Feasible Set and the Transformation of Values

이 논문은 고정자본을 포함한 투입 - 산출 모델을 통해 복잡한 노동의 환원과 가치 전환 문제를 고유한 상수 해가 아닌 물리적 생산 네트워크의 제약 하에 성립 가능한 분배의 영역으로 재정의함으로써, 노동가치법칙과 명목 가격 체계가 물적 재생산 바닥을 위반하지 않고 논리적으로 일관될 수 있음을 수학적으로 증명하고 2023 년 중국 데이터를 통해 실증했습니다.

핵심

이 논문은 경제학에서 오랫동안 해결되지 않았던 두 가지 난제, 즉 **"복잡한 노동은 어떻게 단순한 노동으로 환산되는가?"**와 **"노동 가치와 시장 가격이 어떻게 조화를 이룰 수 있는가?"**에 대해 새로운 시각을 제시합니다.

저자 류지위안 (Jiyuan Lyu) 은 기존의 "정답을 하나만 찾아야 한다"는 생각을 버리고, **"가능성의 범위 (Feasible Set)"**를 찾는 새로운 접근법을 제안합니다.

이 복잡한 수학적 논리를 일상적인 비유로 쉽게 설명해 드리겠습니다.

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1. 핵심 비유: "요리 레시피와 식탁의 공간"

이 논문을 이해하기 위해 거대한 **요리 공장 (경제)**을 상상해 보세요.

• 노동 (Labor): 공장에는 요리사 (노동자) 들이 있습니다. 어떤 요리사는 초보 요리사 (단순 노동) 이고, 어떤 요리사는 셰프 (복잡한 노동) 입니다.

• 문제 1 (노동 환산): "셰프 1 시간의 노동은 초보 요리사 몇 시간과 같은가?"

  • 기존의 생각: "정확히 3 배다!"라고 고정된 숫자 하나를 찾으려 했습니다. 하지만 이 숫자를 어떻게 정할지, 누가 정할지 논쟁이 끊이지 않았습니다.
  • 이 논문의 생각: "정확한 숫자는 중요하지 않습니다. 중요한 것은 셰프의 임금이 초보 요리사의 생존을 해치지 않는 범위 안에 있는가입니다."
  • 비유: 요리사들이 배고파서 죽지 않고 다음 날도 일할 수 있는 **최소한의 식량 (생계비)**이 있습니다. 셰프의 임금이 이 최소 식량보다 적으면 안 되죠. 하지만 그 이상이면 얼마든 될 수 있습니다. 이 논리는 "정해진 숫자"가 아니라 **"살아남을 수 있는 안전한 영역 (가능성 공간)"**을 찾습니다.

• 문제 2 (가치와 가격의 변환): "요리사들이 만든 음식의 '가치'와, 시장에서 팔리는 '가격'이 어떻게 같아질 수 있는가?"

  • 기존의 생각: "가치와 가격은 수학적으로 항상 같아야 하는데, 왜 안 맞지? 틀린 게 있나?"라며 좌절했습니다.
  • 이 논문의 생각: "가치와 가격은 서로 다른 차원 (공간) 에 있습니다. 하지만 두 공간이 겹치는 영역이 반드시 존재합니다."
  • 비유: 요리사들이 만든 음식의 총량 (가치) 과, 그 음식을 팔아서 번 돈 (가격) 은 단위만 다를 뿐입니다. 이 논리는 "두 공간이 겹치는 지점"을 찾아내어, "아, 이 범위 안에서는 가치와 가격이 완벽하게 일치할 수 있구나!"라고 증명합니다.

2. 이 논문이 발견한 3 가지 놀라운 사실

① "정답"이 아니라 "안전 지대"가 있다

기존 경제학자들은 복잡한 노동과 단순 노동의 비율을 고정된 숫자 (예: 1 대 5) 로 찾으려 했지만, 실패했습니다.
이 논문은 **"사회가 생존할 수 있는 '안전 지대'가 있다"**고 말합니다.

