Implementing Jastrow--Gutzwiller operators on a quantum computer using the cascaded variational quantum eigensolver algorithm

본 논문은 허바드 모델에 대해 IBM Q Lagos 장치에서 실험적으로 입증된 캐스케이드 변분 양자 고유값 솔버 알고리즘을 사용하여 양자 컴퓨터에서 비단위 Jastrow-Gutzwiller 연산자를 구현하는 새로운 방법을 제시한다.

핵심

완벽한 소프플레와 같은 복잡한 요리의 레시피를 찾으려 한다고 상상해 보세요. 기본 재료(원자)는 알고 있지만, 훌륭한 소프플레의 비결은 구워지는 동안 그 재료들이 서로 어떻게 상호작용하느냐에 달려 있습니다. 이러한 상호작용을 무시하면 요리는 평평하고 맛없어집니다.

양자 물리학의 세계에서는 과학자들이 시스템의 최저 에너지 상태 (예: 물질 내의 전자) 에 대한 "완벽한 레시피"를 찾으려 노력하고 있습니다. 이를 "바닥 상태 (ground state)"라고 합니다.

이 논문이 무엇을 하는지 일상적인 비유를 통해 간단히 설명해 보겠습니다.

1. 문제: "비단위 (Non-Unitary)" 셰프

양자 컴퓨터는 엄청나게 빠르지만 매우 fragile 한 셰프와 같습니다. 고전 컴퓨터로는 처리할 수 없는 방대한 수의 가능성 (힐베르트 공간) 을 탐색할 수 있습니다. 하지만 함정이 하나 있습니다.

최고의 레시피를 얻기 위해 과학자들은 야스트로우 - 구츠빌러 (Jastrow–Gutzwiller) 연산자라는 특수 도구를 사용하고자 합니다. 이 도구를 복잡한 다성분 상호작용을 혼합물에 더해주는 "맛 증진제"로 생각하세요.

• 문제점: 이 맛 증진제는 "비단위 (non-unitary)"입니다. 양자 용어로 이는 주방의 규칙을 깨는 요리 단계와 같습니다. 표준 양자 컴퓨터에서 단순히 버튼을 눌러서 수행할 수 없습니다. 마치 케이크를 굽기 전에 먼저 구운 것을 다시 녹여내는 것과 같습니다. 이를 직접 구현하는 것은 수학적으로 매우 어렵습니다.

2. 해결책: "캐스케이드" 조립 라인

저자들은 이 도구를 사용하는 새로운 방법으로 **캐스케이드 변분 양자 고유값 솔버 (CVQE)**를 제안합니다.

양자 컴퓨터가 한 번에 불가능한 "비단위" 단계를 수행하도록 강요하는 대신, 이 과정을 조립 라인처럼 두 부분으로 나눕니다.

• 파트 A (단위 셰프): 양자 컴퓨터는 규칙을 준수하는 표준 요리를 수행합니다. "사우스 연산자 (Thouless operator)"라는 것을 사용하여 재료를 좋은 시작 형태로 재배치합니다.
• 파트 B (맛 증진제): "비단위" 맛 증진제 (야스트로우 - 구츠빌러 연산자) 는 다르게 처리됩니다. 이를 양자 회로에 굽는 대신, 저자들은 이 특정 부분의 중노동 부분을 **고전 컴퓨터 (일반 노트북)**로 옮깁니다.

비유: 집을 짓는다고 상상해 보세요. 양자 컴퓨터는 벽돌을 완벽하게 쌓는 로봇 팔입니다. "맛 증진제"는 페인트와 벽지입니다. 로봇 팔이 벽돌을 쌓는 동시에 페인트를 바르게 하는 것 (그것은 잘 할 수 없습니다) 을 시도하는 대신, 로봇이 벽돌을 쌓은 다음, 로봇이 측정한 데이터를 바탕으로 인간 화가 (고전 컴퓨터) 가 페인트를 바릅니다. 완벽한 집을 얻기 위해 그들은 루프 형태로 협력합니다.

3. 테스트: "허바드 모델"

이 방법이 작동하는지 증명하기 위해 팀은 **허바드 모델 (Hubbard model)**이라는 유명한 물리학 퍼즐로 그들의 방법을 테스트했습니다.

• 그것은 무엇인가? 전자가 (손님) 뛰어다닐 수 있는 작은 섬 (사이트) 의 격자로 생각하세요. 때로는 두 손님이 같은 섬에 앉으려 하여 "혼잡" 문제 (상호작용) 가 발생합니다.
• 설정: 그들은 네 개의 자리를 가진 정사각형과 삼각형 두 가지 모양으로 이를 테스트했습니다.
• 목표: 그들은 격자가 "반쯤 채워진" 상태 (네 자리 중 두 명의 손님) 일 때, 이 전자들의 최저 에너지 상태를 찾고자 했습니다.

4. 결과: 실제 하드웨어 vs 시뮬레이션

그들은 IBM Q Lagos(7 개의 큐비트, 즉 "양자 비트"를 가진) 라는 실제 양자 컴퓨터에서 실험을 수행했습니다.

