A Dynamic Equilibrium Model for Automated Market Makers

Cet article propose un modèle d'équilibre dynamique pour les créateurs de marché automatisés (AMM) qui, en intégrant l'asymétrie intrinsèque de l'impact des prix et l'hétérogénéité des agents, explique comment les interactions stratégiques entre arbitrageurs et fournisseurs de liquidité déterminent une provision de liquidité optimale non monotone et en forme de cloche en fonction de la volatilité.

L'essentiel

Imaginez que vous êtes le propriétaire d'un marché flottant (une piscine de liquidité) au milieu d'un océan financier. C'est ce qu'on appelle un Automated Market Maker (AMM) dans le monde de la crypto. Vous, les fournisseurs de liquidité (LP), déposez deux types de pièces dans votre piscine pour permettre aux gens d'échanger entre elles. En échange, vous touchez une petite commission sur chaque transaction.

Le problème ? L'océan est rempli de deux types de visiteurs :

1. Les "Savants" (Arbitrageurs) : Ils ont des lunettes de vision nocturne et des bateaux ultra-rapides. Ils repèrent immédiatement si votre prix est un peu différent de celui du grand marché extérieur (les bourses centralisées). Ils viennent, achètent ou vendent pour corriger le prix, et emportent le profit.
2. Les "Promeneurs" (Traders bruyants) : Ils viennent juste pour acheter un souvenir, payer un café ou parier sur un coup de chance. Ils ne regardent pas les prix, ils ont juste besoin de faire un échange.

Ce papier de recherche pose une question simple mais cruciale : Pourquoi continue-t-on à remplir ces piscines si les "Savants" semblent toujours gagner de l'argent à nos dépens ?

Voici l'explication de la découverte des auteurs, racontée comme une histoire :

1. Le Piège du "Miroir Déformant" (L'Asymétrie)

Les auteurs ont d'abord découvert que votre piscine a une propriété étrange, comme un miroir déformant.

• Acheter dans votre piscine est plus "difficile" et coûteux que de vendre.
• Imaginez que votre piscine est un toboggan. Glisser vers le bas (vendre) est facile et rapide. Mais remonter le toboggan (acheter) demande beaucoup plus d'effort et vous glissez moins loin.
• La conséquence : Même si le prix extérieur ne bouge pas, les "Savants" peuvent faire des profits en vendant dans votre piscine, mais ils ont du mal à acheter. Cela crée un déséquilibre naturel.

2. Le Modèle "Pessimiste" (Pourquoi tout s'effondre)

Les auteurs ont d'abord imaginé un scénario où seuls les "Savants" fréquentent votre marché.

• Dans ce cas, les Savants ne viennent que quand ils peuvent vous voler de l'argent (en achetant bas et vendant haut par rapport au vrai prix).
• Les commissions que vous touchez sont trop faibles pour compenser les pertes causées par ces vols.
• Résultat : Personne ne voudrait remplir la piscine. C'est un équilibre désastreux où la liquidité disparaît.

3. La Réalité : Le Chaos et la Course (La Preuve Empirique)

En regardant les données réelles (les transactions sur la blockchain), les auteurs ont vu quelque chose de surprenant :

• La majorité des transactions sont non rentables pour ceux qui les font !
• Pourquoi ? Parce qu'il y a une course effrénée.
• Imaginez un concours de vitesse : 100 "Savants" voient une opportunité de profit. Ils lancent tous leur bateau en même temps.
  • Le premier arrivé gagne le gros lot.
  • Les 99 autres arrivent juste après, mais le prix a déjà changé. Ils ont payé des frais de navigation (les "frais de gaz") pour rien, et ils perdent de l'argent.
• Ces 99 perdants sont enregistrés comme des "trades non rentables". Ils ressemblent à des "Promeneurs" perdants, mais en réalité, ce sont des "Savants" qui ont perdu la course.

4. Le Modèle "Optimiste" (L'Équilibre Hump-Shaped)

C'est ici que le papier devient brillant. Les auteurs ajoutent ces éléments réalistes à leur modèle :

1. Les vrais Promeneurs : Il y a aussi de vraies personnes qui ont besoin d'échanger pour des raisons personnelles (pas pour le profit). Elles paient des frais sans essayer de vous voler.
2. La Course des Savants : Les perdants de la course (les 99 Savants) génèrent aussi des frais, car ils ont quand même exécuté une transaction.
3. Le Coût de la Tempête (Volatilité) : Quand l'océan est calme, il y a peu de courses, mais aussi peu de promeneurs. Quand l'océan est très agité (forte volatilité), les courses deviennent folles, les frais de navigation (gaz) explosent, et les pertes sont énormes.

