Hedging Options on Asset Portfolios against Just One Underlying Asset in the Presence of Transaction Costs

본 연구는 거래 비용이 존재할 때 두 자산 포트폴리오에 대한 옵션의 최적 헤지 전략을 조사하며, 위험 조정 가치 지표에 의해 결정된 바와 같이 상관관계가 충분히 높고 거래 비용이 낮을 경우 올바른 자산으로 헤지하는 것보다 상관관계는 있으나 기초자산이 아닌 자산으로 헤지하는 것이 더 선호될 수 있음을 시뮬레이션을 통해 입증한다.

핵심

당신이 미래에 고정된 가격으로 특정 주택 (자산 1) 을 매수할 권리를 부여하는 티켓 (옵션) 을 소유하고 있다고 상상해 보세요. 이 티켓의 가치는 해당 주택 가격의 변동에 따라 전적으로 결정됩니다.

주택 가격이 하락하여 손실을 입는 것을 방지하기 위해, 당신은 보통 '헤지 (hedge)'를 시도합니다. 수학 교과서의 이상적이고 마찰이 없는 세계에서는 리스크를 균형을 맞추기 위해 해당 주택 자체를 끊임없이 매수하고 매도하게 됩니다. 하지만 현실 세계에서는 주택을 매매하는 데 비용이 많이 듭니다. 중개 수수료, 세금, 그리고 이사의 번거로움이 존재합니다 (이것들을 '거래 비용'이라고 합니다). 가격이 1 센트만 움직일 때마다 포트폴리오를 재조정하려고 한다면, 수수료로 인해 모든 수익이 사라질 것입니다.

이 논문은 다음과 같은 교묘한 질문을 던집니다: 거래 비용이 더 저렴하지만 움직임이 매우 유사한 다른 주택으로 헤지한다면 어떨까요?

설정: "올바른" 주택 vs "잘못된" 주택

연구자들은 두 개의 주택을 포함한 시뮬레이션을 설정했습니다:

1. "올바른" 주택 (자산 1): 이는 당신의 티켓이 기반이 되는 실제 주택입니다. 완벽한 매칭이지만, 매수나 매도를 시도할 때마다 많은 비용이 드는 외진 지역에 있다고 상상해 보세요 (높은 거래 비용).
2. "잘못된" 주택 (자산 2): 이는 이웃 도시에 있는 다른 주택입니다. 당신의 티켓이 위한 정확한 주택은 아니지만, "올바른" 주택과 거의 정확히 같은 방식으로 가격이 오르내립니다. 결정적으로, 이는 거래가 저렴하고 쉬운 번화한 도시에 위치해 있습니다 (낮은 거래 비용).

연구자들은 다음과 같이 질문했습니다: 높은 수수료를 치르며 "올바른" 주택을 거래하는 것이 나은지, 아니면 낮은 수수료를 치르며 "잘못된" 주택을 거래하는 것이 나은지?

실험: 시장 시뮬레이션

그들은 컴퓨터를 사용하여 10,000 개의 다양한 '만약에' 시나리오 (시뮬레이션) 를 실행했습니다. 그들은 세 가지 주요 변수를 조정했습니다:

• 상관관계 ($\rho$): 두 주택이 얼마나 밀접하게 함께 움직이는지. $\rho$가 0.99 이면 사실상 쌍둥이입니다. 0.2 라면 거의 함께 움직이지 않습니다.
• 거래 비용: 각 주택을 거래하는 데 드는 비용 (0% 에서 10% 까지).
• 위험 감수성 ($\lambda$): 투자자가 위험을 얼마나 중요하게 생각하는지. 높은 수치는 위험을 피하기 위해 모든 비용을 치르려는 매우 불안한 상태를 의미합니다. 낮은 수치는 잠재적 이익을 위해 위험을 감수할 의사가 있음을 의미합니다.

그들은 **위험 조정 가치 (Risk-Adjusted Value, RAV)**라는 지표를 사용하여 성공을 측정했습니다. 이는 다음과 같은 "점수"로 생각할 수 있습니다: "내가 번 돈이 내가 감수하는 스트레스와 위험에 대한 가치가 있는가?"

