The holonomy Lie $\infty$-groupoid of a singular foliation I

En supposant l'existence d'une résolution géométrique, cet article construit un groupoïde de Lie supérieur de dimension finie intégrant un feuilletage singulier via une récursion sur les bi-sous-immersions, dont la 1-troncature redonne le groupoïde d'holonomie d'Androulidakis-Skandalis.

L'essentiel

🌍 Le titre : "L'holonomie d'une forêt brisée"

Imaginez que vous êtes dans une immense forêt (une variété mathématique). Dans une forêt normale, les sentiers sont tous de la même largeur et vous pouvez marcher partout sans problème. C'est ce qu'on appelle une "foliation régulière".

Mais dans ce papier, les auteurs parlent d'une forêt singulière. Ici, c'est le chaos :

• Parfois, les sentiers sont larges et clairs.
• Parfois, ils se rétrécissent en un simple point.
• Parfois, ils disparaissent complètement.
• Parfois, plusieurs sentiers se croisent bizarrement.

C'est ce qu'on appelle une foliation singulière. Le problème, c'est que les outils mathématiques classiques pour décrire ces forêts (les "groupoïdes de Lie") échouent souvent parce que la forêt est trop irrégulière.

🧱 Le défi : Comment cartographier l'infini ?

Les mathématiciens se posent une question simple mais difficile : "Comment construire une carte parfaite de cette forêt bizarre ?"

Historiquement, on a essayé de construire une seule grande carte (un "groupe de Lie"). Mais pour certaines forêts, cette carte devient infiniment grande ou se brise. C'est comme essayer de dessiner la carte d'un pays où les routes changent de dimension toutes les 10 mètres : votre papier ne suffit plus.

🚀 La solution : Construire une "Tour de Lego" (Le 8-groupoïde)

L'idée géniale de ce papier est d'arrêter d'essayer de faire une seule carte plate. Au lieu de cela, les auteurs (Camille Laurent-Gengoux et Ruben Louis) proposent de construire une structure en couches, comme une tour de Lego ou un oignon à plusieurs pelures.

Ils appellent cela un 8-groupoïde de Lie (prononcez "huit-groupoïde"). Ne vous inquiétez pas du chiffre 8 : c'est juste une façon de dire "une structure mathématique très complexe et à plusieurs niveaux".

Voici comment ils y arrivent, étape par étape :

1. Les "Bi-submersions" : Les jumelles magiques

Pour comprendre la forêt, les auteurs utilisent un outil inventé par d'autres mathématiciens (Androulidakis et Skandalis) appelé la bi-submersion.

• L'analogie : Imaginez que vous voulez décrire une ville complexe. Au lieu de la dessiner d'un seul coup, vous prenez deux jumelles.
  • La première jumelle vous montre la ville depuis le nord.
  • La seconde vous la montre depuis le sud.
  • La "bi-submersion" est le pont qui relie ces deux vues. Elle vous dit : "Si vous marchez ici dans la vue du nord, vous arrivez exactement là dans la vue du sud."
• Cela permet de "lisser" les irrégularités de la forêt en la regardant sous plusieurs angles simultanément.

2. La "Tour de Bi-submersions" : Monter les étages

Le papier montre que si la forêt a une certaine structure (ce qu'ils appellent une "résolution géométrique", imaginez un plan d'architecte qui existe), on peut empiler ces jumelles les unes sur les autres.

• Étage 1 (K1) : C'est la carte de base, faite de jumelles.
• Étage 2 (K2) : Pour vérifier que la carte est cohérente, on regarde comment les jumelles s'assemblent entre elles. C'est comme vérifier que les pièces de Lego s'emboîtent parfaitement.
• Étage 3 (K3) et plus : On continue à monter, en vérifiant que les assemblages des étages précédents sont aussi cohérents.

3. Le résultat : Une structure "Para-simpliciale"

Normalement, une structure mathématique parfaite doit respecter des règles strictes (comme un triangle équilatéral parfait). Ici, les auteurs disent : "Nos règles sont un peu plus souples".
Ils appellent cela une structure para-simpliciale.

• L'analogie : Imaginez un château de cartes. Un château parfait doit être symétrique. Mais si vous construisez un château avec des cartes un peu courbées, il tient toujours debout, même si ce n'est pas un carré parfait. C'est un "château para-symétrique".
• Malgré cette souplesse, la structure tient parfaitement et permet de naviguer dans la forêt singulière sans se perdre.

🎯 Pourquoi c'est important ?

Avant ce papier, on ne savait pas toujours comment décrire mathématiquement ces forêts bizarres de manière précise et finie (sans utiliser l'infini).

