Forecasting with Feedback

🦠 Prevedere i contagi (o il futuro) quando le tue previsioni cambiano la realtà

Immagina di dover prevedere il numero di nuovi casi di una malattia infettiva per la settimana prossima. Pubblichi la tua previsione: "I casi saranno alti". A causa di questa previsione, le persone prendono precauzioni: restano a casa, indossano le mascherine e rimandano gli incontri. Di conseguenza, il numero reale di casi della settimana successiva risulta più basso di quanto la tua previsione indicava. La tua previsione non ha solo descritto il futuro; l'ha cambiato, perché la realizzazione della variabile che stavi prevedendo (i casi) dipendeva dalle azioni intraprese in risposta alla tua previsione.

Questo è ciò che gli economisti chiamano feedback: la realizzazione della variabile prevista dipende dalle azioni intraprese in risposta alla previsione. Una previsione meteorologica pura non ha questa proprietà: che piova o meno domani non dipende dal fatto che le persone portino l'ombrello. Ma molte variabili economicamente interessanti hanno questa proprietà: l'inflazione risponde alla politica della banca centrale, che a sua volta è plasmata dalle previsioni sull'inflazione; i conteggi dei casi epidemici rispondono al comportamento della sanità pubblica; i prezzi dei mercati finanziari rispondono alle aspettative di consenso.

Questo è il cuore del lavoro di Lieli e Nieto-Barthaburu. Loro dicono: "Ehi, a volte le previsioni sono sbagliate di proposito, non perché il previsionista è stupido, ma perché sa che la sua previsione cambierà ciò che sta cercando di prevedere!"

Ecco come funziona, passo dopo passo.

1. La differenza tra "Osservare" e "Agire"

Il paper fa due esempi per chiarire:

Senza feedback (Nessun problema): Di solito pensiamo alle previsioni come a semplici congetture sul futuro, come il meteo. Se dici "Domani piove", non è che la tua previsione fa piovere! La pioggia è già decisa indipendentemente da ciò che dici. Qui, la previsione migliore è sempre quella più onesta e precisa.
Con feedback (Il problema): Immagina una Banca Centrale (come la Federal Reserve americana). I loro economisti prevedono l'inflazione (il prezzo delle cose). Se dicono "L'inflazione sarà alta", la Banca Centrale alza i tassi di interesse per fermarla. Ma alzare i tassi fa effettivamente scendere l'inflazione.
- Il paradosso: La previsione non è più solo una "fotografia" del futuro, è un ingrediente che cuoce il futuro.

2. Il dilemma del "Giocatore Strategico"

Ora immagina che il previsionista (lo "scienziato") sappia che il suo capo (il "Decisore") reagirà alle sue parole.

Se il previsionista dice: "L'inflazione sarà al 10%!", il capo potrebbe andare nel panico e alzare i tassi così tanto da far crollare l'economia.
Se il previsionista dice: "Sarà al 2%", il capo non farà nulla e l'inflazione potrebbe esplodere.

Il previsionista si trova in una situazione strana: deve mentire strategicamente per ottenere il risultato migliore.

3. L'analogia del "Genitore e il Bambino"

Immagina un genitore (il Decisore) e un figlio che deve fare i compiti (il Previsionista).

Il figlio sa che se dice "Ho finito i compiti, sono al 100%!", il genitore si rilasserà e non lo controllerà.
Se dice "Ho finito ma sono al 50%", il genitore si arrabbierà e lo controllerà ossessivamente.

Il figlio, per evitare il controllo eccessivo (che lo stresserebbe), potrebbe dire: "Sono finito, ma sono al 70%". Non sta dicendo la verità (non è razionale nel senso classico), ma sta ottimizzando la sua vita. Sa che il genitore reagirà in modo imprevedibile: a volte è severo, a volte no.

Nel paper, questo si chiama Trade-off Bias-Varianza:

Se il previsionista dice la verità, rischia che il decisore reagisca in modo troppo violento (alta volatilità).
Se il previsionista "addolcisce" la previsione (la rende meno sensibile ai dati reali), riduce il rischio di reazioni eccessive, anche se questo significa commettere un errore sistematico (un bias).

4. Perché le previsioni sembrano "rotte"?

Spesso, quando vediamo che le previsioni economiche sono sbagliate in modo sistematico (es. sempre troppo alte o sempre troppo basse), pensiamo: "Ah, gli economisti sono irrazionali!" oppure "Hanno un obiettivo nascosto!".

Il paper dice: No, non è colpa loro.
Se c'è incertezza su come reagirà il decisore (il genitore potrebbe essere stanco, o arrabbiato, o felice), il previsionista deve "aggiustare" la sua previsione per proteggersi.

Risultato: La previsione è "biased" (distorta), ma è la scelta più intelligente possibile date le circostanze.

