Varying risk exposure in auto insurance: a weighted tweedie framework for experience rating an cancellation penalties

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🚗 Le Paradoxe de l'Assurance Auto : Pourquoi ceux qui partent en cours de route coûtent plus cher ?

Imaginez que vous louez une voiture pour un an. Si vous la rendez après 6 mois, le loueur vous rembourse la moitié du prix, n'est-ce pas ? C'est la logique habituelle : plus vous utilisez le service, moins vous payez.

Mais dans le monde de l'assurance auto, les chercheurs (Jean-Philippe, Raïssa et Julien) ont découvert quelque chose de surprenant en regardant les données d'un assureur canadien : ce n'est pas si simple.

1. La Révélation : Les "fugueurs" sont plus dangereux

Les auteurs ont observé deux types de conducteurs :

Les fidèles (XX) : Ceux qui gardent leur assurance toute l'année.
Les fugueurs (XO) : Ceux qui annulent leur contrat en cours d'année (parce qu'ils ont vendu la voiture, changé d'assurance, ou... parce qu'ils ont eu un gros accident).

Le constat choc : Les "fugueurs" ne sont pas juste des gens qui partent. Ils sont statistiquement plus dangereux ! Ils ont plus d'accidents et des accidents plus graves.

L'analogie : Imaginez un restaurant où les clients qui commandent un plat et partent avant de payer (ou qui annulent leur réservation juste après avoir mangé) sont en réalité ceux qui ont le plus de chance d'avoir fait une crise de colère en cuisine. Le simple fait qu'ils partent en cours de route est un signal d'alarme.

2. Le Problème de la "Règle du Proportionnel"

Actuellement, les assureurs calculent les prix comme une règle mathématique simple :

"Si vous restez 6 mois, vous payez 50 % du prix annuel."

Les chercheurs disent : "Non, c'est faux !"
Puisque les gens qui partent en cours de route sont plus risqués, les faire payer seulement 50 % du prix, c'est comme vendre un billet de train à moitié prix à quelqu'un qui a déjà cassé le wagon. L'assureur perd de l'argent, et les clients fidèles (qui ne partent pas) subventionnent les clients risqués.

3. La Solution : Le "Péage de Départ" (La Pénalité)

Pour corriger cela, les auteurs proposent un nouveau modèle mathématique (basé sur une distribution statistique appelée "Tweedie", mais oublions le nom compliqué).

Ils suggèrent d'ajouter une pénalité d'annulation intelligente.

L'idée : Si vous annulez votre contrat au bout de 3 mois, vous ne payez pas seulement pour 3 mois. Vous payez pour 3 mois + une petite "surcharge" parce que votre départ prématuré indique un risque élevé.
L'analogie du Club de Sport : Imaginez une salle de sport. Si vous vous inscrivez pour un an mais que vous arrêtez après 2 semaines, le club ne vous rembourse pas tout. Il vous facture une partie du coût administratif et du risque que vous étiez un "mauvais client". Ici, l'assureur fait la même chose : il facture un "péage" aux gens qui partent trop tôt.

4. Comment ça marche en pratique ? (Le Modèle Flexible)

Au lieu d'une ligne droite (100% pour 12 mois, 50% pour 6 mois), ils utilisent une courbe flexible.

Cette courbe monte plus vite au début.
Elle permet à l'assureur de récupérer une partie des coûts des gros accidents (comme le vol d'une voiture ou une perte totale) via cette pénalité de départ, au lieu de les payer de sa poche.

Le résultat magique :

Pour l'assureur : Il perd moins d'argent car il récupère une partie des coûts des accidents graves via les pénalités de départ.
Pour le client fidèle : Comme l'assureur gagne plus d'argent sur les "fugueurs", il peut baisser le prix de l'assurance annuelle pour tout le monde. C'est un avantage concurrentiel : "Payez moins cher si vous restez jusqu'au bout !"

5. Les Règles du Jeu (Pour ne pas être injuste)

Bien sûr, on ne peut pas inventer des règles n'importe comment. Les chercheurs ont imposé deux règles d'or :

La pénalité ne peut pas être négative : On ne rembourse pas plus que ce qu'on a payé.
La logique du temps : Plus on reste longtemps, moins on a de pénalité. On ne peut pas pénaliser quelqu'un qui reste 11 mois plus qu'un quelqu'un qui reste 1 mois.

