Estimation and inference in models with multiple behavioural equilibria

Cet article développe des méthodes d'estimation et d'inférence pour un modèle macroéconomique avec équilibres comportementaux multiples et apprentissage à gain constant, en établissant la consistance et la normalité asymptotique des estimateurs, tout en proposant des procédures d'inférence et des bandes de confiance uniformes, même dans des cas où des solutions d'équilibre se répètent.

L'essentiel

Imaginez que vous essayez de prédire le temps qu'il fera demain. Dans le monde idéal de l'économie classique, tout le monde aurait un satellite parfait et un super-ordinateur pour connaître la météo avec une certitude absolue. C'est ce qu'on appelle les anticipations rationnelles.

Mais dans la réalité, les gens (les agents économiques) ne sont pas des super-ordinateurs. Ils sont un peu comme des jardiniers qui regardent le ciel, se souviennent de la pluie d'hier, et ajustent leur prévision pour demain. C'est ce que les auteurs de cet article, Alexander Mayer et Davide Raggi, appellent l'apprentissage adaptatif.

Voici l'explication de leur travail, traduite en langage simple avec quelques images pour mieux comprendre.

1. Le problème : Le jardin a plusieurs états possibles

Dans leur modèle, les gens essaient de deviner l'inflation (la hausse des prix) en regardant simplement ce qui s'est passé hier. Ils utilisent une règle simple : « Si les prix ont monté hier, ils vont probablement monter un peu plus aujourd'hui ».

Le problème, c'est que cette règle simple peut mener à plusieurs états d'équilibre (plusieurs façons dont le monde peut se stabiliser).

• Imaginez une balle dans un paysage vallonné. Parfois, la balle peut rouler et s'arrêter dans une petite vallée (un équilibre de faible inflation). Parfois, elle peut rouler dans une autre vallée plus profonde (un équilibre d'inflation élevée).
• Selon les conditions initiales (le vent, la pente), la balle peut se stabiliser dans l'un ou l'autre endroit. C'est ce qu'on appelle les équilibres comportementaux multiples.

2. La difficulté : Comment mesurer la balle ?

Jusqu'à présent, les économistes avaient du mal à mesurer ces phénomènes. C'est comme essayer de prendre une photo d'une balle qui bouge très vite dans le brouillard. Les outils mathématiques habituels échouent parce que le système est trop complexe et non linéaire (un petit changement peut avoir un gros effet).

Les auteurs disent : « Attendez, on a besoin de nouvelles lunettes pour voir clairement ! »

3. La solution : Des lunettes mathématiques nouvelles

L'article propose une nouvelle méthode pour estimer ces modèles et faire des prédictions fiables. Voici leurs trois grandes avancées :

A. La preuve que le système ne va pas exploser (Ergodicité géométrique)

Avant de mesurer, il faut être sûr que le système est stable. Les auteurs prouvent mathématiquement que, même si les gens font des erreurs de prévision, le système finit toujours par se calmer dans une zone de stabilité.

• L'analogie : C'est comme prouver que votre voiture, même si vous faites des virages serrés, finira toujours par revenir sur la route principale et ne pas tomber dans le ravin. Cela garantit que nos calculs ont un sens.

B. La méthode de mesure (Estimation par moindres carrés)

Ils utilisent une technique appelée moindres carrés non linéaires.

• L'analogie : Imaginez que vous essayez de trouver la forme exacte d'un objet caché dans le brouillard en lançant des balles de tennis contre lui et en écoutant le bruit du rebond. Les auteurs ont créé un algorithme qui ajuste la forme de l'objet jusqu'à ce que le bruit des rebonds corresponde parfaitement à ce qu'ils observent dans la réalité. Ils prouvent que cette méthode fonctionne et donne les bonnes réponses si on a assez de données.

C. Gérer les cas bizarres (Quand il y a plusieurs vallées)

C'est la partie la plus ingénieuse. Parfois, la balle peut se trouver exactement au sommet d'une colline (un point d'équilibre instable ou répété). Dans ce cas, les règles normales de statistique ne fonctionnent plus.

• L'analogie : Si vous posez une balle exactement au sommet d'une montagne, elle peut tomber à gauche ou à droite avec une probabilité de 50/50. Les auteurs montrent comment construire des zones de confiance (des filets de sécurité) pour dire : « Il y a 95 % de chances que la balle se trouve quelque part entre ici et là, même si on ne sait pas exactement où elle va atterrir ».
• Ils utilisent une technique de « bootstrap » (une sorte de simulation informatique intensive) pour créer ces filets de sécurité, comme si on lançait des milliers de fois la balle dans un simulateur pour voir où elle atterrit le plus souvent.