• 비유: 마치 다리가 흔들리는 강을 건너는 것 같습니다. 다리가 무너지지 않는 안전한 구간이 있습니다. 그 구간 안에서는 발을 어디에 두든 (임금 구조가 어떻게 되든) 다리가 무너지지 않습니다.
• 결론: 복잡한 노동의 비율은 고정된 숫자가 아니라, 사회적 협상과 역사적 과정을 통해 그 '안전 지대' 안에서 결정되는 것입니다.只要 (只要) 그 지대 안에만 있으면, 경제 시스템은 무너지지 않고 돌아갑니다.

② 이윤이 오르면, 임금의 선택지는 줄어든다

자본가들이 더 많은 이윤 (Profit) 을 원할수록, 노동자들의 임금을 결정할 수 있는 '자유'는 줄어듭니다.

• 비유: 케이크를 나누는 상황입니다. 케이크 크기는 고정되어 있습니다.
  • 자본가가 케이크의 10% 를 가져가면, 노동자들은 나머지 90% 를 어떻게 나누든 자유롭습니다.
  • 하지만 자본가가 90% 를 가져가면, 노동자들은 아주 적은 조각만 나누어야 하므로 선택의 여지가 거의 없습니다.
• 결론: 이윤율이 너무 높으면, 노동자들의 생존을 보장할 수 있는 '안전 지대'가 좁아지거나 아예 사라집니다. 이 논문은 자본의 이윤 추구와 노동자의 생존 사이에는 물리적인 한계가 있다는 것을 수학적으로 증명했습니다.

③ 중국의 데이터를 통해 검증했다

이론만으로는 부족했기에, 저자는 2023 년 중국의 199 개 산업 데이터를 가지고 이 이론을 테스트했습니다.

• 결과: 놀랍게도, 실제 중국 경제 데이터에서도 "가치와 가격이 일치하는 영역"이 존재했습니다.
• 의미: 이는 마르크스의 노동 가치론이 현실 경제에서도 여전히 유효하며, 우리가 복잡한 경제 시스템을 이해하는 데 이 '안전 지대' 개념이 도움이 된다는 것을 보여줍니다. 또한, 현재 중국 경제가 높은 성장 (이윤 축적) 을 유지하기 위해 가계 소비가 어느 정도 제한받고 있다는 사실도 수치로 확인했습니다.

3. 한 줄 요약

"경제학은 '정답'을 찾아 헤매지 말고, 시스템이 무너지지 않는 '안전한 범위'를 찾아야 한다. 그 범위 안에서는 복잡한 노동과 시장 가격이 조화를 이룰 수 있으며, 자본의 이윤이 너무 커지면 그 범위가 좁아져 노동자의 생존이 위협받는다."

이 논문은 경제를 딱딱한 수식의 세계가 아니라, 생존과 협상이 이루어지는 살아있는 공간으로 바라보게 해줍니다.

기술 요약

논문 요약: 가능 집합과 가치 변환 문제의 새로운 접근

저자: Jiyuan Lyu
날짜: 2026 년 3 월 11 일
주제: 정치경제학의 오랜 난제인 '복잡노동의 환원'과 '변환 문제 (Transformation Problem)'에 대한 새로운 기하학적 및 대수학적 접근

1. 연구 배경 및 문제 제기

• 복잡노동의 환원 (Reduction of Complex Labor): 마르크스의 노동가치설 (LTV) 에서 다양한 질적 노동 (복잡노동) 을 정량적 단순노동으로 환원하는 비율은 '생산자 뒤에서 이루어지는 사회적 과정'에 의해 결정된다고 명시되어 있습니다. 그러나 기존 수리정치경제학은 이 환원 계수를 '유일한 상수 (unique constant)'로 찾으려 했으며, 이는 가격 시스템에 의존하는 순환 논리 (circularity) 나 대수적 모순을 초래했습니다.
• 변환 문제 (Transformation Problem): 노동가치가 생산가격으로 변환될 때, '총가치=총가격'과 '총잉여가치=총이윤'이라는 두 개의 거시적 등식이 동시에 성립하지 않는다는 고전적 비판이 존재합니다. 기존 연구들은 이를 해결하기 위해 가치의 측정 기준을 재정의하거나 시간적 요소를 도입하려 했으나, 물리적 재생산의 하한선 (subsistence floor) 을 위반하거나 물리적 제약과 무관한 해를 도출하는 한계가 있었습니다.
• 핵심 문제: 환원 계수를 고정된 상수가 아닌, 객관적인 물리적 생산 네트워크와 노동자의 생존 하한선에 의해 제약받는 가능 집합 (Feasible Set) 내의 변수로 재정의할 수 있는가?