La Découverte Majeure : La Courbe en "Bosses"
Les auteurs montrent que la quantité de liquidité que vous devriez fournir dépend de la "tempête" (la volatilité) d'une manière contre-intuitive :

• Quand c'est calme : Pas assez d'activité pour justifier le risque. Vous mettez peu de liquidité.
• Quand c'est moyennement agité (Le pic de la bosse) : C'est le moment idéal ! Il y a assez de "Promeneurs" et de "Savants perdants" pour générer beaucoup de frais, mais pas assez de tempête pour vous ruiner. Vous fournissez le maximum de liquidité ici.
• Quand c'est une tempête déchaînée : Les pertes potentielles sont trop grandes, et les frais de navigation sont prohibitifs. Même les "Savants" arrêtent de jouer. Vous retirez votre liquidité.

En Résumé

Ce papier nous dit que les marchés crypto ne sont pas juste des jeux de hasard. C'est un écosystème complexe où :

• La structure mathématique des échanges crée des désavantages naturels (asymétrie).
• La concurrence féroce entre les experts crée une "bruit" (des pertes) qui, paradoxalement, nourrit le marché.
• Le secret pour réussir en tant que fournisseur de liquidité, c'est de trouver le juste milieu : ni trop calme, ni trop chaotique. C'est là que l'argent se trouve.

C'est comme si vous ouvriez un café : si personne ne vient, vous fermez. S'il y a une émeute dehors, vous fermez aussi. Mais s'il y a une foule animée et un peu de bruit, c'est là que vous faites le plus de bénéfices.

Résumé technique

1. Problématique et Contexte

Les Teneurs de Marché Automatisés (AMM), et en particulier ceux basés sur la fonction constante (CFMM) comme Uniswap V2, constituent l'infrastructure centrale de la finance décentralisée (DeFi). Malgré un volume de transaction colossal (plusieurs milliards de dollars quotidiens), les fondements économiques de la fourniture de liquidité par les fournisseurs de liquidité (LP) restent mal compris.

Le paradoxe central est le suivant :

• Les LPs absorbent passivement tous les flux d'ordres et subissent des pertes d'opportunité (impermanent loss) et une sélection adverse de la part des arbitragistes informés qui corrigent les prix par rapport aux marchés centralisés (CEX).
• Pourtant, la liquidité est fournie à grande échelle et persiste même dans des régimes de marché volatils.

La question ouverte est de savoir pourquoi les LPs fournissent de la liquidité et comment cet équilibre peut être soutenu, alors que les modèles théoriques existants suggèrent souvent que la fourniture de liquidité face à des arbitragistes informés est strictement dominée par la détention directe des actifs.

2. Méthodologie

Les auteurs adoptent une approche hybride combinant modélisation théorique rigoureuse et validation empirique sur des données de la chaîne (on-chain).

A. Modèle de Base (Baseline Model)

• Cadre : Un modèle d'équilibre dynamique en temps continu avec un CFMM à produit constant ($x \cdot y = k$).
• Acteurs :
  • Des arbitragistes informés profit-maximiseurs qui arbitrent l'écart entre le prix de l'AMM et un prix de référence exogène (CEX).
  • Des Fournisseurs de Liquidité (LP) qui allouent leur richesse entre la détention directe et la fourniture de liquidité.
• Hypothèses : Pas de traders bruyants (noise traders) dans le modèle de base, frais de transaction proportionnels, et dynamique de prix suivant un mouvement brownien géométrique (GBM).
• Analyse : Résolution des problèmes d'optimisation des arbitragistes et des LPs pour caractériser l'équilibre.

B. Validation Empirique

• Données : Utilisation de données transactionnelles de niveau transaction (swap) provenant de pools Uniswap et Binance-AMM, couplées à des données de prix haute fréquence des CEX (Binance, Bybit, etc.).
• Méthode : Classification des transactions en profitables et non profitables (ex-post) en comparant le prix d'exécution sur la chaîne au prix du CEX ajusté des frais.
• Objectif : Vérifier les prédictions du modèle de base (asymétrie d'achat/vente) et identifier les écarts nécessitant une extension du modèle.

C. Modèle Étendu (Extended Model)

Motivé par les données, le modèle est enrichi pour inclure :

1. Volatilité stochastique (processus de type CIR/Heston).
2. Frais de gaz endogènes : Fonction de la congestion, elle-même liée à la volatilité.
3. Hétérogénéité des agents :
   • Traders bruyants réels (besoins idiosyncrasiques).
   • Arbitragistes « dépassés » (Overrun Arbitrageurs) : Des arbitragistes qui tentent d'exploiter une opportunité mais dont la transaction est exécutée après celle d'un concurrent plus rapide, rendant leur trade ex-post non profitable.

