous connectés par la même logique.

5. Pourquoi c'est important ? (L'Application)

Pourquoi se donner tant de mal pour dessiner des routes ?

Parce que chaque fois qu'ils trouvent une de ces routes, ils obtiennent une équation magique. Cette équation dit : "Ces deux points sont en fait le même point."

En accumulant assez de ces routes (et ils en ont trouvé beaucoup, même pour des terrains très complexes), ils réussissent à prouver que le "gouffre" est vide pour une grande classe de terrains.

En résumé :

• Le but : Prouver que certains points mathématiques sont égaux (Conjecture de Beilinson).
• L'outil : Construire des routes sinueuses (courbes hyperelliptiques) qui relient ces points.
• La méthode : Utiliser des miroirs et des escaliers (surfaces de Kummer et fibrations) pour générer une infinité de ces routes.
• Le succès : Ils ont montré qu'en utilisant ces routes, on peut résoudre le problème pour beaucoup plus de cas que ce qui était possible auparavant, donnant un grand espoir que la conjecture soit vraie pour tout le monde.

C'est un peu comme si, au lieu de chercher à vider un océan avec une cuillère, ils avaient construit un réseau de canaux qui drainent l'eau naturellement, prouvant que l'océan n'était pas aussi profond qu'on le pensait.

Résumé technique

Voici un résumé technique détaillé de l'article « Hyperelliptic curves mapping to abelian varieties and applications to Beilinson's conjecture for zero-cycles » par Evangelia Gazaki et Jonathan Love.

1. Problématique et Contexte

L'article s'attaque à la conjecture de Beilinson concernant les zéro-cycles sur les variétés projectives lisses définies sur $\mathbb{Q}$.

• Conjecture 1.1 (Beilinson) : Pour une variété projective lisse $X$ sur $\mathbb{Q}$, le noyau de l'application d'Albanese, noté $F^2(X)$, est nul. Autrement dit, l'application d'Albanese est injective.
• Contexte : Sur un corps algébriquement clos (comme $\mathbb{C}$), si le genre géométrique $p_g(X) > 0$, le groupe $F^2(X)$ est "énorme" et ne peut pas être paramétré par une variété algébrique (résultats de Mumford et Bloch). En revanche, sur $\mathbb{Q}$, on conjecture que ce noyau est trivial.
• Défi actuel : À ce jour, aucun exemple de surface projective lisse avec $p_g(X) > 0$ n'est connu pour satisfaire cette conjecture.
• Objectif de l'article : Faire progresser cette conjecture pour deux classes spécifiques de surfaces : les surfaces abéliennes et leurs surfaces de Kummer associées.

2. Méthodologie

Les auteurs développent une approche combinant la théorie des courbes hyperelliptiques, la géométrie des surfaces de Kummer et la théorie des réseaux de Mordell-Weil.

A. Points Hyperelliptiques et Relations dans le Groupe de Chow

Les auteurs introduisent la notion de point hyperelliptique sur une surface abélienne $A$. Un point $a \in A(k)$ est dit hyperelliptique s'il est un multiple non nul de l'image d'un morphisme $f: H \to A$, où $H$ est une courbe hyperelliptique et l'involution hyperelliptique de $H$ correspond à l'inversion sur $A$ ($f \circ \iota = -f$).

• Lemme clé (2.11) : Si $a$ est un point hyperelliptique, alors le zéro-cycle $z_{a,a} = [2a] - 2[a] + [0]$ est nul dans le noyau d'Albanese $F^2(A)$.
• Bilinéarité : Le groupe $F^2(A)$ est engendré par des cycles de la forme $z_{a,b} = [a+b] - [a] - [b] + [0]$. La bilinéarité de l'application $(a,b) \mapsto z_{a,b}$ permet de déduire que si un ensemble fini de combinaisons linéaires de points sont hyperelliptiques, alors de nombreux cycles $z_{c,d}$ s'annulent.

B. Construction de Courbes via les Surfaces de Kummer

La méthode principale pour générer ces points hyperelliptiques repose sur la surface de Kummer $K = \text{Kum}(A)$ associée à $A$ (obtenu en résolvant les singularités de $A/\langle -1 \rangle$).

• Correspondance : Il existe une bijection entre les images de morphismes non constants $\mathbb{P}^1 \to K$ (courbes rationnelles) et les images de morphismes $f: H \to A$ où $H$ est hyperelliptique et $f \circ \iota = -f$.
• Fibration Elliptique : Lorsque $A$ est isogène à un produit de deux courbes elliptiques $E \times E'$, la surface de Kummer $K$ admet une structure de fibration elliptique (le pinceau d'Inose).
• Réseau de Mordell-Weil : En utilisant l'addition dans le réseau de Mordell-Weil de cette fibration, les auteurs construisent une infinité de sections rationnelles. Le tiré en arrière (pullback) de ces sections vers $E \times E'$ produit des courbes hyperelliptiques $H$.