발견: 언제 "잘못된" 주택을 거래할 것인가

다음은 일상적인 논리로 번역된 그들의 발견입니다:

1. "완벽한 매칭"이 항상 승자는 아님
"올바른" 주택의 거래 비용이 매우 비싸고 "잘못된" 주택의 거래 비용이 저렴하다면, "잘못된" 주택을 거래하는 것이 나을 수 있습니다—하지만 두 주택이 움직임 면에서 실질적으로 동일할 때만 해당됩니다.

• 비유: 강을 건너야 한다고 상상해 보세요. "올바른" 다리는 직접적인 경로이지만 통행료가 100 달러입니다. "잘못된" 다리는 1 마일이나 돌아가야 하지만 통행료는 1 달러입니다. "잘못된" 다리가 "올바른" 다리와 99% 평행하다면, 우회하는 것이 돈을 절약해 줍니다. 하지만 "잘못된" 다리가 완전히 다른 방향으로 향한다면 (낮은 상관관계), 당신은 길을 잃게 될 것이며 저렴한 통행료는 아무런 도움이 되지 않을 것입니다.

2. "높은 비용"의 함정
어떤 주택을 거래하든 수수료가 거대하다면 (예: 10%), 최선의 전략은 종종 아무것도 하지 않는 것입니다.

• 비유: 어떤 다리를 건너든 통행료가 1,000 달러이고 당신의 티켓 가치가 500 달러뿐이라면, 아예 건너지 않는 것이 좋습니다. 수수료를 지불하고 손실을 입는 것보다 티켓을 보유하면서 위험을 감수하는 것이 낫습니다. 이 논문은 이러한 상황이 거래 수수료가 막대한 부동산이나 암호화폐와 같은 매우 비싼 자산에 종종 적용된다고 지적합니다.

3. "위험 회피" 요인
당신의 결정은 돈을 잃는 것에 대해 얼마나 두려워하는지에 달려 있습니다.

• 만약 당신이 매우 위험 회피적이라면 (높은 $\lambda$), "올바른" 주택이 비싸더라도 완벽한 헤지 수단이기 때문에 그것을 선호합니다.
• 만약 당신이 위험에 대해 덜 걱정한다면 (낮은 $\lambda$) 그리고 "잘못된" 주택이 매우 저렴하며 "올바른" 주택과 매우 유사하다면, 수수료를 절약하기 위해 "잘못된" 주택을 선택할 수 있습니다.

4. "동시 이동" 요구 조건
이 논문은 "잘못된" 주택을 성공적으로 거래하려면 상관관계 ($\rho$) 가 극도로 높아야 함 (약 0.99) 을 발견했습니다.

• 비유: 두 주택이 같은 동네에 있더라도, 하나는 1% 상승하고 다른 하나는 0.5% 상승한다면, 그들은 "동시 이동"을 하지 않는 것입니다. 값싼 "잘못된" 주택을 방패로 사용하려면 거의 정확히 함께 움직여야 합니다. 그들이 조금이라도 어긋나면, 값싼 헤지는 당신을 보호하지 못합니다.

결론

이 논문은 헤지는 단순히 "올바른" 자산을 선택하는 것이 아니라, 거래 비용에 관한 것이라고 결론 내립니다.

• 거래 비용이 낮다면: "올바른" 자산 (옵션이 실제로 기반이 된 자산) 에 머무르세요. 이것이 가장 안전한 선택입니다.
• 거래 비용이 높다면: 두 가지 선택지가 있습니다. 비용이 천문학적이라면 아예 헤지하지 않거나, 거래 비용이 저렴하고 실제 것과 거의 정확히 같이 움직인다면 "잘못된" 자산으로 헤지합니다.
• 주의점: 두 자산이 실질적인 쌍둥이 (매우 높은 상관관계) 일 때만 "잘못된" 자산을 사용할 수 있습니다. 그렇지 않다면, 수수료 절감분이 헤지 실패로 인한 위험을 상쇄하지 못합니다.

간단히 말해: 때로는 "잘못된" 도구가 실제로는 "올바른" 도구만큼이나 일을 잘 수행하고 사용 비용이 저렴하다면 가장 좋은 도구가 될 수 있습니다. 하지만 일을 하는 비용이 너무 비싸다면, 때로는 그냥 두는 것이 더 나을 수도 있습니다.

