Revisiting colimits in $\mathbf{Cat}$ and homotopy category

Ce papier justifie et formalise une approche élémentaire pour établir l'existence des (co)limites dans $\mathbf{Cat}$ en démontrant l'équivalence entre le foncteur de catégorie homotopique et des colimites pondérées spécifiques, permettant ainsi de prouver la complétude de $\mathbf{Cat}$ et de reformuler la construction des coégaliseurs et des localisations.

L'essentiel

Le Grand Jeu des Catégories : Comment assembler des mondes mathématiques

Imaginez que le monde des mathématiques est rempli de catégories. Une catégorie, c'est un peu comme un univers miniature : il contient des objets (des points) et des flèches (des chemins) qui les relient, avec des règles strictes sur comment on peut combiner ces chemins.

Le problème que pose l'auteur, Varinderjit Mann, est le suivant : Comment construire de nouveaux univers à partir d'anciens ? En mathématiques, on appelle cela prendre des "limites" et des "colimites". C'est comme dire : "Je veux fusionner deux univers, ou en créer un nouveau qui respecte toutes les règles des anciens."

Le papier explique comment faire cela de manière élégante, sans se perdre dans des calculs compliqués, en utilisant une astuce magique : transformer les catégories en "squelettes" de formes géométriques.

1. Le Problème : Construire sans se casser la tête

Jusqu'à présent, prouver qu'on pouvait toujours construire ces nouveaux univers (les "colimites") demandait des preuves très lourdes et techniques, un peu comme essayer de construire une maison en calculant chaque brique individuellement avec des formules de physique nucléaire. C'est possible, mais c'est long et difficile à comprendre.

L'auteur dit : "Attendez, il y a une façon plus simple !".

2. L'Analogie : Les LEGO et les Squelettes

Pour simplifier, l'auteur utilise deux outils principaux :

• Le Nerve (N) : Imaginez que vous prenez un univers complexe (une catégorie) et que vous le transformez en un squelette de LEGO (ce qu'on appelle un ensemble simplicial). C'est une représentation plate, faite de triangles, de carrés et de lignes. C'est facile à manipuler car on sait exactement comment assembler des LEGO.
• La Réalisation (h) : C'est l'inverse. C'est le processus qui prend votre structure de LEGO et la "gonfle" pour redevenir un univers mathématique complet.

Le génie du papier réside dans le fait que l'auteur montre que si vous savez assembler les LEGO (ce qui est facile), alors vous savez automatiquement reconstruire l'univers mathématique complet.

3. La Méthode : Ne pas tout reconstruire d'un coup

L'astuce principale est de ne pas essayer de construire l'univers entier d'un coup. L'auteur dit : "Regardez, la plupart des règles de ces univers ne dépendent que des triangles et des carrés (dimensions 1 et 2)."

C'est comme si vous vouliez construire un château fort. Au lieu de calculer la structure de chaque pierre du toit, vous vous dites : "Je vais juste m'assurer que les fondations (dimension 0), les murs (dimension 1) et les toits (dimension 2) sont solides. Le reste suivra tout seul."

L'auteur montre que pour assembler n'importe quel univers, il suffit de :

1. Prendre les points (les objets).
2. Ajouter les flèches (les morphismes) librement.
3. Ajouter les triangles pour dire "si je fais A puis B, c'est pareil que de faire C".

Une fois ces trois étapes faites, le reste de l'univers se construit tout seul, comme un château de cartes qui s'élève automatiquement.

4. Pourquoi c'est important ? (Les Applications)

Une fois qu'on a cette méthode simple, on peut résoudre des problèmes difficiles très facilement :

• Les Égaliseurs (Coequalizers) : C'est comme dire "Je veux fusionner deux chemins qui partent du même point et arrivent au même point". L'auteur montre comment faire cela en utilisant nos LEGO : on prend les deux chemins, on les colle ensemble, et on dit "ceci est égal à cela".
• La Localisation : Imaginez que vous avez un univers où certaines flèches sont bloquées. La "localisation", c'est comme donner un super-pouvoir à certaines flèches pour qu'elles puissent faire demi-tour (devenir inversibles). L'auteur montre comment construire cet univers "magique" où tout le monde peut revenir en arrière, simplement en ajoutant des flèches inverses dans notre structure de LEGO.

