On the stability of the steady-state of a general model of endogenous growth with two $CES$ production functions

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🏭 비유: 두 개의 공장 (물건 공장 vs 기술 공장)

이 논문에서 다루는 경제는 거대한 공장 단지라고 상상해 보세요. 이 단지는 두 가지 일을 합니다.

물건 공장 (Goods Sector): 자동차나 옷 같은 실물 자본 (기계, 건물) 을 만듭니다.
기술 공장 (Education Sector): 사람들의 기술과 지식을 쌓아 '인적 자본'을 만듭니다.

이 두 공장은 서로 협력합니다. 물건 공장은 기술을 가진 노동자가 필요하고, 기술 공장은 물리적인 기계가 필요하죠. 경제학자들은 이 두 공장이 어떻게 균형을 이루며 영원히 성장할 수 있는지 연구해 왔습니다.

🧐 기존 연구의 주장 (Bond 등, 1996)

과거의 유명한 연구자들은 "이 두 공장이 **CES(일정한 대체 탄력성)**라는 특정 공식을 따라 움직인다면, 경제는 반드시 하나의 안정적인 길 (안장 경로, Saddle-path) 을 따라 성장할 것이다"라고 주장했습니다.

안장 경로 (Saddle-path) 란?
- 마치 산꼭대기의 안장 (말이 타는 안장) 모양처럼, 아주 좁은 길만 있으면 경제는 그 길을 따라 균형 있게 성장합니다.
- 만약 이 길에서 조금이라도 벗어나면 경제는 무너져 버리거나 폭주하게 됩니다.
- 연구자들은 "우리의 모델은 항상 이 좁은 길로 돌아갈 수 있다"고 믿었습니다.

⚡ 이 논문의 반격 (치라레스쿠의 발견)

이 논문의 저자 (치라레스cu 교수) 는 "잠깐만요! 그 두 공장이 서로 **다른 공식 (서로 다른 CES 생산 함수)**을 사용할 때는 이야기가 달라진다"고 말합니다.

그는 수학적으로 증명했습니다. 두 공장의 생산 방식이 서로 다르면, 경제는 더 이상 '안장 경로'처럼 안정적으로 돌아갈 수 없다는 것입니다.

🎲 왜 그런가요? (핵심 메커니즘)

조금씩 다른 두 공장:
- 물건 공장은 "기계와 노동자의 조합"을 아주 유연하게 바꿀 수 있습니다.
- 기술 공장은 "기계와 노동자의 조합"을 바꾸기 어렵습니다.
- 이 불일치가 문제를 일으킵니다.
나침반이 고장 난 항해:
- 기존 이론은 경제가 흔들리면 자동으로 다시 중심 길로 돌아오는 나침반이 있다고 믿었습니다.
- 하지만 저자는 "두 공장의 규칙이 다르면, 그 나침반이 고장 나거나 (행렬식 = 0) 방향을 잃어버린다"고 말합니다.
- 수학적으로 말해, 경제 시스템의 '행렬식 (Determinant)'이 0 이 되어버립니다. 이는 경제가 어느 방향으로 튈지 예측할 수 없게 만든다는 뜻입니다.
결론:
- 우리는 "경제가 반드시 안정된 길로 돌아갈 것이다"라고 단정할 수 없다는 것입니다. 상황에 따라 경제가 혼란에 빠질 수도, 혹은 전혀 다른 방식으로 움직일 수도 있습니다.

📊 예외적인 경우 (코브 - 더글라스 함수)

저자는 흥미로운 반전을 덧붙입니다. 만약 두 공장이 **정확히 같은 공식 (코브 - 더글라스 함수)**을 쓴다면, 그때는 다시 안정된 길 (안장 경로) 을 찾을 수 있습니다.

하지만 현실 세계에서는 공장마다, 산업마다 생산 방식이 제각각입니다. 그래서 "모든 경우에 경제가 안정적이다"라고 말하는 것은 위험할 수 있다는 경고입니다.

💡 이 논문의 교훈 (일상 언어로 요약)

과거의 믿음: "경제 시스템은 튼튼하게 설계되어 있어서, 잠시 흔들려도 다시 제자리로 돌아와서 성장한다."
이 논문의 경고: "만약 경제의 두 주요 부문을 구성하는 방식이 서로 너무 다르면, 그 시스템은 예측 불가능해질 수 있습니다. 무조건 안정적이라고 믿으면 안 됩니다."