Ils ont aussi ajouté un "bouton de lissage" (un paramètre a). L'assureur peut choisir d'être très strict (pénalité forte) ou plus doux, selon sa stratégie commerciale.

En résumé

Ce papier dit aux assureurs : "Arrêtez de traiter tous les contrats de la même façon."

Ceux qui annulent leur assurance en cours d'année sont souvent des clients à haut risque. Au lieu de les laisser partir avec un remboursement trop généreux, il faut leur appliquer une pénalité intelligente. Cela permet de :

Rendre le système plus juste (les bons conducteurs paient moins).
Protéger l'assureur contre les gros risques cachés.
Offrir des prix plus bas aux clients fidèles, ce qui est un excellent argument de vente.

C'est comme si, au lieu de dire "Vous avez loué la voiture 6 mois, voici votre remboursement", on disait : "Vous avez loué la voiture 6 mois, mais comme vous l'avez rendue avant la fin, vous avez payé un supplément pour le risque que vous avez pris, et c'est pour ça que les autres conducteurs paient moins cher."

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1. Problématique et Contexte

Le secteur de l'assurance automobile fonctionne généralement sur des contrats d'un an. Bien que la plupart des modifications surviennent lors du renouvellement, les annulations en cours de période (mid-term cancellations) sont fréquentes en Amérique du Nord. Ces annulations surviennent pour diverses raisons : vente du véhicule, remplacement suite à une perte totale, ou changement d'assureur.

Le problème central identifié par les auteurs est le suivant :

Hétérogénéité du risque : Les données empiriques montrent que les assurés qui annulent leur contrat en cours d'année (groupe XO) présentent une fréquence et une sévérité de sinistres nettement plus élevées que ceux qui maintiennent leur couverture jusqu'à l'échéance (groupe XX).
Limites des modèles traditionnels : La tarification actuarielle standard suppose une proportionnalité linéaire entre la prime et l'exposition au risque ( $t$ ). La prime attendue est modélisée comme $\mu = t \times \exp(x^\top \beta)$ . Cette hypothèse sous-estime souvent les pertes attendues pour les contrats de courte durée et ne capture pas la dynamique comportementale (le fait que l'annulation elle-même est un signal de risque).
Absence de pénalité structurelle : Les modèles actuels ne permettent pas d'intégrer facilement une pénalité d'annulation qui reflète le risque réel encouru ou qui permet à l'assureur de récupérer une partie du coût des sinistres majeurs ayant conduit à l'annulation.

2. Méthodologie Proposée

Les auteurs proposent une nouvelle famille de modèles de tarification basés sur la distribution de Tweedie, en introduisant une flexibilité dans la fonction d'exposition et des structures de pondération adaptées.

A. Modélisation de l'Exposition Flexible

Au lieu de la relation linéaire traditionnelle, le modèle propose une fonction d'exposition flexible $\gamma(t)$ :
$\mu = \gamma(t) \exp(x^\top \beta)$
où $\gamma(t)$ est une fonction lisse (estimée via des Splines dans le cadre des Modèles Additifs Généralisés - GAM) qui capture la relation non-linéaire entre la durée du contrat et le coût des sinistres.

B. Structures de Pondération (Weighting Schemes)

Trois spécifications pour le paramètre de poids $w$ de la distribution de Tweedie sont comparées :

CWM (Constant-Weight Model) : $w = 1$ . Généralisation de l'approche "offset".
GWM (Gamma-Weight Model) : $w = (\gamma(t)/\gamma(1))^{p-1}$ . Généralisation de l'approche "ratio", où le poids dépend de l'estimation de la fonction d'exposition.
EWM (Exposure-Weighted Model) : $w = t^{p-1}$ . Garde la pondération classique basée sur le temps mais applique la fonction d'exposition flexible $\gamma(t)$ dans la moyenne.

C. Contraintes de Tarification et Pénalités

Pour rendre le modèle opérationnel, les auteurs imposent des contraintes sur la fonction de pénalité de cancellation $\rho(t)$ , définie comme la différence entre la prime flexible et la prime proportionnelle :
$\rho(t) = \pi_{Flex}(\gamma(t) - t)$
Deux contraintes sont appliquées :

(C1) Monotonie : La prime acquise doit augmenter avec le temps ( $\gamma(t)$ est croissante).
(C2) Non-négativité : La pénalité doit être positive ( $\gamma(t) \ge t$ ), garantissant qu'un assuré ne paie pas moins en annulant qu'en restant.