기술 요약

기술 요약: 거래 비용 존재 하에서 단일 기초 자산에 대한 자산 포트폴리오의 옵션 헤지

문제 제기
본 논문은 표준 옵션 헤지 이론의 실용적 한계를 다룹니다. 즉, 옵션의 기초 자산을 연속적이고 마찰 없이 거래할 수 있다는 가정이 현실과 괴리되어 있다는 점입니다. 실제로는 거래 비용 (고정 수수료와 비례성 슬리피지로 구성됨) 으로 인해 연속적인 델타 헤징은 과도하게 비싸며, 블랙 - 숄즈와 같은 연속 시간 모델에서는 종종 무한한 비용으로 이어집니다. furthermore, 본 논문은 투자자가 두 개의 상관관계가 있는 자산 ($S_{t1}$ 및 $S_{t2}$) 의 혼합물로 작성된 포트폴리오 옵션을 보유하고 있지만, 헤징에 이 중 하나의 자산만 사용할 수 있는 제약을 받는 특정 시나리오를 조사합니다. 핵심 연구 질문은 이러한 제약 하에서 최적의 헤징 전략을 결정하는 것입니다: 투자자는 포트폴리오 구성 요소에 직접적인 기초 자산인 "올바른" 자산을 사용하여 헤징해야 할까요, 거래 비용이 더 저렴할 수 있는 다른 상관관계 자산인 "잘못된" 자산을 사용하여 헤징해야 할까요, 아니면 헤징을 전혀 하지 않고 (노출된 포지션 유지) 있어야 할까요?

방법론
저자들은 기하 브라운 운동 (gBm) 을 따르는 자산에 대한 주식 옵션의 델타 헤징 전략을 분석하기 위해 몬테카를로 시뮬레이션 프레임워크를 활용합니다.

• 포트폴리오 구성: 기초 포트폴리오는 $S_t = \alpha S_{t1} + (1-\alpha)S_{t2}$로 정의되며, 여기서 $\alpha$는 첫 번째 자산의 비율을 나타냅니다. 연구는 $\alpha=0$ 또는 $\alpha=1$인 경우 (포트폴리오가 한 자산 전체에 집중된 경우) 에 초점을 맞추며, $S_{t1}$ 또는 $S_{t2}$ 중 하나를 헤징하는 경우를 고려합니다.
• 헤징 메커니즘: 연구는 이산 시간 델타 헤징을 활용합니다. 델타는 거래되는 특정 자산을 고려하여 조정된 블랙 - 숄즈 공식을 기반으로 계산됩니다. 포트폴리오는 고정된 간격 ($\delta t$) 에서 재조정됩니다.
• 거래 비용: 거래되는 자산에 비례성 거래 비용 ($k$) 이 적용됩니다. 비용 구조는 슬리피지로 모델링된 고정 성분과 비례 성분을 포함합니다.
• 위험 조정 가치 (RAV): 성과를 평가하기 위해 저자들은 주요 의사결정 지표로 위험 조정 가치 (RAV) 를 도입합니다. RAV 는 다음과 같이 정의됩니다:
  $$RAV = \text{시뮬레이션 평균 가치} - \lambda(\text{시뮬레이션 가치의 표준 편차})$$
  여기서 $\lambda$는 위험의 시장 가격을 나타냅니다. 이 지표는 기대 수익과 변동성 사이의 균형을 맞춥니다.
• 시뮬레이션 매개변수: 연구는 다양한 매개변수 하에서 10,000 회 시뮬레이션을 수행합니다: 상관 계수 ($\rho$) 는 0.2 에서 0.99 까지, 거래 비용 ($k$) 은 0% 에서 20% 까지, 재조정 간격은 2 에서 252 단계까지, 그리고 위험의 시장 가격 ($\lambda$) 은 0.2 에서 2.0 까지입니다.
• 레랜드의 수 (Leland's Number): 연구는 수정된 블랙 - 숄즈 전략의 타당성을 판단하기 위해 레랜드의 수 ($A$) 를 참조합니다. $A > 1$인 경우, 논문은 높은 거래 비용 하에서 헤징을 하지 않는 것이 이론적으로 헤징하는 것보다 우월하다고 지적합니다.