3. Contributions Clés et Résultats

1. Asymétrie Intrinsèque d'Achat-Vente (Buy-Sell Asymmetry)

• Théorie : Le papier démontre mathématiquement que la géométrie des CFMM à produit constant crée une asymétrie structurelle dans l'impact des prix. Pour un même volume de transaction, l'achat induit un glissement (slippage) plus important que la vente.
• Preuve Empirique : L'analyse des données confirme cette prédiction. Dans des régimes de prix stables, les ventes (ex: ETH vers USDT) sont plus souvent rentables que les achats, car les achats nécessitent des écarts de prix plus importants pour couvrir le glissement et les frais.

2. Le Paradoxe de la Liquidité dans le Modèle de Base

• Résultat Théorique : Dans un environnement où seuls des arbitragistes informés opèrent, la fourniture de liquidité est strictement dominée. Les pertes dues à la sélection adverse (corrections de prix par les arbitragistes) ne sont jamais compensées par les frais de transaction.
• Équilibre Dégénéré : L'équilibre optimal pour un LP est de fournir une liquidité minimale (voire nulle). Cela contredit la réalité observée où la liquidité est abondante.

3. Hétérogénéité des Traders et « Courses à l'Arbitrage »

• Observation Empirique : La majorité des transactions (en nombre) sont non profitables ex-post, mais elles sont de petite taille. Les transactions rentables sont rares mais de grande taille.
• Mécanisme : Les auteurs identifient que les transactions non profitables ne sont pas uniquement du « bruit » exogène, mais résultent souvent de courses à l'arbitrage (arbitrage races). Lorsque la volatilité augmente, de nombreux arbitragistes tentent d'exploiter un écart de prix. Seuls les premiers gagnent ; les autres (« overrun arbitrageurs ») exécutent sur un état de pool déjà corrigé, subissant une perte.
• Rôle des Frais de Gaz : Les frais de gaz sont endogènes et augmentent avec la volatilité, créant une barrière à l'entrée qui module l'intensité de ces courses.

4. Équilibre Intérieur et Relation en Forme de Cloche (Hump-Shaped)

• Résultat Principal du Modèle Étendu : En intégrant les traders bruyants réels (qui génèrent des frais sans subir de sélection adverse) et les arbitragistes dépassés, le modèle retrouve un équilibre intérieur où la fourniture de liquidité est positive.
• Relation Volatilité-Liquidité : La liquidité optimale fournie par les LPs présente une relation non monotone (en forme de cloche) avec la volatilité :
  • Faible volatilité : La liquidité est modérée car les opportunités de frais sont rares.
  • Volatilité intermédiaire : La liquidité atteint un maximum. L'augmentation de la volatilité stimule les courses d'arbitrage (générant des frais via les traders dépassés) et l'activité des traders bruyants, compensant le risque de perte impermanente.
  • Forte volatilité : La liquidité diminue. Les coûts de gaz convexes et les sauts de prix trop importants rendent le risque de perte impermanente trop élevé par rapport aux gains en frais.

4. Signification et Implications

Ce papier apporte une avancée majeure dans la compréhension économique des AMM :

1. Réconciliation Théorie-Pratique : Il résout le paradoxe de la liquidité persistante en montrant que les transactions « non profitables » ne sont pas un échec du marché, mais un mécanisme endogène nécessaire (via les courses d'arbitrage) pour générer des revenus aux LPs.
2. Micro-fondation des Frictions : L'intégration des frais de gaz comme variable endogène liée à la volatilité offre une vision plus réaliste des coûts de transaction dans la DeFi.
3. Comportement des LPs : Il démontre que les LPs ne sont pas de simples victimes passives de l'adverse selection, mais des acteurs qui optimisent dynamiquement leur exposition en fonction de la structure des flux (bruit vs arbitrage) et de la volatilité.
4. Perspectives : Le modèle fournit un cadre pour analyser de futures conceptions d'AMM (liquidité concentrée, frais dynamiques) et suggère que la stabilité de la liquidité dépend d'un équilibre délicat entre la volatilité du marché et les frictions de transaction.

En résumé, les auteurs établissent que la liquidité dans les AMM est soutenue par un équilibre dynamique complexe où la compétition entre arbitragistes, les frictions de gaz et l'activité des traders bruyants interagissent pour créer un environnement viable, même en présence d'agents informés.