5. Cosa dice la matematica (senza matematica!)

Gli autori hanno creato un modello matematico che mostra due cose sorprendenti:

Le previsioni sono distorte: Anche se l'obiettivo è essere precisi (errore quadratico minimo), la previsione migliore non è mai quella "vera". È quella che tiene conto di come il decisore reagirà.
Il rapporto tra previsione e realtà cambia: Se guardi i dati storici (come le previsioni di inflazione della Federal Reserve negli ultimi 40 anni), vedi che a volte le previsioni sono perfette, a volte sono completamente sbagliate, e a volte sembrano andare nella direzione opposta.
- Il paper spiega che questo non è un fallimento degli economisti, ma il risultato di un "gioco" in cui le regole cambiano a seconda di quanto il decisore è incerto o aggressivo.

In sintesi: La morale della storia

Immagina di dover lanciare una palla a un amico che la prenderà.

Se sai esattamente come muoverà la mano, lanci la palla nel punto esatto.
Se non sai se la tua amica è distratta, stanca o molto energica, potresti decidere di lanciare la palla un po' più in basso o più in alto del punto esatto, per aumentare le probabilità che lei riesca comunque a prenderla, anche se non è nel punto "teoricamente perfetto".

Il messaggio finale del paper:
Non giudicare le previsioni economiche come "stupide" solo perché sono sbagliate in modo sistematico. Spesso, quelle "errori" sono in realtà strategie intelligenti per gestire l'incertezza su come le persone (o le banche centrali) reagiranno alle tue parole. Quando le previsioni influenzano il futuro, la verità assoluta non è sempre l'obiettivo migliore; l'obiettivo è gestire le reazioni.

Titolo: Forecasting with Feedback (Previsioni con Feedback)

1. Il Problema e il Contesto

La letteratura economica tradizionale sulla previsione assume che gli errori di previsione sistematici (bias) siano il risultato di due fattori principali:

Irrazionalità del previsionista (mancanza di uso efficiente delle informazioni).
Funzioni di perdita asimmetriche (il costo di sovrastimare è diverso dal costo di sottostimare).

Tuttavia, il paper identifica un fenomeno empirico non spiegato da queste teorie: le previsioni della Greenbook (i report interni della Federal Reserve sull'inflazione) mostrano bias sistematici che cambiano di segno nel tempo e una relazione statistica (regressione di Mincer-Zarnowitz) tra previsione e realizzazione che varia drasticamente, inclusi pendenze negative o nulle.

Il problema centrale è che le previsioni economiche spesso guidano le decisioni di politica economica (es. tassi di interesse), e queste decisioni, a loro volta, influenzano la realizzazione della variabile target (es. l'inflazione futura). Questo crea un meccanismo di feedback: la previsione non è solo una stima passiva, ma un input attivo che altera l'esito. La domanda di ricerca è: come si comportano le previsioni ottimali in un ambiente strategico dove l'azione del decisore (DM) dipende dalla previsione e la realizzazione dipende dall'azione?

2. Metodologia e Modello Teorico

Gli autori costruiscono un modello di gioco strategico tra un Previsionista (Sender) e un Decisore (Receiver/DM).

Struttura del modello:

Variabili:
- $\theta_t$ : Stato dell'economia (informazione privata del previsionista).
- $f_t$ : La previsione (messaggio) inviata dal previsionista.
- $a_t$ : Azione del decisore (es. tasso di interesse).
- $y_{t+1}$ : Realizzazione dell'outcome (es. inflazione).
Equazione di Outcome: $y_{t+1} = \theta_t + a_t + \epsilon_{t+1}$ . L'outcome dipende dallo stato, dall'azione e da un errore stocastico.
Funzione di Reazione del DM: Il DM sceglie un'azione basata sulla previsione per avvicinare l'outcome a un target $y^T$ . La reazione è modellata come:
$a^*(f_t) = x_t [y^T - E(\theta_t | f_t)]$
Dove $x_t$ è un moltiplicatore positivo che rappresenta la "forza" della reazione politica.
Incertezza Chiave: Il previsionista non conosce il valore esatto di $x_t$ (che è informazione privata del DM), ma ne conosce la distribuzione (media $\mu$ e varianza $\tau^2$ ). Questa incertezza sulla reazione del DM è il motore del risultato.
Funzione di Perdita: Il previsionista minimizza la perdita quadratica (MSE): $L = (y_{t+1} - f_t)^2$ .

Approccio Analitico:
Gli autori risolvono il problema di ottimizzazione del previsionista considerando che la sua previsione influenzerà l'azione del DM, e quindi l'outcome. Successivamente, definiscono un Equilibrio di Bayes Perfetto (PBE) lineare in cui il DM indovina correttamente la funzione di previsione lineare utilizzata dal previsionista ( $f_t = b + c\theta_t$ ).

