A penalty-free quantum algorithm to find energy eigenstates

본 논문은 페널티 함수, 변분 단계, 또는 하이브리드 양자-고전적 접근법에 의존하지 않고 다체 해밀토니안의 기저 상태와 들뜬 상태를 찾는 완전한 양자 알고리즘을 제안한다.

핵심

상상해 보세요. 안개가 자욱한 광활한 산맥에서 가장 낮은 지점을 찾으려 한다고요. 물리학에서 이 '가장 낮은 지점'은 **바닥 상태 (ground state)**라고 불리며, 더 높은 봉우리들은 **들뜬 상태 (excited states)**라고 합니다. 이러한 지점들이 어디에 있는지 아는 것은 과학자들이 물질이 어떻게 행동하는지, 자석이 어떻게 작동하는지, 그리고 양자 컴퓨터가 어떻게 기능하는지 이해하는 데 도움을 줍니다.

오랫동안 컴퓨터로 이러한 지점들을 찾는 것은 그 산맥의 모든 인치를 자로 측정해 지도를 만들려는 시도와 같았습니다. 산이 커질수록 (더 많은 입자가 관여할수록) 고전 컴퓨터에게는 이 작업이 불가능해집니다. 데이터의 양이 폭발적으로 증가하기 때문입니다.

이 논문은 이러한 지점들을 찾는 새로운 '페널티 없는' 양자 알고리즘을 소개합니다. 이는 마치 이러한 지점들을 찾기 위한 똑똑한 자동화 드론과 같은 역할을 합니다. 작동 원리를 간단한 개념으로 나누어 설명해 보겠습니다.

1. 기존 방법의 문제점

대부분의 현재 방법들은 추측하고 확인하는 방식으로 가장 낮은 지점을 찾으려 합니다. 모델을 구축하고, 위치를 추측한 다음, 고전 컴퓨터를 사용해 그 추측을 수정합니다.

• 함정: 때로는 컴퓨터가 '황무지 대지 (barren plateau)'라고 불리는 평탄한 지역에 갇히게 됩니다. 추측을 어느 방향으로 밀어도 나아지지 않는 곳입니다. 마치 사막을 걷는데 계곡으로 이어지는 방향을 알 수 없는 것과 같습니다.
• 페널티: 두 번째로 낮은 지점 (첫 번째 들뜬 상태) 을 찾기 위해 기존 방법들은 종종 수학식에 '페널티'를 추가해야 합니다. 마치 드론이 가장 낮은 지점을 무시하고 다음 것을 찾도록 강요하기 위해 그 지점에 거대한 바위를 올려놓는 것과 같습니다. 이 바위를 만드는 것은 어렵고 종종 시스템을 고장 내기도 합니다.

2. 새로운 접근법: '확률적 샘플러 (Stochastic Sampler)'

저자들은 추측도 하지 않고, 페널티도 사용하지 않으며, 고전 컴퓨터의 도움이 필요 없는 방법을 제안합니다. 이는 **허수 시간 진화 (Imaginary Time Evolution, ITE)**에 의존합니다.

ITE 를 시스템에서 '에너지'를 서서히 빼내는 마법 같은 필터로 생각하세요. 무작위로 섞인 상태들로 시작하면, 이 필터는 자연스럽게 고에너지 상태들을 제거하여 가장 낮은 에너지 상태만 남깁니다.

양자 컴퓨터에서 이를 어떻게 구현하는가:
에너지를 한 번에 모두 빼내기 위한 거대하고 복잡한 기계를 만들려고 시도하는 대신, 그들은 문제를 두 개의 더 작고 쉬운 조각 (이를 조각 A와 조각 B라고 부르겠습니다) 으로 나눕니다.

• 복잡한 퍼즐이 있다고 가정해 보세요. 하지만 왼쪽 절반의 해답과 오른쪽 절반의 해답을 각각 따로 알고 있다고 칩시다.
• 알고리즘은 조각 (A 또는 B) 을 무작위로 선택하고, 그 조각에 미세한 '배수' 작업을 적용합니다.
• 이 무작위 샘플링을 수천 번 반복함으로써 시스템은 자연스럽게 바닥 상태로 흐르게 됩니다. 이는 언덕을 굴러 내려가는 물방울과 같습니다. 지도가 필요하지 않으며, 단지 최소 저항의 경로를 따를 뿐입니다.

