Estimation and inference in models with multiple behavioural equilibria

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Immagina di essere il capitano di una nave che naviga in un oceano economico. La tua missione è prevedere dove ti porterà il vento (l'inflazione) per mantenere la rotta giusta.

In passato, gli economisti pensavano che tutti i capitani (gli agenti economici) avessero una mappa perfetta e knew esattamente come funzionava il vento. Questa era l'ipotesi della "Rational Expectations" (Aspettative Razionali). Ma la realtà è diversa: i capitoni non hanno una mappa perfetta, imparano mentre navigano, guardano le onde passate e fanno le loro previsioni basandosi su quello che vedono.

Questo articolo, scritto da Alexander Mayer e Davide Raggi, è come un manuale di navigazione avanzato per capire cosa succede quando i capitani imparano in modo imperfetto e quando l'oceano può avere più rotte possibili (equilibri multipli).

Ecco i concetti chiave spiegati con metafore semplici:

1. Il Problema: L'Oceano ha più "Fondi" Possibili

Immagina che il mare possa stabilizzarsi in due modi diversi:

Scenario A: Le onde sono calme e prevedibili (bassa persistenza dell'inflazione).
Scenario B: Le onde sono alte e si auto-alimentano (alta persistenza dell'inflazione).

Se tutti i capitoni credono che il mare sarà calmo, il mare diventa calmo. Se credono che sarà agitato, il mare diventa agitato. Entrambi gli stati sono possibili e "stabili" finché i capitoni non cambiano idea. Questo è il concetto di equilibri comportamentali multipli.

2. La Sfida: Come misurare la rotta?

Il problema per gli economisti (i nostri osservatori) è che non sanno quale rotta i capitoni stanno seguendo. Inoltre, i capitoni usano un metodo di apprendimento chiamato "Constant-Gain Learning" (Apprendimento a Guadagno Costante).

Metafora: Immagina di imparare a guidare. Se usi un metodo "a guadagno decrescente", ascolti molto le lezioni all'inizio e poi smetti di ascoltare le nuove informazioni. Se usi il "guadagno costante", ascolti sempre con la stessa intensità le ultime notizie. Questo è più realistico per l'economia (l'inflazione cambia), ma rende i calcoli matematici molto più difficili e "scivolosi".

3. La Soluzione: Una Bussola Matematica Robusta

Gli autori hanno sviluppato nuovi strumenti matematici per:

Dimostrare che la nave non affonda: Hanno provato che, nonostante la complessità, il sistema è stabile e non va fuori controllo (una proprietà chiamata ergodicità geometrica). Significa che, dopo un po', il sistema si stabilizza su una distribuzione di probabilità prevedibile.
Costruire una mappa precisa: Hanno creato un metodo per stimare i parametri nascosti (quanto velocemente imparano i capitoni, quanto reagisce l'inflazione, ecc.) usando i dati storici.
Disegnare le zone di sicurezza: Non si limitano a dire "l'inflazione sarà al 2%". Disegnano una "zona di sicurezza" (intervalli di confidenza) che mostra tutte le rotte possibili. Se ci sono due equilibri, la mappa mostrerà due isole di probabilità, non un solo punto.

4. Il Caso Speciale: Quando la mappa si "sdoppia"

C'è un momento critico in cui la matematica diventa strana. Immagina di cercare il punto più basso in una valle.

Se c'è una sola valle profonda, trovi il punto facilmente.
Se c'è una valle che tocca il fondo e poi risale (un punto doppio), il tuo strumento di misura inizia a "tremare" e a essere meno preciso.
Gli autori spiegano come gestire questo caso: quando ci sono due equilibri che si toccano, la precisione della stima rallenta, ma il loro metodo sa comunque dirti se stai per passare da uno scenario all'altro.

5. La Prova sul Campo: I Dati USA

Per verificare che la loro "bussola" funzioni, l'hanno testata sui dati reali degli Stati Uniti (dall'inflazione al 1960 al 2019).

Risultato: Hanno scoperto che l'economia USA sembra avere due stati mentali possibili.
1. Un stato in cui le aspettative sono ben ancorate (bassa persistenza, le persone si fidano della banca centrale).
2. Un stato in cui le aspettative sono meno ancorate (alta persistenza, le persone si aspettano che l'inflazione continui a salire).
  Il modello riesce a catturare questa incertezza, mostrando che non siamo sempre nello stesso punto, ma oscilliamo tra queste due "isole" di stabilità.