주요 결과
RAV 를 통해 분석된 시뮬레이션 결과는 다음과 같은 발견을 도출합니다:

1. 거래 비용의 영향: 거래 비용이 존재할 때, 빈번한 재조정은 헤징하지 않은 포지션이나 덜 빈번한 거래에 비해 상당한 손실을 초래합니다. 거래 비용이 극도로 높을 때 (예: 10% 또는 20%), 자산 간 상관관계와 관계없이 최적의 전략은 일관되게 헤징을 전혀 하지 않는 것입니다.
2. "잘못된" 자산 거래: 연구는 "올바른" 자산을 헤징하거나 헤징을 하지 않는 것보다 "잘못된" 자산 (포트폴리오의 주요 노출을 구성하지 않는 자산) 으로 헤징하는 것이 우월한 특정 조건을 식별합니다. 이는 다음 조건에서 발생합니다:
   • 두 자산 간의 상관관계 ($\rho$) 가 매우 높을 때 (0.99 에 근접).
   • "잘못된" 자산의 거래 비용이 "올바른" 자산의 거래 비용보다 현저히 낮을 때.
   • 위험의 시장 가격 ($\lambda$) 이 낮을 때 (낮은 위험 회피 성향을 나타냄).
   • 구체적으로, "올바른" 자산의 비용이 1% 이고 "잘못된" 자산의 비용이 0% 일 때, $\rho=0.99$에서 높은 재조정 빈도로 "잘못된" 자산을 거래하는 것이 최적화됩니다.
3. $\lambda$의 역할: 위험의 시장 가격 ($\lambda$) 은 결정적인 요인입니다. 높은 $\lambda$ 값 (높은 위험 회피) 은 일반적으로 "올바른" 자산을 거래하거나 헤징을 하지 않는 것을 선호하는 반면, 낮은 $\lambda$ 값은 상관관계가 높을 때 "잘못된" 자산 전략을 더 실행 가능하게 만듭니다.
4. 혼합 포트폴리오: 중간 값의 $\alpha$(혼합 포트폴리오) 에 대해, 시뮬레이션된 포트폴리오 가격은 일반적으로 순수 포트폴리오 ($\alpha=0$ 또는 $1$) 보다 낮으며, 거래되는 자산의 비율이 낮을 때 위험 (표준 편차) 은 더 높습니다.

의의 및 주장
본 논문은 거래 비용이 요인이 될 때, 금융 관리자가 정확한 기초 자산 대신 더 저렴하고 상관관계가 있는 자산을 사용하여 포트폴리오를 헤지할지 여부를 결정하기 위한 정량적 프레임워크를 제공한다고 주장합니다.

• 관리적 통찰력: 저자들은 상관관계가 충분히 높고 "올바른" 자산의 거래 비용이 prohibitive(부과하기 어려울 정도로 높음) 한 경우, 포트폴리오 관리자가 "잘못된" 하지만 더 저렴한 상관관계 자산을 거래함으로써 잠재적으로 더 높은 수익을 달성할 수 있다고 단언합니다.
• 의사결정 임계값: 연구는 $\rho$, $\lambda$, 그리고 거래 비용의 상호작용에 기반하여 언제 "잘못된" 자산, "올바른" 자산, 또는 둘 다 거래하지 않을지 나타내는 의사결정 행렬 (표 3.6 에 요약됨) 을 제공합니다.
• 한계점: 저자들은 겸손하게도 그들의 결론이 gBm 과 특정 거래 비용 모델을 사용한 시뮬레이션 데이터에 기반하고 있음을 지적합니다. 그들은 전략의 효과성이 "잘못된" 자산이 거래 비용이 저렴하고 상관관계가 높다는 가정에 크게 의존한다고 제안합니다. 본 논문은 위험을 제거한다고 주장하는 것이 아니라, 마찰이 있는 시장에서 비용을 더 효율적으로 관리하는 것이라고 주장합니다.

결론적으로, 본 연구는 거래 비용이 존재하는 시장에서 정확한 기초 자산을 헤징하는 것에 대한 경직된 고수함이 항상 최적은 아님을 보여줍니다. 높은 상관관계와 상이한 거래 비용 조건 하에서, 헤징 수단을 더 저렴하고 상관관계가 있는 자산으로 대체하는 것은 합리적이고 위험 조정된 전략이 될 수 있습니다.