4. L'application réelle : Le cas des États-Unis

Pour tester leur méthode, ils l'ont appliquée aux données économiques américaines (de 1960 à 2019).

• Le résultat : Ils ont découvert que l'économie américaine semble avoir deux régimes d'inflation possibles :
  1. Un régime où les gens sont très calmes et s'attendent à une inflation faible (les anticipations sont bien ancrées).
  2. Un régime où les gens s'attendent à une inflation plus forte et persistante.
• Cela explique pourquoi, parfois, l'inflation semble difficile à contrôler : l'économie peut basculer d'un régime à l'autre, comme une balle passant d'une vallée à l'autre.

En résumé

Cet article est un guide pratique pour les économistes qui disent : « Ne supposons pas que tout le monde est un génie parfait. Supposons que les gens apprennent de leurs erreurs. »
Ils nous donnent les outils mathématiques pour :

1. S'assurer que le modèle est stable.
2. Estimer les paramètres de cet apprentissage.
3. Comprendre quand l'économie peut basculer entre différents états (comme une inflation calme vs une inflation chaotique).

C'est comme passer d'une carte dessinée à la main (l'ancienne théorie) à un GPS précis (leur nouvelle méthode) pour naviguer dans le brouillard de l'économie mondiale.

Résumé technique

Voici un résumé technique détaillé de l'article "Estimation and inference in models with multiple behavioural equilibria" de Alexander Mayer et Davide Raggi, rédigé en français.

1. Problématique et Contexte

L'article s'attaque à un défi majeur en économétrie macroéconomique : l'estimation et l'inférence dans des modèles comportant plusieurs équilibres comportementaux (behavioral equilibria) sous l'hypothèse d'apprentissage adaptatif.

• Contexte théorique : Contrairement à l'hypothèse des anticipations rationnelles (RE) où les agents connaissent parfaitement la structure du modèle, les auteurs considèrent un cadre où les agents sont "rationnellement bornés". Ils forment leurs anticipations d'inflation en utilisant un modèle auxiliaire mal spécifié (un processus autorégressif AR(1)) et mettent à jour leurs croyances via un algorithme d'apprentissage à gain constant (constant-gain learning).
• Le problème : Dans ce cadre, plusieurs trajectoires d'inflation peuvent coexister comme des points fixes de la loi de mouvement perçue par les agents. La présence de ces équilibres multiples, combinée à la non-linéarité intrinsèque du processus d'apprentissage, rend l'analyse statistique des estimateurs classiques (comme les moindres carrés non linéaires) extrêmement complexe. La littérature existante peinent à fournir des garanties théoriques solides (consistance, distribution asymptotique) pour ces modèles, en particulier lorsque les équilibres ne sont pas uniques ou lorsque certains paramètres ne sont pas identifiés conjointement.

2. Méthodologie

Les auteurs développent une approche rigoureuse en trois étapes principales :

A. Propriétés Probabilistes du Processus (Ergodicité)

Avant toute estimation, il est crucial d'établir que le processus générant les données (DGP) est bien défini et stable.

• Le modèle est formulé comme une chaîne de Markov non linéaire d'état $s_t = (\pi_t, \alpha_t, y_t, \beta_t, r_t)$.
• Les auteurs prouvent que ce système est géométriquement ergodique sous des conditions de régularité modérées (Assomptions A et B).
• Cette ergodicité garantit que la chaîne converge vers une distribution stationnaire unique, indépendamment des conditions initiales, et permet d'appliquer la Loi des Grands Nombres (LLN) et le Théorème Central Limite (CLT) aux moyennes d'échantillon, fondements nécessaires pour l'inférence.

B. Estimation par Moindres Carrés Non Linéaires (NLS)

Les auteurs proposent d'estimer le vecteur de paramètres structurels $\theta = (\gamma, \delta, \psi)'$ (gain d'apprentissage, facteur d'escompte, pente de la courbe de Phillips) en minimisant une fonction objectif de moindres carrés non linéaires.

• Consistance forte : Ils démontrent la consistance forte de l'estimateur NLS ($\hat{\theta}_n \to \theta_0$ presque sûrement) en adaptant des arguments récents (Francq et al., 2024) qui évitent l'évaluation explicite de l'objectif de population, souvent intraitable analytiquement dans ce contexte.
• Normalité Asymptotique : Sous des conditions de moments sur les erreurs (Assomption C), ils établissent la normalité asymptotique de l'estimateur avec une vitesse de convergence standard de $\sqrt{n}$, à condition que les paramètres soient identifiables.
• Cas de non-identification : Ils traitent le cas où le facteur d'escompte $\delta = 0$, rendant le paramètre de gain $\gamma$ non identifié conjointement. Dans ce cas, ils montrent que les autres paramètres structurels conservent une consistance de type $\sqrt{n}$.