3. 더 높은 봉우리 찾기 (들뜬 상태)

드론이 가장 낮은 계곡 (바닥 상태) 을 찾았을 때, '페널티 바위'를 사용하지 않고 다음으로 낮은 계곡을 어떻게 찾을 수 있을까요?

저자들은 **상태 기반 시뮬레이션 (State-Based Simulation)**이라는 교묘한 트릭을 사용합니다.

• 비유: 가장 낮은 계곡을 찾았다고 상상해 보세요. 이제 두 번째로 낮은 계곡을 찾고 싶습니다. 첫 번째 계곡에 바위를 올려놓는 대신, 그 계곡의 완벽한 '유령 복사본'을 만들어 실제 계곡 옆에 놓습니다.
• 알고리즘은 실제 시스템과 이 유령 복사본 사이에서 특별한 춤 (양자 연산) 을 수행합니다. 실제 시스템이 유령 복사본 (바닥 상태) 과 너무 비슷하면, 그 춤은 이를 상쇄시킵니다.
• 이는 효과적으로 바닥 상태를 '필터링'하여 시스템이 자연스럽게 다음으로 낮은 계곡 (첫 번째 들뜬 상태) 에 정착하도록 합니다.
• 이 과정을 반복할 수 있습니다. 두 번째 계곡을 찾으면, 그 유령 복사본을 만들어 필터링하고 세 번째 계곡을 찾습니다.

4. 이것이 중요한 이유

• 페널티 없음: 바닥 상태를 무시하도록 시스템을 강요하기 위해 인위적인 '바위' (페널티 함수) 를 추가할 필요가 없습니다. 깔끔하게 필터링해냅니다.
• 황무지 대지 없음: 고전 컴퓨터가 매개변수를 수정하는 (기존의 '추측 및 확인' 방식과 같은) 데 의존하지 않기 때문에, 무용하고 평탄한 지역에 갇히는 함정을 피할 수 있습니다.
• 순수 양자적: 양자 컴퓨터에서 완전히 실행되며, 양자 역학의 자연스러운 특성을 이용해 중대한 작업을 수행합니다.

5. 증명

저자들은 **횡단 이징 모델 (Transverse Ising Model)**이라고 불리는 유명한 모델을 사용하여 이 아이디어를 테스트했습니다 (위나 아래로 뒤집을 수 있는 작은 자석들의 줄이라고 생각하세요).

• 그들은 성공적으로 바닥 상태와 처음 세 개의 들뜬 상태를 찾았습니다.
• 10 개의 자석을 가진 더 큰 시스템을 시뮬레이션했을 때조차 결과는 매우 정확했습니다 (96% 이상의 충실도).
• 자석들의 에너지가 거의 동일하다 (거의 축퇴된) 하더라도 알고리즘이 여전히 이를 구별할 수 있음을 보여주었습니다.

요약

이 논문은 복잡한 에너지 문제를 해결하기 위해 양자 컴퓨터를 사용하는 새로운 방법을 제시합니다. 페널티로 고생하거나 막다른 길에 갇히는 대신, 이 방법은 무작위 샘플링을 통해 자연스럽게 가장 낮은 에너지 상태로 흐르게 하고, 찾은 것을 유령 복사본으로 필터링하여 다음 에너지 단계를 드러냅니다. 이는 양자 세계를 이해하기 위한 더 깨끗하고 직접적인 경로입니다.

기술 요약

기술 요약: 에너지 고유상태를 찾는 페널티 없는 양자 알고리즘

문제 제기

다체 해밀토니안의 고유값과 고유상태를 찾는 것은 물리학과 계산 과학의 근본적인 과제입니다. 고전적 방법은 큐비트 수 $n$이 증가함에 따라 지수적으로 확장되는 ($O(2^{2n})$의 저장 공간 및 $O(2^{3n})$의 시간) 한계에 직면합니다. 양자 알고리즘이 해결책을 제시할 수 있지만, 기존 접근법들은 다음과 같은 중대한 한계를 가지고 있습니다:

• 변분 양자 고유솔버 (VQE): 최적화 과정에서 종종 '황량한 대지 (barren plateaus, 기울기 소실)'로 고통받는 하이브리드 양자 - 고전 접근법입니다. 들뜬 상태를 찾는 것은 일반적으로 바닥상태 기여를 억제하기 위한 페널티 항을 필요로 하여 복잡성과 오류 가능성을 증가시킵니다.
• 양어 어닐링: 단열성을 보장하기 위해 긴 진화 시간이 필요하며, 바닥상태와 들뜬 상태 사이의 작은 에너지 갭으로 인해 어려움을 겪습니다.
• 허수 시간 진화 (ITE) 및 QITE: 유망하지만 표준 ITE 는 비유니터리 연산자를 구현하는 데 확장성 문제를 겪습니다. 양자 ITE(QITE) 는 종종 들뜬 상태를 위해 변분 최적화나 페널티 항에 의존하여 황량한 대지의 문제를 재도입하고 복잡한 안사츠를 요구합니다.
• 기타 방법: 양자 필터 대각화 (QFD) 및 필터링된 양자 위상 추정 (FQPE) 과 같은 기법들은 특정 참조 상태나 최적화된 필터 함수에 크게 의존합니다.

저자들은 황량한 대지를 피하면서 페널티 함수, 변분 단계, 또는 하이브리드 고전 - 양자 루프 없이 바닥상태와 들뜬 상태 모두를 찾을 수 있는 완전한 양자 알고리즘의 필요성을 지적합니다.

방법론

제안된 알고리즘은 혼합 상태 밀도 행렬의 확률적 샘플링과 상태 기반 시뮬레이션을 기반으로 하는 완전한 양자, 페널티 없는 방법입니다.

1. 해밀토니안 분해 및 밀도 행렬 매핑

이 알고리즘은 목표 해밀토니안 $H$가 두 개의 해결 가능한 성분, $H = h_1 + h_2$로 분해될 수 있다고 가정합니다. 여기서 $h_1$과 $h_2$의 고유값 ($\lambda^j_i$) 과 고유상태 ($|\psi^j_i\rangle$) 는 알려져 있고 준비하기 쉽습니다.

• 저자들은 유효한 확률 분포를 만들기 위해 $h_1$과 $h_2$의 고유값을 이동 (shift) 하고 재조정합니다.
• 이동된 해밀토니안과 동등한 혼합 상태 밀도 행렬 $\rho$를 구성합니다:
  $$\rho = \frac{1}{C} (H + (c_1 + c_2)I) = \sum_{i,j} p^j_i |\psi^j_i\rangle\langle\psi^j_i|$$
  여기서 $p^j_i$는 이동된 고유값에서 유도된 확률입니다. $\rho$의 고유상태는 $H$의 고유상태와 동일합니다.

2. 바닥상태를 위한 확률적 허수 시간 진화 (ITE)

바닥상태를 찾기 위해, 알고리즘은 확률적 샘플링을 사용하여 $\rho$에 대해 ITE 를 수행합니다:

• 샘플링: 각 시간 단계 $\eta$에서, 분포 $\{p^j_i\}$로부터 프로젝터 $P^j_i = |\psi^j_i\rangle\langle\psi^j_i|$가 샘플링됩니다.
• 진화 연산자: 전체 비유니터리 $e^{-\eta \rho}$를 구현하는 대신, 알고리즘은 샘플링된 프로젝터에 대해 연산자 $I - \eta P^j_i$를 구현합니다.
• 회로 구현: 이는 보조 큐비트를 포함하는 포스트 - 선택된 유니터리 회로를 통해 달성됩니다. 유니터리 $U$는 $n$-큐비트 제어 -SU(2) 게이트입니다. 시스템이 샘플링된 프로젝터에 해당하는 상태에 있으면 보조 큐비트가 회전하고, 그렇지 않으면 변하지 않습니다. 보조 큐비트를 $|0\rangle$ 상태로 포스트 - 선택하면 원하는 $I - \eta P^j_i$ 연산이 얻어집니다.
• 수렴: 이 과정을 반복하면 변분 최적화 없이 시스템이 $\rho$(따라서 $H$) 의 바닥상태로 수렴합니다.

3. 들뜬 상태를 위한 상태 기반 시뮬레이션

들뜬 상태를 찾기 위해, 알고리즘은 이미 찾은 더 낮은 에너지 상태 (예: 바닥상태 $P_g$) 의 기여를 억제해야 합니다.

