On the stability of the steady-state of a general model of endogenous growth with two $CES$ production functions

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🌍 Il Viaggio in Due Città: Una Storia di Crescita

Immagina un'economia come un grande viaggio in due città collegate da una strada maestra.

La Città delle Merci (Settore Beni): Qui si costruiscono case, macchine e oggetti che usiamo ogni giorno (il capitale fisico).
La Città della Conoscenza (Settore Educazione): Qui si formano le menti, si imparano nuove abilità e si crea "capitale umano" (l'istruzione).

In questo viaggio, le persone devono decidere ogni giorno: "Quanto tempo e quante risorse devo dedicare a costruire oggetti e quanto a studiare?". L'obiettivo è vivere felici e prosperi nel tempo.

📜 La Vecchia Mappa (Il Modello di Bond)

Fino a poco tempo fa, c'era una mappa molto famosa (creata da Bond e colleghi nel 1996) che diceva: "Non preoccupatevi! Se seguite questa strada, il viaggio vi porterà sempre a una destinazione stabile e perfetta. Se vi scostate di poco, il sistema vi riporterà indietro da solo, come un'auto con il cruise control."

Questa stabilità si chiama stabilità a sella. Immagina di essere in cima a una sella di cavallo: se ti sposti leggermente a destra o sinistra, cadi giù (instabilità), ma se ti muovi lungo la linea centrale della sella, rimani in equilibrio. La mappa diceva che esiste una sola linea centrale perfetta e sicura.

🔍 L'Esploratore e la Nuova Bussola (Il Modello di Chilarescu)

L'autore di questo articolo, Constantin Chilarescu, prende la mappa di Bond e dice: "Aspettate un attimo. La vostra mappa funziona solo se le due città sono costruite con le stesse regole matematiche (come se avessero la stessa forma di 'elasticità' nel produrre cose). Ma cosa succede se le due città sono costruite in modo completamente diverso?"

Chilarescu immagina che le due città usino due ricette diverse per produrre le loro cose (funzioni CES diverse). È come se una città usasse farine speciali e l'altra usasse ingredienti esotici, e non fossero intercambiabili.

🚫 Il Problema: La Sella che Non C'è

Quando Chilarescu applica queste "ricette diverse" al modello, scopre una cosa sconvolgente: la linea centrale della sella sparisce.

In termini semplici:

Il vecchio modello diceva: "C'è un solo modo perfetto per viaggiare e il sistema è stabile."
Il nuovo modello dice: "Con ricette diverse, il sistema diventa caotico. Non possiamo più garantire che esista una sola strada stabile. Potrebbe essercene una, o nessuna, o il sistema potrebbe comportarsi in modi imprevedibili."

È come se, invece di una strada maestra dritta, vi trovaste in un labirinto dove, se sbagliate anche di un millimetro, potreste non tornare mai indietro. La matematica dietro questo modello mostra che la "stabilità a sella" non è più una certezza assoluta.

🧩 Perché è importante?

Perché le economie reali sono fatte di settori molto diversi tra loro (pensate alla differenza tra un'azienda che produce software e una che produce acciaio). Se i modelli economici usano ricette troppo semplificate (come se tutto fosse uguale), potrebbero darci false sicurezze.

Chilarescu ci sta dicendo: "Attenzione! Se usiamo modelli troppo generici con regole diverse per i settori, non possiamo più dire con certezza che l'economia tornerà sempre in equilibrio da sola. Dobbiamo essere più cauti e analizzare caso per caso."

💡 In Sintesi

L'idea: Studiare come cresce un'economia con due settori diversi.
La scoperta: Se i due settori funzionano con regole matematiche diverse (ricette diverse), la promessa di una stabilità automatica e perfetta (la "sella") non è più vera.
La morale: Non fidatevi ciecamente delle mappe economiche se non controllate se le "terre" che attraversate seguono le stesse regole.

È un avvertimento matematico per gli economisti: la realtà è più complessa e meno "ordinata" di quanto pensassimo, e la stabilità non è sempre garantita.

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1. Il Problema di Ricerca

Il paper affronta un problema fondamentale nella teoria della crescita endogena: la validità dell'ipotesi di stabilità a sentiero (saddle-path stability) in un modello generale a due settori proposto da Bond et al. (1996).
Bond et al. avevano affermato che il loro modello, caratterizzato da rendimenti di scala costanti e due settori (beni e istruzione), possiede un equilibrio di crescita bilanciata unico e stabile. Tuttavia, Chilarescu sostiene che questa affermazione non è universalmente valida. L'obiettivo specifico è dimostrare che, quando entrambi i settori sono modellati tramite funzioni di produzione CES (Constant Elasticity of Substitution) distinte (con elasticità di sostituzione diverse, $\sigma_1 \neq \sigma_2$ ), non è possibile garantire la stabilità a sentiero.