C. Inférence sur les Équilibres et Distribution des Racines

Une contribution majeure réside dans l'analyse de la distribution asymptotique des estimateurs des équilibres comportementaux $\beta$, définis comme les racines d'une équation polynomiale $G(\beta; \lambda) = 0$.

• Identification du premier ordre : Lorsque les racines sont simples (multiplicité 1), l'estimateur de l'équilibre converge à la vitesse $\sqrt{n}$ et suit une loi normale.
• Identification du second ordre (Cas critique) : Lorsque deux équilibres coalescent (racine double, multiplicité 2), la situation change radicalement. La dérivée première de la fonction $G$ s'annule à la racine.
  • La vitesse de convergence ralentit à $n^{1/4}$.
  • Le nombre de racines estimé ($r_n$) ne converge pas en probabilité vers le nombre vrai ($r_0=2$) ; il oscille asymptotiquement entre 1 et 3 avec une probabilité de 50/50.
  • Les auteurs dérivent la distribution limite non standard pour ce cas, impliquant des termes en $\sqrt{|Z|}$ où $Z$ est une variable gaussienne.
• Bandes de confiance uniformes : Pour contourner les problèmes liés aux racines multiples, ils proposent des bandes de confiance uniformes pour la fonction $G(\beta)$ elle-même, utilisant un bootstrap multiplicateur gaussien pour obtenir des valeurs critiques valides.

3. Résultats Clés

1. Stabilité du système : Preuve formelle de l'ergodicité géométrique du DGP non linéaire, validant l'utilisation de méthodes statistiques classiques sur des échantillons finis.
2. Propriétés de l'estimateur NLS : Démonstration que l'estimateur NLS est fortement consistant et asymptotiquement normal pour les paramètres structurels, même en présence d'apprentissage à gain constant.
3. Comportement des équilibres multiples :
   • Identification d'un mécanisme d'identification du second ordre pour les équilibres répétés.
   • Mise en évidence d'une convergence plus lente ($n^{1/4}$) et d'une distribution non standard pour les équilibres répétés.
   • Démonstration que l'estimation du nombre d'équilibres est instable dans le cas de racines doubles, mais que la moyenne des racines estimées (lorsqu'elles se séparent) permet de restaurer une convergence plus rapide.
4. Validation empirique et simulation :
   • Les simulations de Monte Carlo confirment que les propriétés théoriques (consistance, couverture des intervalles de confiance) se maintiennent en échantillons finis.
   • L'application aux données américaines (inflation, 1960-2019) révèle l'existence de régimes d'anticipations multiples (faible et forte persistance) selon la mesure du "slack" économique utilisée (écart de production vs coûts unitaires du travail).

4. Contributions et Signification

• Contribution Théorique : Ce papier comble un vide important dans la littérature économétrique sur l'apprentissage adaptatif. Il fournit les premières preuves rigoureuses de consistance et de normalité pour les modèles NKPC (New Keynesian Phillips Curve) avec apprentissage à gain constant et équilibres multiples.
• Innovation Méthodologique :
  • Développement d'une stratégie générale pour établir l'ergodicité dans des modèles d'état non linéaires complexes.
  • Traitement élégant des cas d'identification du second ordre, un problème fréquent dans les modèles d'équilibre général mais rarement traité en économétrie des séries temporelles.
  • Proposition de procédures d'inférence robustes (bandes uniformes, bootstrap) capables de gérer l'instabilité du nombre de racines.
• Signification Économique :
  • L'article offre un outil pratique pour les économistes souhaitant estimer des modèles d'apprentissage sans supposer a priori un nombre unique d'équilibres.
  • Il suggère que les données macroéconomiques peuvent contenir des régimes d'anticipations multiples (ancrage faible vs fort), ce qui a des implications directes pour la politique monétaire et la stabilité des prix.
  • Il valide l'approche "behavioral" où les agents utilisent des modèles simples et mis-specifiés, offrant une alternative réaliste aux hypothèses d'anticipations rationnelles parfaites.

En résumé, Mayer et Raggi réussissent à transformer un cadre théorique complexe et non linéaire en un outil économétrique opérationnel, fournissant les fondements statistiques nécessaires pour tester et estimer des modèles macroéconomiques avec apprentissage adaptatif et équilibres multiples.