• 도전 과제: 실제 양자 컴퓨터는 잡음이 많습니다. 바람 부는 방에서 속삭임을 듣는 것과 같습니다. 그들이 얻은 데이터는 "잡음"이 있어 결과가 완벽하게 선명하지 않았습니다.
• 기교: 결과를 더 명확하게 만들기 위해 그들은 교묘한 단축키를 사용했습니다. 전자는 "스핀 (위 또는 아래)"을 가지므로, 양자 컴퓨터를 "스핀 업" 전자에만 실행하고 "스핀 다운"은 고전 컴퓨터에서 시뮬레이션했습니다. 이로 인해 필요한 양자 비트 수가 절반으로 줄어들어 잡음이 크게 감소했습니다.
• 결과:
  • 그들의 방법 (그들의 차트에서 녹색과 주황색 선) 은 수학적으로 완벽하게 해결할 수 있는 슈퍼컴퓨터에서 얻을 수 있는 "정확한" 답 (빨간 점선) 에 매우 근접했습니다.
  • 실제 기계의 잡음에도 불구하고, 그들의 접근 방식은 단순히 추측하는 것보다 더 잘 작동했습니다.
  • 그들은 복잡한 "맛 증진제" 부분을 고전 컴퓨터로 옮김으로써 추가적이고 복잡한 양자 하드웨어 없이도 정확한 결과를 얻을 수 있음을 보여주었습니다.

요약

이 논문은 양자 컴퓨터가 입자 간의 복잡한 상호작용을 처리하도록 가르치는 새로운 방법을 보여줍니다. 양자 컴퓨터에게 수학적으로 금지된 동작을 강요하는 대신, 작업을 분할합니다. 양자 컴퓨터는 물리적 재배치를 수행하고, 일반 컴퓨터는 복잡한 상관관계 수학을 처리합니다. 그들은 작은 격자 위의 전자에 대한 퍼즐을 풀어, 실제 잡음이 있는 기계에서 작동함을 증명했으며, 놀랍게도 완벽한 이론적 답에 근접한 결과를 얻었습니다.

기술 요약

기술 요약: 캐스케이드 변분 양자 고유값 솔버를 이용한 양자 컴퓨터에서의 야스트로우-구츠빌러 연산자 구현

문제 제기
양자 컴퓨터는 고전 컴퓨터로는 종종 계산이 불가능한 양자 시스템의 바닥 상태를 결정하기 위해 지수적으로 큰 힐베르트 공간에 접근할 수 있는 잠재력을 제공합니다. 짧은 회로 깊이로 인해 근미래 장치에 유망한 변분 양자 고유값 솔버 (VQE) 와 같은 변분 알고리즘은 그러나 Ansatz 의 선택에 크게 의존합니다. 변분 상태를 개선하기 위한 강력한 접근법은 야스트로우-구츠빌러 연산자를 사용하는 것으로, 이는 시초 상태에 다체 상관관계 (특히 밀도 - 밀도 상관관계와 이중 점유 오비탈에 대한 제한) 를 추가합니다. 그러나 야스트로우-구츠빌러 연산자는 비단위 (non-unitary) 연산자입니다. 이 비단위성은 본질적으로 단위 진화로 작동하는 양자 컴퓨터에 대한 직접적인 구현에 중요한 과제를 제기합니다. 기존 방법들은 종종 이 비단위성을 처리하기 위해 보조 큐비트나 근사화를 요구하며, 이는 현재의 하드웨어 능력을 초과하는 회로 깊이와 복잡성을 증가시킬 수 있습니다.

방법론
저자들은 캐스케이드 변분 양자 고유값 솔버 (CVQE) 알고리즘을 사용하여 야스트로우-구츠빌러 연산자를 구현하는 새로운 방법을 제안합니다. 그들의 방법의 핵심은 $\hat{A}(\theta) = \hat{G}(\theta)\hat{U}$ 형태의 Ansatz 입니다. 여기서:

• $\hat{U}$는 1-체 힐베르트 공간에서 기저 변환을 수행하는 단위 투레스 (Thouless) 연산자입니다 (예: 포크 상태를 페르미 바다로 변환).
• $\hat{G}(\theta)$는 비단위 야스트로우-구츠빌러 연산자로, $\hat{G}(\theta) = \exp(-\sum_{qq'} \theta_{qq'} \hat{n}_q \hat{n}_{q'})$로 정의되며, 여기서 $\hat{n}_q$는 수 연산자이고 $\theta_{qq'}$는 변분 매개변수입니다.

핵심 혁신은 에너지 기댓값 $E(\theta) = \frac{\langle \Psi_n | \hat{G}(\theta) \hat{H} \hat{G}(\theta) | \Psi_n \rangle}{\langle \Psi_n | \hat{G}^2(\theta) | \Psi_n \rangle}$을 계산하는 방식에 있습니다. $\hat{G}(\theta)$가 점유 수 기저에서 대각이므로, 저자들은 양자 컴퓨터에서 지수항을 파울리 문자열의 합으로 전개할 필요 없이 측정 결과에 기반하여 연산자 곱의 지수항을 고전적으로 평가할 수 있음을 보여줍니다.