C. Stratégie de Preuve pour la Conjecture

Pour prouver que $F^2(A) = 0$ sur un corps de nombres, il suffit de montrer que pour tout couple de points $a, b \in A(\mathbb{Q})$, le cycle $z_{a,b}$ est nul.

• Grâce au théorème de Mordell-Weil, le groupe $A(\mathbb{Q})$ est de type fini.
• Les auteurs montrent qu'il suffit de trouver un nombre fini de points hyperelliptiques (ou de combinaisons linéaires de points de base qui sont hyperelliptiques) pour annuler tout le groupe $F^2(A)$.

3. Résultats Principaux

Théorème 1.2 (Cas des surfaces abéliennes)

Soit $A$ une surface abélienne sur un corps algébriquement clos. Si $a, b$ et $ma + m'b$ sont des points hyperelliptiques (pour certains entiers non nuls), alors pour tout $c, d$ dans l'enveloppe divisible du sous-groupe engendré par $a$ et $b$, le cycle $z_{c,d}$ s'annule dans $F^2(A)$.

Théorème 1.3 (Construction explicite de courbes)

Soit $A$ une surface abélienne isogène à un produit $E \times E'$ de deux courbes elliptiques.

• Pour une infinité d'entiers $g \ge 2$, il existe une infinité de courbes hyperelliptiques non isomorphes de genre $g$ admettant des applications compatibles vers $A$.
• Ces courbes sont construites en tirant en arrière des sections du pinceau d'Inose sur la surface de Kummer.
• Les auteurs fournissent des bornes explicites pour le genre $g$ en fonction de la hauteur canonique des sections de Mordell-Weil : $g \approx 4n - 2$ (où $n$ est lié à la hauteur).

Résultats Computations (Section 3.6)

Les auteurs améliorent significativement les résultats de [GL24] en utilisant :

1. Des sections de plus haut degré (courbes de genre 6, 10, etc.) au-delà des courbes de genre 2.
2. La substitution des courbes elliptiques par des courbes isogènes avant de construire la surface de Kummer.

• Résultat : Ils vérifient la finitude de $F^2(E \times E')_{\text{comp}}$ (et donc la conjecture de Beilinson pour ces cas) pour un nombre beaucoup plus important de paires de courbes elliptiques sur $\mathbb{Q}$ que précédemment. Même pour des rangs élevés, de nouvelles relations rationnelles sont trouvées.

Généralisation en Dimensions Supérieures (Section 4)

Les résultats sont étendus aux variétés abéliennes de dimension $d \ge 3$.

• Ils utilisent la filtration de Pontryagin et les groupes K de Somekawa.
• Ils montrent que si les groupes K symétriques $S_2(k; A)$ sont de torsion (ce qui est garanti si suffisamment de points sont hyperelliptiques), alors $F^2(A) = 0$.
• Limitation : En dimension $\ge 3$, la variété de Kummer n'est généralement pas de Calabi-Yau et ne contient pas assez de courbes rationnelles pour garantir l'existence de suffisamment de courbes hyperelliptiques, sauf pour des cas spéciaux (comme les jacobiennes de courbes hyperelliptiques).

4. Contributions Clés

1. Nouvelle source de relations : Découverte d'une source "inexplorée" de points hyperelliptiques via les sections du pinceau d'Inose, fournissant des relations dans le groupe de Chow qui étaient auparavant inaccessibles.
2. Construction algorithmique : Fourniture d'équations explicites (de Weierstrass) pour ces courbes hyperelliptiques de genre arbitrairement élevé et des morphismes vers $A$.
3. Progression computationnelle : Démonstration pratique que la conjecture de Beilinson peut être vérifiée pour des familles étendues de surfaces abéliennes sur $\mathbb{Q}$ en combinant des courbes de genre élevé et des isogénies.
4. Lien Conjecture de Bogomolov / Beilinson : Mise en évidence que si la conjecture de Bogomolov (chaque point de $K(\mathbb{Q})$ est sur une courbe rationnelle) est vraie, alors la conjecture de Beilinson suit pour $A$ et $K$.

5. Signification

Cet article représente une avancée majeure dans l'étude des zéro-cycles sur les variétés abéliennes sur les corps de nombres.

• Il offre un espoir concret pour la conjecture de Beilinson, en passant d'un cadre purement théorique à une vérification computationnelle pour des classes larges de surfaces.
• Il démontre que l'utilisation de courbes de genre élevé (au-delà du genre 2) est cruciale pour générer suffisamment de relations pour annuler le noyau d'Albanese, même lorsque les méthodes classiques échouent.
• Il établit un pont profond entre la géométrie des surfaces de Kummer (fibrations elliptiques, réseaux de Mordell-Weil) et l'arithmétique des zéro-cycles.

En résumé, Gazaki et Love montrent que la richesse des courbes hyperelliptiques mapping vers les surfaces abéliennes, couplée à la structure des surfaces de Kummer, fournit un mécanisme puissant pour prouver l'annulation du noyau d'Albanese, validant ainsi la conjecture de Beilinson pour de nombreux exemples nouveaux.