3. Contributi Chiave e Meccanismi

Il contributo teorico principale è la dimostrazione che, in presenza di feedback e incertezza sulla reazione del DM, la previsione ottimale è sistematicamente distorta (biased) anche sotto perdita quadratica.

Il meccanismo è un trade-off bias-varianza:

Se la reazione del DM fosse certa ( $\tau^2 = 0$ ), il previsionista potrebbe anticipare perfettamente l'azione e correggere la previsione per renderla non distorta.
Con incertezza ( $\tau^2 > 0$ ), la varianza dell'outcome diventa funzione della previsione stessa. Una previsione troppo sensibile all'informazione privata ( $\theta_t$ ) amplifica la volatilità dell'outcome a causa della reazione incerta del DM.
Per minimizzare l'errore quadratico medio totale, il previsionista sceglie di attenuare la sensibilità della previsione rispetto all'informazione privata (rendendo la pendenza della previsione più piatta). Questa attenuazione riduce la volatilità indotta dal feedback ma introduce un bias sistematico.

4. Risultati Principali

A. Proprietà delle Previsioni Ottimali (Non in Equilibrio):

Bias: La previsione ottimale è distorta. Il bias dipende dalla varianza dell'incertezza sulla reazione ( $\tau^2$ ) e dalla distanza tra lo stato e il target.
Regressione di Mincer-Zarnowitz (MZ): La regressione lineare $E(y_{t+1}|f_t) = \alpha + \beta f_t$ $E (y_{t + 1} ∣ f_{t}) = α + β f_{t}$ non soddisfa le proprietà canoniche ( $\alpha=0, \beta=1$ $α = 0, β = 1$ ).
- L'intercetta $\alpha$ è diversa da zero.
- La pendenza $\beta$ è diversa da uno e può essere negativa o vicina a zero, a seconda dei parametri di incertezza e aggressività del DM.

B. Risultati di Equilibrio:

Esiste un equilibrio lineare unico (sotto certe condizioni di $\tau^2$ ) in cui il DM ha aspettative razionali sulla strategia del previsionista.
Bias di Equilibrio: Il bias cambia segno a seconda che lo stato $\theta_t$ sia superiore o inferiore al target $y^T$ . Se $\theta_t > y^T$ , il previsionista sottostima (bias positivo); se $\theta_t < y^T$ , sovrastima (bias negativo). Questo spiega il fenomeno empirico di "bias che cambia segno" osservato nelle previsioni della Federal Reserve.
Pendenza MZ: La pendenza dell'equilibrio è una funzione non lineare di $\mu$ $μ$ (aggressività media) e $\tau^2$ $τ^{2}$ (incertezza).
- Se il DM è molto aggressivo ( $\mu \approx 1$ ) e c'è incertezza, la pendenza MZ può diventare negativa.
- All'aumentare dell'incertezza ( $\tau^2$ ), la pendenza tende a zero.

C. Interpretazione Empirica:
Il modello spiega i pattern osservati nelle previsioni dell'inflazione della Greenbook (Figura 1 del paper):

La presenza di bias persistenti ma con segno variabile nel tempo.
Il crollo della pendenza della regressione MZ (fino a valori negativi) in certi periodi storici, interpretato in letteratura come "irrazionalità", ma qui spiegato come un comportamento ottimale di fronte al feedback politico incerto.

5. Significato e Implicazioni

Ridefinizione della Razionalità: Il paper dimostra che un bias nelle previsioni non implica necessariamente irrazionalità o preferenze asimmetriche. Può essere una scelta razionale di un agente che minimizza il MSE in un ambiente con feedback strategico.
Critica ai Test di Razionalità: I test standard di razionalità delle previsioni (come la regressione di Mincer-Zarnowitz) possono portare a conclusioni errate se non si tiene conto del meccanismo di feedback. Un rifiuto dell'ipotesi nulla ( $\beta=1$ ) potrebbe indicare la presenza di feedback e incertezza politica, non un fallimento del previsionista.
Stima della Funzione di Perdita: Gli studi che tentano di stimare la funzione di perdita del previsionista basandosi sui dati di errore potrebbero ottenere risultati distorti se ignorano il feedback.
Nuova Prospettiva sulle Politiche Economiche: Il modello suggerisce che l'incertezza sulla reazione delle banche centrali (o di altri decisori) è un fattore cruciale che altera la natura stessa delle previsioni economiche, rendendole strumenti strategici piuttosto che semplici indicatori informativi.

In sintesi, Lieli e Nieto-Barthaburu forniscono un fondamento teorico rigoroso per cui le previsioni in contesti di policy sono intrinsecamente distorte a causa dell'interazione strategica e dell'incertezza, offrendo una spiegazione alternativa e plausibile per le anomalie empiriche osservate nei dati macroeconomici.