5. En Résumé

Ce papier est une boîte à outils pour les mathématiciens.

• Avant : Pour assembler des univers, il fallait utiliser des formules complexes et obscures.
• Maintenant : L'auteur nous dit : "Transformez d'abord vos univers en formes géométriques simples (LEGO), assemblez-les, puis retransformez-les en univers."

C'est une approche plus intuitive et directe. Elle prouve que l'univers des catégories est aussi robuste et complet qu'on le pensait, mais qu'on peut y accéder par une porte dérobée beaucoup plus facile à ouvrir.

En une phrase : L'auteur a trouvé le mode d'emploi pour construire n'importe quel monde mathématique en utilisant la logique simple des formes géométriques, évitant ainsi des calculs interminables.

Résumé technique

Voici un résumé technique détaillé du papier « Revisiting colimits in Cat and homotopy category » de Varinderjit Mann, rédigé en français.

1. Problématique et Motivation

Le papier aborde un problème fondamental en théorie des catégories : la preuve de la cocomplétude (existence de toutes les colimites) de la catégorie Cat (catégorie des petites catégories). Bien que ce résultat soit bien établi dans la littérature, les preuves existantes souffrent de deux défauts majeurs selon l'auteur :

1. Approches trop générales et inefficaces : Certaines preuves (comme celles basées sur la monadicité de la catégorie des graphes) s'appuient sur des cadres généraux pour les catégories enrichies ($V$-Cat), ce qui masque les structures spécifiques et riches de l'ensemble des ensembles ($Set$) et rend la preuve moins directe pour le cas de $Cat$.
2. Complexité constructive : D'autres approches élémentaires (comme celles utilisant les congruences généralisées) sont conceptuellement simples mais reposent sur des constructions de coégaliseurs extrêmement complexes et intriquées.

De plus, l'auteur note une lacune dans la littérature : l'existence de l'adjoint à gauche de la foncteur nerf $N : Cat \to sSet$ (la réalisation homotopique $h$) est souvent supposée ou déduite de la cocomplétude de $Cat$, créant un raisonnement circulaire. Il n'existe pas, selon l'auteur, de preuve directe et autonome de l'existence de cette adjonction sans présupposer la cocomplétude.

Objectif : Fournir une preuve directe, élémentaire et non circulaire de la cocomplétude de $Cat$ en établissant l'existence de l'adjonction $h \dashv N$ via une construction explicite de certaines colimites pondérées.

2. Méthodologie

L'approche de l'auteur repose sur l'interaction entre les catégories, les ensembles simpliciaux ($sSet$) et les colimites pondérées (weighted colimits). La stratégie se décompose en plusieurs étapes clés :

• Réduction à une classe restreinte de colimites : Au lieu de construire toutes les colimites arbitraires, l'auteur démontre que la cocomplétude de $Cat$ équivaut à l'existence d'une classe spécifique de colimites pondérées de la forme $X \star [-]$, où $X$ est un ensemble simplicial et $[-] : \Delta \to Cat$ est l'inclusion du catégorie des simplexes dans $Cat$.
• Utilisation de la filtration squelettique : L'auteur exploite le fait que tout ensemble simplicial $X$ admet une filtration par ses sous-ensembles $n$-squelettiques ($sk_n X$). Il montre que l'existence de la colimite pondérée $X \star [-]$ dépend uniquement de l'existence de $sk_2 X \star [-]$. Cela réduit le problème à la dimension 2.
• Construction explicite via pushouts : La preuve de l'existence de $sk_2 X \star [-]$ est réalisée en décomposant la construction en deux pushouts (sommets de carrés) explicites dans $Cat$ :
  1. Un premier pushout pour construire la catégorie libre $F_X$ générée par les 1-simplices non dégénérés de $X$ (sur les objets de $X$).
  2. Un second pushout pour quotienter $F_X$ par les relations imposées par les 2-simplices non dégénérés de $X$, obtenant ainsi la catégorie homotopique $h_X$.
• Propriété de 2-cosquelettité du nerf : L'auteur utilise le fait que le foncteur nerf $N$ est 2-cosquelettique (les ensembles simpliciaux de la forme $N(C)$ sont déterminés par leurs 2-squelettes). Cela permet de montrer que l'existence de l'adjoint à gauche $h$ est équivalente à l'existence des colimites pondérées pour les ensembles 2-squelettiques.