• 과제: 고도로 얽힌 바닥상태에 대한 프로젝터를 직접 구현하는 것은 어렵습니다.
• 해결책: 저자들은 상태 기반 시뮬레이션 프로토콜을 활용합니다. 이는 알려진 바닥상태 $P_g$로 준비된 이중 $n$-큐비트 시스템 (보조), 제어 큐비트, 그리고 주 시스템을 포함합니다.
• 메커니즘: 제어 큐비트에 조건부로 주 시스템과 보조 시스템 사이에 제어 - SWAP 게이트가 적용됩니다. 제어 큐비트를 $|+\rangle$ 기저에서 측정하면 효과적으로 진화 $e^{-\eta P_g}$(근사적으로 $I - \eta P_g$) 가 구현되어 바닥상태 성분을 투영해냅니다.
• 리프팅 절차: 첫 번째 들뜬 상태를 찾기 위해, 밀도 행렬 분포에서 바닥상태 프로젝터를 샘플링할 확률이 인위적으로 '리프팅'(증가) 됩니다. 그런 다음 알고리즘은 이 수정된 분포에 대해 ITE 를 수행합니다. 바닥상태 프로젝터가 샘플링될 때, 상태 기반 시뮬레이션을 사용하여 이를 필터링해냅니다. 이 과정은 더 높은 들뜬 상태를 찾기 위해 반복될 수 있습니다.

4. 일반 해밀토니안을 위한 변형

두 개의 해결 가능한 부분으로 쉽게 분할되지 않는 해밀토니안의 경우, 저자들은 $H$를 파울리 연산자의 선형 결합 ($H = \sum \alpha_i O_i$) 으로 취급하는 변형을 제안합니다. 확률적 샘플링은 이러한 파울리 연산자에 직접 적용되며, 진화 단계에 대해 유사한 회로 구현이 사용됩니다.

주요 결과

저자들은 횡방향 자기장 이징 모델(주기적 경계 조건을 가진 1 차원 사슬) 의 고전적 시뮬레이션을 사용하여 알고리즘을 검증했습니다. 이는 $Z$-기저와 $X$-기저 성분으로 분할될 수 있기 때문에 벤치마크로 작용합니다.

• 바닥상태 (4-큐비트 시스템): 정확한 바닥상태와 **99.9%**의 충실도를 달성했습니다.
• 들뜬상태 (4-큐비트 시스템):
  • 첫 번째 들뜬상태: 98.6% 충실도.
  • 두 번째 들뜬상태: 96.8% 충실도.
  • 세 번째 들뜬상태: 96.6% 충실도.
• 확장성 테스트 (10-큐비트 시스템): 알고리즘은 바닥상태 (98.6% 충실도) 와 첫 번째 들뜬상태 (97.8% 충실도) 를 성공적으로 찾았습니다. 또한 처음 두 상태 사이의 준퇴화 (near-degeneracy) 가 있음에도 불구하고 세 번째 최저 고유상태 (90.2% 충실도) 를 분해했습니다.
• 파울리 변형: 파울리 연산자 샘플링 변형 또한 4-큐비트 사례에서 처음 네 개의 고유상태에 대해 높은 충실도 (97.1%~99.5%) 를 보여주었습니다.
• 자원 확장성: 이론적 분석에 따르면 이 알고리즘은 단계당 $O(n)$개의 2-큐비트 게이트로 확장되며, 이는 $O(n^2)$로 확장되는 트로터 기반 ITE 방법보다 상당한 개선입니다.

중요성 및 주장

이 논문은 현재의 하이브리드 또는 변분 방법의 단점을 해결하는 완전한 양자 알고리즘을 제시한다고 주장합니다:

1. 페널티 없음: 손실 함수에 페널티 항을 추가하지 않고 들뜬 상태를 찾아 복잡한 안사츠의 필요성과 황량한 대지의 위험을 피합니다.
2. 하이브리드 단계 부재: 고전적 최적화 루프의 필요성을 제거하여 순수한 양자 절차로 만듭니다.
3. 광범위한 적용성: $H$를 해결 가능한 부분으로 분할할 수 있다는 가정은 많은 물리 모델과 심지어 QMA-완전 문제를 포함하는 비제한적인 것으로 주장됩니다.
4. 강건성: 이 방법은 준퇴화 에너지 준위를 가진 시스템에서도 순차적으로 여러 낮은 에너지 고유상태를 찾을 수 있는 능력을 보여줍니다.

저자들은 포스트 - 선택에 따른 전체 성공률은 게이트 오류와 결어긋남으로 인해 현재의 노이즈 중간 규모 양자 (NISQ) 장치에서 어려움이 될 수 있음을 인정합니다. 그러나 그들은 이 방법이 고전적으로 해결 불가능한 고유상태 문제를 해결하기 위해 양자 회로를 사용하는 구체적인 경로를 제공하며, 양자 계산 도구상자에 기초적인 추가를 제공한다고 주장합니다.