2. Metodologia

L'autore impiega un approccio analitico rigoroso basato sulla teoria del controllo ottimo:

Struttura del Modello:
- L'economia è composta da due settori: un settore dei beni (che produce consumo e investimento fisico) e un settore dell'istruzione (che produce capitale umano).
- Entrambi i settori utilizzano capitale fisico ( $k$ ) e capitale umano ( $h$ ) con rendimenti di scala costanti.
- Le funzioni di produzione sono di tipo CES:
  $Y_1 = A_1 [\alpha_1 (kv)^{\psi_1} + (1-\alpha_1)(hu)^{\psi_1}]^{1/\psi_1}$
  $Y_2 = A_2 [\alpha_2 (k(1-v))^{\psi_2} + (1-\alpha_2)(h(1-u))^{\psi_2}]^{1/\psi_2}$
  dove $\psi_i = (\sigma_i - 1)/\sigma_i$ e $\sigma_1 \neq \sigma_2$ .
Ottimizzazione:
- Gli agenti massimizzano una funzione di utilità intertemporale CRRA soggetta ai vincoli dinamici dell'accumulazione di capitale.
- Viene definita la funzione Hamiltoniana per derivare le condizioni del primo ordine.
Analisi Dinamica:
- Il sistema dinamico originale è composto da 5 variabili (2 variabili di stato: $k, h$ ; 3 variabili di controllo: $c, u, v$ ).
- Per analizzare la stabilità, l'autore trasforma le variabili in crescita (che crescono al tasso $r^*$ ) in variabili stazionarie: $z = k/h$ e $q = c/k$ .
- Viene costruita la matrice Jacobiana del sistema ridotto per valutare gli autovalori e determinare la natura della stabilità.

3. Risultati Chiave

A. Esistenza e Unicità dell'Equilibrio

Il paper dimostra che, sotto condizioni specifiche sui parametri (tasso di preferenza temporale $\rho$ , elasticità di sostituzione intertemporale $\varepsilon$ , tassi di deprezzamento), esiste un unico equilibrio di crescita bilanciata.

In questo equilibrio, tutte le variabili chiave ( $k, h, c, y_1, y_2$ ) crescono allo stesso tasso costante $r^*$ .
Le variabili di controllo $u$ (frazione di capitale umano nel settore beni) e $v$ (frazione di capitale fisico nel settore beni) sono costanti.
Viene fornita una dimostrazione analitica dell'esistenza di una soluzione unica per il rapporto $w$ (relazione tra i rapporti di capitale nei due settori) che risolve l'equazione di equilibrio.

B. Il Risultato Principale: Fallimento della Stabilità a Sentiero

Il contributo centrale del paper è la dimostrazione che il sistema non è necessariamente a sentiero stabile quando si utilizzano funzioni CES distinte.

Il Problema Matematico: Quando si riduce il sistema a 4 variabili stazionarie ( $z, q, u, v$ ), si osserva che la nuova variabile $z = k/h$ dipende esplicitamente dalle variabili di controllo $u$ e $v$ (tramite la relazione definita nell'equazione 8 del testo).
Determinante Nullo: A causa di questa dipendenza funzionale, il determinante della matrice Jacobiana valutata nello stato stazionario è uguale a zero.
Implicazione: Un determinante nullo implica che il sistema non è iperbolico. Di conseguenza, non è possibile applicare i teoremi standard per affermare l'esistenza di un unico sentiero di stabilità (saddle-path). Il sistema potrebbe presentare comportamenti complessi, punti di biforcazione o una molteplicità di traiettorie, rendendo l'affermazione di Bond et al. (1996) falsa per questo caso generale.

C. Caso di Confronto: Funzioni Cobb-Douglas

L'autore analizza anche il caso limite in cui le funzioni di produzione sono Cobb-Douglas (che corrispondono a elasticità di sostituzione unitaria, $\sigma=1$ ).

In questo caso specifico, le simulazioni numeriche e l'analisi suggeriscono che il sistema è a sentiero stabile (con un autovalore negativo e due positivi, o viceversa a seconda della ridimensionamento, ma con un determinante non nullo che permette l'interpretazione classica).
Questo sottolinea che la mancanza di stabilità a sentiero è una peculiarità introdotta dalla generalità delle funzioni CES con elasticità diverse.

4. Significato e Conclusioni

Il paper di Chilarescu ha un'importanza significativa per la letteratura sulla crescita endogena:

Correzione Teorica: Smentisce un risultato "canonico" (Bond et al., 1996) che era stato accettato come valido per modelli generali, mostrando che la stabilità a sentiero non è una proprietà intrinseca di tutti i modelli a due settori, ma dipende dalla forma funzionale specifica delle produzioni.
Sensibilità alla Forma Funzionale: Dimostra che l'uso di funzioni CES con elasticità di sostituzione diverse tra i settori introduce complessità dinamiche (determinante nullo della Jacobiana) che invalidano le conclusioni di stabilità standard.
Implicazioni per la Modellazione: Avverte i ricercatori che l'analisi di stabilità in modelli di crescita endogena richiede un'attenta verifica delle condizioni al contorno e della struttura della matrice Jacobiana, specialmente quando si generalizzano le funzioni di produzione oltre il caso Cobb-Douglas.

In sintesi, l'autore conclude che, mentre l'equilibrio di crescita bilanciata esiste ed è unico, la sua stabilità a sentiero non può essere garantita nel caso generale di funzioni CES distinte, richiedendo un'analisi più approfondita degli autovalori e delle condizioni di biforcazione.