3. Résultats Clés et Contributions

Les principaux résultats théoriques établis dans le papier sont les suivants :

• Équivalence Fondamentale (Proposition 3.1.11) : La catégorie $Cat$ est cocomplète si et seulement si, pour tout ensemble simplicial $X \in sSet$, la colimite pondérée $X \star [-]$ existe.
• Existence de l'Adjoint à Gauche (Théorème 4.1.5) : Pour tout $X \in sSet$, la colimite pondérée $X \star [-]$ existe. Elle est isomorphe à une catégorie construite explicitement, notée $h_X$, obtenue par une suite de pushouts.
• Construction de l'Adjonction $h \dashv N$ : L'existence de ces colimites implique l'existence du foncteur de réalisation homotopique $h : sSet \to Cat$, qui est l'adjoint à gauche du foncteur nerf $N$.
• Cocomplétude et Complétude de Cat (Corollaire 4.1.7) : Puisque $N$ est un plongement réflexif (grâce à l'existence de $h$), la catégorie $Cat$ est à la fois complète et cocomplète. Les limites et colimites dans $Cat$ peuvent être calculées via la formule :
  $$\text{colim } F \cong h(\text{colim } (N \circ F))$$
• Description Explicite des Coégaliseurs (Lemme 5.2.4) : Le papier fournit une description constructive des coégaliseurs dans $Cat$ en utilisant l'adjonction. Au lieu de manipuler des congruences complexes, le coégaliseur de deux foncteurs $F, G$ est obtenu en calculant le coégaliseur dans $sSet$ (niveau par niveau) puis en appliquant le foncteur $h$. Cela évite les difficultés techniques des preuves classiques.
• Localisation (Section 5.3) : L'approche est réutilisée pour reformuler la construction de la localisation d'une catégorie (inversion des morphismes). La localisation totale $L(C)$ est décrite comme le foncteur $h$ appliqué à un pushout dans $sSet$, offrant une description claire des morphismes sous forme de « zig-zags ».

4. Signification et Implications

Ce travail apporte plusieurs contributions significatives à la théorie des catégories :

1. Rigueur et Non-Circularité : Il résout le problème de circularité souvent présent dans les preuves de la cocomplétude de $Cat$ en démontrant l'existence de l'adjoint $h$ sans présupposer la cocomplétude.
2. Simplicité Conceptuelle : En se concentrant sur les colimites pondérées et la filtration 2-squelettique, l'auteur contourne la complexité des constructions de coégaliseurs généraux. La preuve devient plus accessible et plus proche de l'intuition géométrique des ensembles simpliciaux.
3. Outils Calculatoires : La méthode fournit des formules explicites pour calculer les limites et colimites dans $Cat$ en les ramenant à des calculs dans $sSet$ (où les colimites sont simples, calculées point par point) suivis d'une application du foncteur $h$.
4. Généralisation et Limites : L'auteur note que cette méthode est spécifique à $Cat$ et $Set$ en raison de la structure canonique de la catégorie des simplexes $\Delta$. Elle ne se généralise pas immédiatement aux catégories enrichies ($V$-Cat) car ces dernières n'ont pas de catégorie de simplexes aussi bien comportée. Cela met en lumière l'importance des structures supplémentaires de $Set$.

En résumé, ce papier offre une refondation élégante et constructive de la théorie des limites et colimites dans $Cat$, reliant profondément la théorie des catégories à la topologie algébrique via les ensembles simpliciaux, tout en fournissant des outils pratiques pour le calcul de structures catégorielles complexes.