• La promesse : Les auteurs disent : "Si votre forêt a un plan (une résolution géométrique), nous pouvons construire une carte finie et parfaite pour elle."
• L'outil : Ils utilisent une méthode récursive (on construit l'étage N en se basant sur l'étage N-1) pour créer cette tour de Lego.
• Le gain : Cette tour (le 8-groupoïde) contient toute l'information nécessaire pour comprendre la forêt, même là où les sentiers se brisent ou changent de taille.

🏁 En résumé

Ce papier est une recette de cuisine pour construire une carte universelle de n'importe quelle forêt mathématique compliquée.

1. On ne cherche pas une seule carte plate (trop dur).
2. On utilise des jumelles (bi-submersions) pour voir sous plusieurs angles.
3. On empile ces jumelles en une tour (le 8-groupoïde).
4. Même si la tour n'est pas parfaitement symétrique (c'est une structure "para"), elle est solide et permet de tout comprendre.

C'est une avancée majeure pour les mathématiciens qui étudient la géométrie, la physique théorique et la mécanique quantique, car ces domaines sont remplis de ces "forêts singulières" où les règles habituelles ne s'appliquent plus.

Résumé technique

Voici un résumé technique détaillé de l'article "The holonomy Lie 8-groupoid of a singular foliation I" par Camille Laurent-Gengoux et Ruben Louis, rédigé en français.

1. Contexte et Problématique

L'article s'inscrit dans le domaine de la géométrie différentielle et de la théorie des feuilletages singuliers. Le problème central est la intégration des feuilletages singuliers.

• Définition : Un feuilletage singulier $\mathcal{F}$ sur une variété $M$ est un sous-faisceau de champs de vecteurs, clos sous le crochet de Lie et localement de type fini sur l'anneau des fonctions. Contrairement aux feuilletages réguliers, les feuilles peuvent avoir des dimensions variables.
• Question 0.1 (Problème classique) : Existe-t-il un groupe de Lie $G \to M$ dont l'algèbre de Lie associée (via l'application ancre) induit exactement le feuilletage $\mathcal{F}$ ?
  • La réponse est positive pour les feuilletages réguliers ou les feuilletages de Debord (modules projectifs).
  • La réponse est généralement "non" si le nombre minimal de générateurs locaux n'est pas borné globalement, ou si des obstructions cohomologiques existent.
• Changement de paradigme : Pour contourner ces obstacles, les auteurs adoptent une approche de géométrie supérieure. Au lieu de chercher un groupe de Lie classique, ils cherchent un $\infty$-groupe de Lie (Lie $\infty$-groupoid).
• Question 0.2 : Étant donné un feuilletage singulier $\mathcal{F}$ admettant une résolution géométrique, existe-t-il un $\infty$-groupe de Lie de dimension finie dont la différentiation est un $\infty$-algèbre de Lie universel de $\mathcal{F}$ ?

2. Hypothèses et Outils Théoriques

L'article repose sur plusieurs hypothèses et concepts clés :

• Résolution Géométrique : On suppose que $\mathcal{F}$ admet une résolution géométrique, c'est-à-dire un complexe de fibrés vectoriels ancrés $(E, d, \rho)$ :
  $$\dots \to E_{-2} \xrightarrow{d} E_{-1} \xrightarrow{\rho} TM$$
  tel que la suite des sections est exacte. Cela inclut les feuilletages analytiques réels ou holomorphes.
• $\infty$-Algèbre de Lie Universelle ($U\mathcal{F}$) : D'après des travaux antérieurs (Lavau, Laurent-Gengoux, Strobl), toute résolution géométrique porte une structure d'algèbre de Lie $\infty$ unique à équivalence d'homotopie près. L'objectif est d'intégrer cette structure.
• Bi-submersions : Outil fondamental introduit par Androulidakis et Skandalis (AS09). Une bi-submersion entre deux feuilletages $(M, \mathcal{F}_M)$ et $(N, \mathcal{F}_N)$ est une variété $W$ munie de deux submersions $p, q$ satisfaisant des conditions de compatibilité avec les feuilletages. Elles servent de "cartes locales" pour le groupe d'holonomie.
• Tour de Bi-submersions : Une extension récente (Lou23) montre que l'existence d'une résolution géométrique équivaut à l'existence d'une tour infinie de bi-submersions.

3. Méthodologie et Construction

Les auteurs construisent un objet global, le groupe d'holonomie para-Lie $\infty$, en utilisant une récursion basée sur les bi-submersions.