In Sintesi

Questo articolo è un ponte tra la teoria complessa e la realtà pratica. Dice agli economisti: "Non abbiate paura se il modello ha più soluzioni possibili o se le persone imparano in modo imperfetto. Abbiamo creato gli strumenti matematici per navigare in queste acque torbide, stimare i parametri e disegnare mappe che mostrano non solo dove siamo, ma anche dove potremmo finire".

È come passare da una mappa che dice "Sei qui" a una mappa interattiva che dice "Sei qui, ma potresti anche essere lì, e ecco quanto è probabile che tu vada in una direzione o nell'altra".

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Ecco una sintesi tecnica dettagliata del lavoro di ricerca di Alexander Mayer e Davide Raggi, intitolato "Estimation and inference in models with multiple behavioural equilibria".

1. Il Problema di Ricerca

Il paper affronta le sfide econometriche poste dai modelli macroeconomici in cui gli agenti formano le aspettative attraverso l'apprendimento adattivo (adaptive learning) piuttosto che tramite l'ipotesi di aspettative razionali (RE). Nello specifico, gli autori si concentrano su una curva di Phillips di New Keynesian (NKPC) in cui gli agenti utilizzano una regola di apprendimento a guadagno costante (constant-gain learning) per stimare i parametri di un modello percepito (PLM) errato, in questo caso un processo autoregressivo AR(1) per l'inflazione.

Il problema centrale è la presenza di equilibri comportamentali multipli (multiple behavioural equilibria). A differenza degli equilibri razionali unici, in questo framework possono coesistere diverse traiettorie di inflazione stazionarie che sono punti fissi della legge di moto percepita dagli agenti. La letteratura esistente ha mostrato la difficoltà nell'analizzare le proprietà statistiche degli stimatori in tali contesti non lineari, specialmente riguardo alla consistenza, alla distribuzione asintotica e all'inferenza quando le soluzioni sono multiple o ripetute.

2. Metodologia

Gli autori sviluppano un approccio rigoroso basato sulla teoria delle serie temporali non lineari e sull'analisi di processi stocastici:

Modello: La dinamica dei dati (DGP) è descritta da un sistema non lineare che combina l'equazione di Phillips reale, la dinamica del gap del prodotto (o costo del lavoro) e l'algoritmo di aggiornamento ricorsivo degli agenti (SAC - Sample Autocorrelation Learning) con guadagno costante $\gamma$ .
Proprietà Probabilistiche: Prima di procedere con la stima, gli autori dimostrano che il processo sottostante è una catena di Markov geometricamente ergodica. Questo risultato è cruciale per garantire l'esistenza di una distribuzione stazionaria unica e l'applicabilità di leggi dei grandi numeri e teoremi del limite centrale. La dimostrazione si basa su condizioni di "drift" di Lyapunov-Foster e sull'irriducibilità $\phi$ del sistema, superando le limitazioni dei risultati standard (come quelli di Tong o Straumann & Mikosch) che non si applicano a causa della non-Lipschitzianità del sistema.
Stimatore: Viene proposto uno stimatore dei Minimi Quadrati Non Lineari (NLS) per i parametri strutturali $\theta = (\gamma, \delta, \psi)^T$ , dove $\gamma$ è il guadagno di apprendimento, $\delta$ il fattore di sconto delle aspettative e $\psi$ la pendenza della curva di Phillips.
Inferenza: Vengono sviluppati procedure per:
1. Testare i parametri strutturali, gestendo il caso in cui il parametro $\gamma$ non è identificato congiuntamente quando $\delta=0$ (problema di parametro spurio).
2. Costruire bande di confidenza uniformi per la funzione che definisce gli equilibri, utilizzando un bootstrap moltiplicatore (multiplier bootstrap) per approssimare la distribuzione limite non standard.

3. Contributi Chiave e Risultati Teorici

A. Ergodicità e Stima dei Parametri Strutturali

Ergodicità Geometrica: Viene provato che il sistema dinamico è geometricamente ergodico sotto condizioni di regolarità sulle distribuzioni degli errori (densità semicontinue inferiormente) e vincoli sui parametri ( $|\delta|<1, |\rho|<1, \gamma \in (0,1)$ ).
Consistenza Forte: Lo stimatore NLS è fortemente consistente per il vettore dei parametri strutturali. La prova utilizza un argomento di separazione basato sulla teoria di Francq et al. (2024), evitando la necessità di valutare analiticamente la funzione obiettivo della popolazione.
Normalità Asintotica: Lo stimatore è asintoticamente normale con velocità di convergenza $\sqrt{n}$ , a condizione che $\delta \neq 0$ .
Caso di Identificazione Parziale: Se $\delta = 0$ , il parametro $\gamma$ non è identificato. Tuttavia, gli autori dimostrano che i restanti parametri strutturali rimangono $\sqrt{n}$ -consistenti, adattando risultati di Saikkonen (1995) e Seo (2011).