2. 방법론 및 이론적 모델

이 논문은 고전적 수리정치경제학 전통을 계승하되, 비음수 행렬 (non-negative matrices) 과 볼록 기하학 (convex geometry) 을 활용하여 새로운 분석 틀을 구축했습니다.

• 모델 구조:

  • 입력 - 출력 모델: 고정자본 (Fixed Capital) 의 재고 (Stock) 와 감가상각을 명시적으로 포함합니다.
  • 행렬 정의:
    • $A$: 중간재 투입 행렬, $K$: 고정자본 재고 행렬, $D$: 감가상각 행렬 ($D=K\delta$).
    • $L$: 직접노동 계수 행렬, $B$: 노동력 재생산을 위한 소비 계수 행렬 (이질적 소비).
    • $\tilde{A} = A + D$: 증폭된 물적 투입 행렬.
  • 노동 재생산 행렬 ($M_0$): $M_0 = L(I - \tilde{A})^{-1}B$. 이 행렬은 기술과 소비 구조 내생적으로 결정되며, 가격 단위와 무관한 (Price-invariant) 무차원 행렬입니다.

• 핵심 개념: 가치 가능 집합 (Value Feasible Set, $\Theta_{val}$)

  • 노동력의 물리적 재생산 하한선 ($c^T(I - M_0) \ge 0$) 을 만족하는 환원 계수 벡터 $c$의 집합으로 정의됩니다.
  • 이 집합은 유계 (bounded), 폐집합 (closed), 볼록 (convex) 집합이며, 내부에 양의 잉여가치가 존재하는 영역을 가집니다.
  • 이 집합 내에서 환원 계수는 사회적 협상, 제도, 계급 투쟁에 의해 결정되는 자유도를 가집니다.

• 변환 문제의 재해석 (이중 공간 매핑):

  • 가치 생성 공간 ($\Theta_{val}$): 생산 영역에서 물리적 재생산 하한선에 의해 결정된 환원 계수의 공간.
  • 가격 분배 공간 ($\Theta_{price}(r)$): 유통 영역에서 자본의 균등 이윤율 ($r$) 을 추구하며 결정된 명목 임금 구조의 공간.
  • 해법: 두 공간을 동일한 공간으로 강제하는 것이 아니라, 단위 변환 승수 (MELT, $\kappa$) 를 통해 차원을 맞추고, 이윤율 $r$이 특정 호환 구간 (Compatibility Interval) 내에 있을 때 두 공간이 기하학적으로 교차 (Intersection) 함을 증명합니다.

3. 주요 기여 및 이론적 결과

1. 복잡노동 환원의 존재성 증명:

   • 경제가 물리적 잉여를 창출하는 한 ($\lambda_{max}(M_0) < 1$), 노동력 재생산을 가능하게 하는 환원 계수들의 집합이 항상 존재하며, 이는 유계된 볼록 집합임을 엄밀하게 증명했습니다.
   • 이는 환원 계수가 임의의 상수가 아니라, 물리적 기술 구조에 의해 제약받는 '자유도'임을 보여줍니다.

2. 균등 착취율 기준점 (Benchmark):

   • 페론 - 프로베니우스 (Perron-Frobenius) 고유벡터 $y^*$는 모든 부문의 착취율이 동일한 지점으로, 가치 가능 집합 내부에 존재하는 이론적 기준점이 됩니다.