A. La notion de "Para-simplicialité"

Contrairement à un complexe simplicial classique, l'objet construit ne satisfait pas toutes les relations de dégénérescence ($s_i s_j = s_{j+1} s_i$). Il s'agit d'une structure para-simpliciale.

• Les relations de faces ($d_i d_j = d_{j-1} d_i$) sont satisfaites.
• Les dégénérescences existent mais ne vérifient pas toutes les identités simpliciales.
• Cependant, la condition de Kan (existence de remplissages pour les cornes) est satisfaite, ce qui est crucial pour la structure de $\infty$-groupe.

B. Construction Récursive (Théorème 2.3)

La construction procède par étapes pour définir les niveaux $K_n$ du complexe simplicial $K_\bullet$ :

1. Niveau 0 ($K_0$) : La variété de base $M$.
2. Niveau 1 ($K_1$) : Construction d'une atlas d'holonomie. On utilise la résolution géométrique pour définir des bi-submersions locales (basées sur le fibré $E_{-1}$). On applique un théorème de réduction de dimension (Théorème D.17) pour s'assurer que toutes les composantes connexes de $K_1$ ont la même dimension finie : $\dim(M) + \text{rk}(E_{-1})$.
3. Niveau $n$ ($K_n$) :
   • On considère les espaces de cornes $\Lambda^n_\ell K$ (produits fibrés itérés).
   • On utilise le Théorème D.13 pour construire une relation totale de bi-submersions entre $K_{n-1}$ et les espaces de cornes.
   • On applique à nouveau le Théorème D.17 pour "lisser" la dimension, garantissant que $K_n$ est une variété (non connexe) dont toutes les composantes ont la dimension :
     $$\dim(K_n) = \dim(M) + \sum_{i=1}^n \binom{n}{i} \text{rk}(E_{-i})$$
   • On définit les applications de face $d_i^n$ et de dégénérescence $s_i^n$ via ces relations totales.

C. Propriétés de l'objet construit

L'objet résultant $K_\bullet$ est un para-Lie $\infty$-groupe.

• Son complexe tangent (restreint à $M$) est isomorphe à la résolution géométrique initiale $(E, d, \rho)$.
• Sa différentiation (via le foncteur de différentiation des $\infty$-groupes) redonne l'algèbre de Lie $\infty$ universelle $U\mathcal{F}$.
• Sa 1-truncation (le quotient $K_1 / \sim$) redonne le groupe d'holonomie d'Androulidakis-Skandalis.

4. Résultats Principaux

• Théorème 2.3 : Tout feuilletage singulier admettant une résolution géométrique possède un groupe d'holonomie para-Lie $\infty$ de dimension finie.
• Dimension Finie : Contrairement aux constructions antérieures (comme celles de Širaň et Ševera) qui produisaient des variétés de Banach de dimension infinie, cette construction reste dans le cadre de la géométrie différentielle classique (variétés de dimension finie).
• Unicité à Homotopie : Bien que la construction dépende du choix de la résolution, le résultat final est unique à équivalence d'homotopie près, correspondant à la nature universelle de l'algèbre de Lie $\infty$.
• Cas particuliers :
  • Si le feuilletage est de Debord (résolution de longueur 1), l'objet est un groupe de Lie classique.
  • Si la résolution est de longueur 2, la structure est plus riche mais toujours finie.

5. Signification et Contributions

• Réponse à la Question 0.2 : L'article fournit une réponse affirmative à la question de l'intégration des feuilletages singuliers en termes de $\infty$-groupes de Lie, sous l'hypothèse de l'existence d'une résolution géométrique.
• Nouvelle Approche : L'utilisation systématique des bi-submersions et des tours de bi-submersions permet de construire cet objet global sans recourir à des équations de Maurer-Cartan sur des espaces de dimension infinie.
• Généralisation : La méthode suggère qu'elle pourrait s'appliquer à des algèbres de Lie $\infty$ plus générales dont la partie linéaire ne forme pas nécessairement une résolution géométrique stricte.
• Structure Para-simpliciale : L'article introduit et justifie rigoureusement la notion de structure "para-simpliciale" satisfaisant la condition de Kan, comblant un vide entre les variétés semi-simpliciales et les variétés simpliciales complètes.

Conclusion

Cet article représente une avancée majeure dans la compréhension de la structure globale des feuilletages singuliers. En construisant un objet géométrique fini (le para-Lie $\infty$-groupe) qui intègre l'algèbre de Lie $\infty$ universelle, les auteurs offrent un cadre robuste pour étudier la géométrie des orbites de feuilletages singuliers, généralisant ainsi la théorie des groupes d'holonomie de Lie aux cas singuliers complexes.