B. Distribuzione Asintotica degli Equilibri

Questo è uno dei contributi più innovativi. Gli equilibri comportamentali sono definiti come radici di una funzione polinomiale $G(\beta; \lambda) = 0$ .

Radici Semplici: Se l'equilibrio è unico o se ci sono radici semplici, la distribuzione asintotica è normale con velocità $\sqrt{n}$ .
Radici Multiple (Caso Critico): Quando la funzione $G$ $G$ tocca l'asse delle ascisse (radice doppia), la situazione cambia drasticamente:
- Il numero di radici $r_n$ non converge in probabilità al numero vero $r_0$ (es. se $r_0=2$ , $r_n$ oscilla tra 1 e 3 con probabilità 1/2).
- La convergenza delle stime delle radici doppie è più lenta, dell'ordine di $n^{1/4}$ invece di $\sqrt{n}$ .
- La distribuzione limite è non standard e dipende da una variabile casuale normale.
- Gli autori mostrano che la media delle due radici stimate (quando si verificano 3 radici) elimina il termine di bias principale, migliorando la stima dell'equilibrio ripetuto.

C. Procedure di Inferenza

Viene proposto un test di tipo SupF (simile a Hansen, 1996a) per testare l'ipotesi nulla $\delta=0$ contro l'alternativa $\delta \neq 0$ , gestendo il parametro spurio $\gamma$ .
Vengono costruite bande di confidenza uniformi per la funzione $G(\beta)$ , permettendo di valutare l'incertezza sull'intera curva degli equilibri, non solo sui punti specifici. Questo supera i limiti degli intervalli di confidenza puntuali che falliscono in presenza di radici multiple.

4. Evidenza Empirica e Simulazioni

Simulazioni Monte Carlo: Gli esperimenti confermano che lo stimatore NLS è consistente e che l'approssimazione normale per i test t è accurata. Nel caso di radici multiple ( $r_0=2$ ), le simulazioni mostrano l'oscillazione del numero di radici stimate e la convergenza più lenta delle stime associate, in linea con la teoria. Le bande di confidenza studentizzate mostrano una copertura leggermente inferiore al livello nominale per campioni piccoli, ma migliorano con $n$ .
Applicazione ai Dati USA: L'analisi su dati trimestrali USA (1960-2019) rivela due scenari distinti a seconda della misura del "gap" utilizzata:
1. Utilizzando il gap del prodotto, il modello stima tre equilibri comportamentali (uno a bassa persistenza, uno ad alta persistenza e uno intermedio instabile). Questo suggerisce l'esistenza di diversi regimi di aspettative di inflazione.
2. Utilizzando la variazione del costo unitario del lavoro, si stima un unico equilibrio a bassa persistenza.
  I risultati confermano che le aspettative di inflazione sono fortemente ancorate (basso $\beta$ ) o possono mostrare alta persistenza a seconda delle condizioni macroeconomiche e della misura dello slack utilizzata.

5. Significato e Implicazioni

Questo lavoro colma un vuoto significativo nella letteratura econometrica sull'apprendimento adattivo.

Fondamenti Teorici: Fornisce le prime prove rigorose di ergodicità e proprietà asintotiche per modelli NKPC con apprendimento a guadagno costante e PLM errati.
Nuova Teoria Asintotica: Introduce risultati non standard per l'inferenza su funzioni con radici multiple, rilevanti non solo per l'economia comportamentale ma per qualsiasi modello con identificazione di secondo ordine.
Applicabilità Politica: Dimostra che l'incertezza sulla posizione degli equilibri comportamentali è quantificabile. La possibilità di coesistenza di regimi di inflazione diversi (ancorati vs. non ancorati) ha implicazioni dirette per la politica monetaria, suggerendo che le banche centrali devono monitorare non solo i valori medi, ma anche la stabilità dei diversi equilibri possibili.

In sintesi, il paper offre un toolkit completo per stimare e fare inferenza in modelli macroeconomici complessi dove la razionalità limitata degli agenti porta a dinamiche non lineari e multi-stabilità, fornendo strumenti robusti per analizzare l'incertezza strutturale nelle aspettative di inflazione.