Pour lisser les résultats extrêmes (ex: payer 75% de la prime après quelques semaines), un paramètre d'ajustement $a \in [0, 1]$ est introduit :
$\gamma_{adj}(t, a) = a \cdot \gamma_{con}(t) + (1-a) \cdot t$

D. Critères de Sélection de Modèle

L'évaluation repose sur :

La déviance (training et test sets).
La courbe de concentration et de Lorenz (critère ABC et Area Between Curves) pour évaluer l'équilibre local.
Les diagrammes de Murphy basés sur la dominance de Bregman pour comparer les performances prédictives sur l'ensemble des fonctions de perte.

3. Contributions Clés

Relâchement de l'hypothèse de proportionnalité : L'article démontre théoriquement et empiriquement que l'hypothèse $\mu \propto t$ est restrictive et conduit à une estimation biaisée des paramètres si la vraie relation est non-linéaire.
Intégration des pénalités d'annulation dans le modèle : Le cadre permet de transformer le comportement d'annulation en un levier de tarification. Les pénalités ne sont plus seulement administratives mais reflètent le risque sous-jacent.
Avantage concurrentiel stratégique : En augmentant les pénalités pour les annulations précoces, l'assureur peut indirectement compenser les pertes majeures. Cela permet de baisser la prime annuelle pour les clients fidèles (qui ne cancelle pas), offrant ainsi un avantage compétitif sur le marché tout en maintenant l'équilibre actuariel.
Hétérogénéité par profil de risque : L'étude propose d'estimer des fonctions de pénalité distinctes selon le niveau de Bonus-Malus (BMS), montrant que les nouveaux assurés ou ceux ayant des sinistres récents (groupe à risque) devraient subir des pénalités plus sévères.

4. Résultats Empiriques

L'analyse porte sur un jeu de données d'une compagnie d'assurance canadienne (Ontario, 13 ans, >2 millions de contrats).

Performance des modèles : Les modèles flexibles (CWM, GWM, EWM) surpassent systématiquement l'approche traditionnelle (ratio) en termes de déviance sur les ensembles d'entraînement et de test. Le modèle EWM (Exposure-Weighted) obtient les meilleurs résultats.
Analyse des courbes : Les modèles flexibles réduisent considérablement l'écart entre la courbe de concentration et la courbe de Lorenz (Area $\approx$ 0.008 pour les modèles flexibles contre 0.13 pour le modèle traditionnel), indiquant une meilleure adéquation locale entre prime et risque.
Impact des pénalités :
- Environ 11% de la prime totale collectée est attribuable à la composante pénalité.
- Pour le groupe des annulations en cours d'année (XO), le modèle proposé récupère environ 15% de prime supplémentaire par rapport au modèle traditionnel.
- L'application de la contrainte de pénalité maximale ( $a=100\%$ ) permet de réduire la prime annuelle pour les clients fidèles de jusqu'à 25% pour certains profils, rendant l'offre plus attractive.
Segmentation BMS : La différenciation des fonctions de lissage selon le niveau BMS (Groupe 1 : 95-99 vs Groupe 2 : 100-104) révèle que les nouveaux assurés (Groupe 2) ont une fonction de pénalité beaucoup plus raide, justifiant une tarification plus stricte pour ce segment à risque.

5. Signification et Conclusion

Cet article apporte une contribution majeure à la science actuarielle en modernisant la tarification de l'assurance automobile pour tenir compte de la dynamique des annulations.

Cohérence Actuarielle : Il démontre qu'il est possible de pénaliser les annulations précoces sans violer les principes d'équité, en alignant la prime acquise sur le risque réel encouru.
Stratégie Commerciale : Le modèle offre un outil puissant pour la gestion du portefeuille. En internalisant le risque d'annulation dans la structure de prix, l'assureur peut proposer des primes annuelles plus basses pour fidéliser la clientèle, créant un avantage concurrentiel durable.
Futur de la Modélisation : L'approche suggère que les fonctions de tarification ne doivent plus être statiques mais dynamiques, dépendant non seulement des caractéristiques du véhicule, mais aussi du comportement de l'assuré (historique de sinistres, probabilité d'annulation).

En résumé, les auteurs réussissent à concilier performance statistique (meilleure prédiction des coûts) et implémentation pratique (contraintes de régulation et acceptabilité client), transformant la gestion des annulations d'un problème administratif en un levier stratégique de rentabilité.