절차는 다음과 같습니다:

1. 상태 준비: 단위 연산자 $\hat{f}$의 분해에서 유도된 기본 단일 및 2-큐비트 게이트로 구성된 양자 회로를 사용하여 초기 상태 $|\Psi_n\rangle = \hat{U}|\Phi_n\rangle$을 준비합니다.
2. 측정: 계산 기저 (또는 운동량 항을 위한 회전된 기저) 에서 시스템을 측정하여 점유 수를 얻습니다.
3. 고전적 후처리: 측정된 점유 수를 사용하여 $\hat{G}(\theta)$ 및 $\hat{G}^2(\theta)$의 대각 지수 인자를 고전적으로 평가합니다. 이는 비단위 연산자를 시뮬레이션하기 위한 추가 큐비트나 깊은 회로의 필요성을 피합니다.
4. 최적화: 에너지 기댓값을 최소화하기 위해 매개변수 $\theta$를 고전적으로 변화시킵니다.

주요 기여

• 비단위 연산자 구현: 이 논문은 CVQE 프레임워크를 활용하여 보조 큐비트를 추가하거나 연산자를 근사화하지 않고 양자 하드웨어에서 비단위 야스트로우-구츠빌러 연산자를 구현하는 방법을 제시합니다.
• 효율적인 측정 체계: 수 연산자가 대각으로 유지되도록 문제를 매핑함으로써, 저자들은 지수항을 파울리 문자열로 확장하는 것에 비해 측정 오버헤드를 크게 줄일 수 있으며 측정 결과에 기반하여 에너지 계산에 직접 삽입할 수 있음을 보여줍니다.
• 스핀 종 분리: 이 방법은 양자 컴퓨터에서 단일 스핀 종에 대한 회로만 평가할 수 있게 하며, 다른 종은 고전적으로 처리합니다. 이는 시연을 위해 필요한 큐비트 수를 효과적으로 절반으로 줄입니다.
• 실험적 시연: 이 방법은 반차 (half-filling) 조건에서 주기적 경계 조건을 가진 사각형 및 삼각형 격자의 4-사이트 허바드 모델에 대해 7-큐비트 장치인 IBM Q Lagos 양자 프로세서에서 시연되었습니다.

결과
저자들은 운동 에너지 매개변수 $k$와 상호작용 강도 $d$를 가진 허바드 모델에 그들의 방법을 적용했습니다.

• 에너지 최소화: 그들은 구츠빌러 매개변수 $\theta$에 대해 에너지 기댓값 $E(\theta)$를 성공적으로 최소화했습니다.
• 비교: 결과는 정확한 대각화 (정확한 바닥 상태 에너지) 와 그들의 방법에 대한 잡음이 없는 고전 시뮬레이션과 비교되었습니다.
• 잡음 분석:
  • 양자 장치에서 전체 계산 (스핀 업 및 스핀 다운 전자 모두) 을 실행할 때, 잡음이 에너지 기댓값에 오차를 도입했습니다.
  • 양자 장치에서 단일 스핀 종만 실행하고 (다른 종은 고전적으로 시뮬레이션) 할 때, 오차는 크게 감소했습니다.
  • 에너지 기댓값의 오차는 상호작용 강도 $d$의 함수로서 상대적으로 일정하게 유지되었으며, 일부 경우 $d$가 $k$에 접근함에 따라 약간 감소했습니다.
• 최적화: 최적 매개변수 $\theta^*$는 에너지 곡선의 최소점을 찾아 발견되었으며, 결과적으로 최적화된 에너지는 특히 단일 스핀 종 구성에서 정확한 바닥 상태 에너지를 밀접하게 추적했습니다.

의의 및 주장
이 논문은 이 접근법이 보조 큐비트의 자원 오버헤드나 다른 비단위 구현과 관련된 근사 오차 없이 근미래 양자 하드웨어에서 야스트로우-구츠빌러 Ansatz 를 구현할 수 있다고 주장합니다. 비단위 지수 인자의 평가를 고전 컴퓨터로 이동함으로써, 이 방법은 변분 매개변수의 최적화를 모든 매개변수 업데이트에 대해 양자 회로를 다시 실행해야 하는 필요성으로부터 분리합니다. 또한, 양자 장치에서 하나의 스핀 종만 시뮬레이션하고 다른 종은 고전적으로 처리할 수 있는 능력은 필요한 큐비트 수를 절반으로 줄여 제한된 연결성과 결맞음 시간을 가진 현재 장치에 대한 접근성을 더욱 현실적으로 만듭니다. IBM Q Lagos 장치에서의 시연은 허바드 모델과 같은 페르미온 시스템에 대한 이 "캐스케이드"접근법의 실현 가능성을 검증하여, 변분 양자 알고리즘에 강한 상관 효과를 통합할 수 있는 경로를 제공합니다.