3. 이윤율과 분배 공간의 이중성 (Duality):

   • 이윤율 ($r$) 이 상승함에 따라 자본이 국민소득에서 차지하는 비중이 늘어나고, 이는 명목 임금의 가능 집합 ($\Theta_{price}(r)$) 을 수축시킵니다.
   • 임계 이윤율 ($r^*$) 에 도달하면 집합이 단일 점으로 축소되어 사회가 임금 분배를 협상할 여지를 완전히 상실하게 됩니다.

4. 변환 문제의 기하학적 해결:

   • 두 거시적 등식 (총가격=총가치, 총이윤=총잉여가치) 이 동시에 성립하기 위한 필요충분조건을 도출했습니다.
   • 거시적 이윤 분배율 ($\gamma$) 이 특정 호환 구간 $[\gamma_{min}^{crit}, \gamma_{max}^{crit}]$ 내에 있으면, 가치 공간과 가격 공간이 교차하여 두 등식이 동시에 성립하는 해가 무수히 많이 존재함을 증명했습니다.
   • 이는 뉴 인터프리테이션 (NI) 이 노동력 가치를 물리적 상품 바스켓이 아닌 화폐로 재정의하는 방식과 달리, 물리적 소비 하한선을 유지하면서 복잡노동 환원 계수의 유연성을 통해 문제를 해결합니다.

4. 실증 분석 결과 (중국 2023 년 199 개 부문 입력 - 출력 표)

• 데이터 구성: 고정자본 재고와 감가상각을 반영하여 물리적 네트워크를 재구성했습니다.
• 결과:
  • 거시적 균형: 실제 관측된 임금 구조를 환원 계수의 대리변수로 사용했을 때, 이윤율이 $27.49%$일 때 두 거시적 등식이 수치적 정밀도 ($10^{-15}$ 수준) 내에서 성립함을 확인했습니다.
  • 잉여가치율: 과학기술, 전기/가스, 광업 등 자본 집약적 부문의 일반화된 잉여가치율이 높게 나타났으며, 이는 민간 자본의 착취가 아닌 국가의 전략적 축적 (에너지 안보, 산업 업그레이드) 을 반영하는 것으로 해석됩니다.
  • 소비 공간의 압박: 현재 거시적 축적률 ($27.49%$) 을 유지하기 위해서는 사회 소비 구조가 초기 기준의 약 70.6% 수준으로 압축되어야 함을 계산했습니다. 이는 높은 축적률이 가계 소비의 확장을 객관적으로 제한한다는 이론적 명제를 실증적으로 입증했습니다.
  • 한계점: 현재 거시 이윤율은 물리적 생존 한계 ($30.66%$) 아래에 있지만, 사회적 생활 수준 ($24.31%$) 을 유지하기 위한 상한선보다는 높습니다. 이는 고도 성장과 가계 소득 확대 간의 구조적 긴장 관계를 보여줍니다.

5. 연구의 의의 및 결론

• 이론적 의의:

  • 노동가치설이 단일한 환원 비율을 요구하는 것이 아니라, 계급 협상과 제도가 작동할 수 있는 객관적인 '가능 집합'을 정의함을 보여줍니다.
  • 자본의 축적과 이윤율 상승이 사회 분배의 유연성을 객관적으로 제한한다는 메커니즘을 수리적으로 규명했습니다.
  • 변환 문제가 논리적 모순이 아니라, 물리적 생산 네트워크와 화폐 분배 시스템 간의 조건부 구조적 일치 문제임을 밝혔습니다.

• 실무적/정책적 시사점:

  • 고정자본 재고를 고려한 가격 시스템 분석은 부문의 잉여율 추정 오류를 줄이는 데 기여합니다.
  • 높은 축적률이 가계 소비를 압박하는 메커니즘을 정량화함으로써, '내수 확대', '가계 소득 비중 제고', '공동 번영'과 같은 거시경제 정책의 필요성을 물리적 재생산 관점에서 뒷받침합니다.

이 논문은 정치경제학의 고전적 난제를 현대적인 행렬 이론과 기하학적 접근으로 재해석하여, 노동가치설이 물리적 현실과 논리적으로 일관된 체계임을 입증했습니다.