Relativistic magnetohydrodynamics in the early Universe

Sintesi Tecnica: Magnetoidrodinamica Relativistica nell'Universo Primordiale

Enunciato del Problema
Lo studio dei campi magnetici primordiali, delle perturbazioni del fluido e della produzione di onde gravitazionali nell'Universo primordiale si basa spesso su simulazioni magnetoidrodinamiche (MHD). Storicamente, queste simulazioni sono operate sotto l'assunto di un moto del fluido bulk subrelativistico ($u^2 \ll 1$) e hanno frequentemente assunto il limite in cui il fattore di Lorentz $\gamma^2 \approx 1$. Sebbene tale approssimazione sia valida per fluidi dominati dalla materia, essa introduce errori non esaminati nelle epoche dominate dalla radiazione o quando il parametro dell'equazione di stato $c_s^2$ è dell'ordine dell'unità (ad esempio, $c_s^2 = 1/3$). Le formulazioni precedenti hanno spesso trascurato le derivate temporali del fattore di Lorentz ($\partial_\tau \gamma^2$), portando all'omissione di termini non lineari dell'ordine di $U^2/\ell$ (dove $U$ e $\ell$ sono le scale caratteristiche di velocità e lunghezza). Queste omissioni influenzano la conservazione dell'energia e del momento, la generazione di vorticità e la velocità di propagazione delle onde MHD, portando potenzialmente a velocità di Alfvén superluminali se non corrette.

Metodologia
Gli autori derivano le leggi di conservazione per la MHD in un background di Friedmann–Lemaître–Robertson–Walker (FLRW) omogeneo e isotropo. Il lavoro procede attraverso diversi passaggi teorici:

1. Framework Geometrico: Il metrico FLRW è stabilito utilizzando il tempo conforme $\tau$ e coordinate comoventi, permettendo una generica definizione di $\alpha$-tempo per esplorare diverse proprietà di scala delle variabili del fluido.
2. Dinamica del Fluido Perfetto: Gli autori derivano le equazioni del moto per un fluido perfetto con un'equazione di stato costante $p = c_s^2 \rho$. Presentano queste equazioni in due forme:
   • Forma di Conservazione: Evoluzione delle componenti del tensore energia-impulso $\tilde{T}^{0\mu}$.
   • Forma di Non-Conservazione: Evoluzione delle variabili primitive (densità di energia comovente $\tilde{\rho}$ e velocità peculiare $u$).
     Fondamentalmente, la derivazione mantiene i termini che coinvolgono $\partial_\tau \gamma^2$ e $\partial_\tau u^2$, che vengono spesso scartati nel limite subrelativistico.
3. Fluidi Imperfetti: Il framework viene esteso per includere gli effetti del primo ordine dei fluidi imperfetti (viscosità e conduzione termica) utilizzando l'approccio della Termodinamica Classica Irreversibile (CIT), fornendo espressioni covarianti per la viscosità di Navier-Stokes e la conducibilità termica di Fourier.
4. Elettromagnetismo: Le equazioni di Maxwell vengono riviste nel background in espansione, introducendo campi elettromagnetici comoventi ($\tilde{E}, \tilde{B}$) e una legge di Ohm generalizzata covariante. La corrente di spostamento viene analizzata per giustificare il limite MHD ideale nel regime di alta conducibilità dell'Universo primordiale.
5. Accoppiamento MHD: Le equazioni del fluido sono accoppiate con le equazioni di Maxwell tramite la forza di Lorentz. Gli autori analizzano le perturbazioni lineari per studiare onde sonore, di Alfvén e magnetosoniche.
6. Correzioni: Una "correzione di Boris" viene adattata al contesto MHD relativistico per garantire che le velocità di Alfvén rimangano subluminali anche trascurando la corrente di spostamento.

Contributi Chiave e Risultati

• Equazioni Subrelativistiche Corrette: Il documento dimostra che le precedenti equazioni MHD subrelativistiche (ad esempio, quelle utilizzate nel Pencil Code) contengono errori nei coefficienti dei termini convettivi $(u \cdot \nabla) \ln \tilde{\rho}$ e dei termini di velocità. Nello specifico, la derivata temporale di $\gamma^2$ introduce un fattore di correzione di $1/2$ in certi termini per i fluidi dominati dalla radiazione ($c_s^2 = 1/3$) e modifica i coefficienti per generici $c_s^2$. Le equazioni corrette in forma di non-conservazione sono presentate nelle Eq. (1.2) e (6.31).
• Produzione di Vorticità: Gli autori mostrano che la vorticità ($\omega = \nabla \times u$) non è più un invariante topologico nell'Universo primordiale. Anche in assenza di forzanti esterne e termini baroclinici, la vorticità può essere generata da un campo di velocità inizialmente privo di rotore a causa delle correzioni relativistiche che coinvolgono $c_s^2 \neq 0$ e l'espansione dell'Universo.
• Scaling e Invarianza Conforme: Il documento recensisce varie scalature delle variabili del fluido (comoventi, super-comoventi) per minimizzare i termini di attrito di Hubble. Identifica che per flussi subrelativistici con $c_s^2 \neq 1/3$, una specifica scalatura ($\beta = 3(1+c_s^2)$) permette all'equazione dell'energia di essere conformemente piatta, mentre l'equazione del momento mantiene un termine di attrito di Hubble.
• Velocità di Alfvén Relativistica e Correzione di Boris: L'analisi rivela che trascurare la corrente di spostamento nella MHD ideale può portare a velocità di Alfvén superluminali ($v_A > 1$) quando $B_0^2/\rho_0$ è grande. Gli autori adattano la correzione di Boris alle equazioni MHD relativistiche, modificando l'equazione del momento per garantire che $v_A \to v_A \gamma_A \leq 1$, dove $\gamma_A = (1+v_A^2)^{-1}$.
• Coefficienti di Trasporto: Vengono esaminate le stime della viscosità di taglio, della viscosità volumetrica e della conducibilità termica nel plasma primordiale, confermando che il plasma è efficacemente un fluido perfetto su grandi scale, sebbene gli effetti dissipativi siano necessari per una modellazione realistica della turbolenza.

Significatività
Questo lavoro fornisce la prima descrizione pienamente relativistica delle equazioni MHD in un background in espansione che include le correzioni al limite subrelativistico precedentemente trascurate. Gli autori sostengono che queste correzioni non sono meramente effetti relativistici di ordine superiore, ma sono dello stesso ordine dei derivati convettivi nella dinamica dei fluidi non lineare. Di conseguenza, il documento argomenta che le future simulazioni della magnetoidrodinamica dell'Universo primordiale, in particolare quelle che coinvolgono fluidi dominati dalla radiazione o fasi ad alta energia, devono incorporare questi termini corretti per modellare accuratamente la dinamica non lineare, la turbolenza e la generazione di vorticità. Le equazioni derivate servono come fondamento teorico per i futuri sviluppi in codici numerici come Pencil Code e CosmoLattice.