🎯 한 줄 요약

"두 개의 공장이 서로 다른 규칙으로 돌아가면, 경제는 더 이상 '안정된 길'을 따라가는 것이 아니라, 예측할 수 없는 방향으로 튈 수도 있다는 것을 수학적으로 증명했다."

이 연구는 경제 정책 입안자들에게 "단순한 모델로 모든 상황을 예측하지 말고, 산업 간의 미세한 차이 (생산 함수의 차이) 를 주의 깊게 살펴봐야 한다"는 경고를 줍니다.

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이 논문은 Constantin Chilarescu 가 작성한 것으로, 두 개의 서로 다른 CES(상대적 대체 탄력성) 생산 함수를 사용하는 일반화된 내생적 성장 모델의 정상 상태 (steady-state) 안정성을 분석한 연구입니다. Bond et al. (1996) 의 기존 연구 결과가 모든 생산 함수 형태에 대해 성립하지 않음을 증명하는 것이 핵심 목적입니다.

다음은 논문의 기술적 요약입니다.

1. 연구 문제 (Problem)

배경: Bond et al. (1996) 은 내생적 성장의 일반적 2 부문 모델 (재화 부문과 교육 부문) 을 제안하며, 균형 성장 경로의 존재성과 유일성, 그리고 **안정성 (saddle-path stability)**을 증명했다고 주장했습니다.
문제 제기: Bond et al. 의 안정성 주장은 특정 기능 형태 (예: 코브 - 더글라스) 에 국한된 것일 수 있으며, 두 부문의 생산 함수가 서로 다른 CES 형태를 가질 때에도 성립하는지 의문입니다.
목표: 두 부문의 생산 함수가 서로 다른 CES 함수로 모델링될 때, 해당 모델이 saddle-path 안정성을 가지는지 여부를 검증하고, 기존 주장의 한계를 규명하는 것입니다.

2. 연구 방법론 (Methodology)

모델 설정:
- 부문: 재화 생산 부문 (물적 자본 $k$ 와 인적 자본 $h$ 사용) 과 교육 부문 (인적 자본 생산).
- 생산 함수: 두 부문 모두 CES 생산 함수를 사용하며, 대체 탄력성 ( $\sigma_1 \neq \sigma_2$ ) 이 서로 다릅니다.
- 최적화 문제: 대표 가계의 효용 극대화 문제를 해밀토니안 (Hamiltonian) 함수를 사용하여 설정합니다.
동역학 시스템 도출:
- 해밀토니안을 통해 1 차 조건을 유도하고, 상태 변수 ( $k, h$ ) 와 제어 변수 ( $c, u, v$ ) 에 대한 미분 방정식 시스템을 구성합니다.
- 균형 성장 경로 (Balanced Growth Path, BGP) 에서 성장률이 0 이 되는 변환 변수 ( $z = k/h$ , $q = c/k$ ) 를 도입하여 시스템을 정상화 (stationary) 시킵니다.
안정성 분석:
- 정상 상태에서의 자코비안 행렬 (Jacobian matrix) 의 고유값 (eigenvalues) 을 분석하여 시스템의 안정성 유형을 판별합니다.

3. 주요 기여 및 결과 (Key Contributions & Results)

가. 균형 성장 경로의 존재성과 유일성 (Proposition 1)

특정 파라미터 조건 하에서 균형 성장 경로 (BGP) 가 존재하며 유일함을 증명했습니다.
이 경로에서 물적 자본, 인적 자본, 소비, 그리고 두 부문의 산출물은 모두 동일한 양의 성장률 ( $r^*$ ) 을 가집니다.
정상 상태 값 ( $u^*, v^*, w^*$ 등) 은 명시적인 방정식들을 통해 유일하게 결정됨을 보였습니다.

나. 안정성 분석의 핵심 발견 (Main Result)

가장 중요한 결론: 두 부문의 생산 함수가 서로 다른 CES 형태일 때, 시스템은 saddle-path 안정성을 가질 수 없습니다.
이유:
- 새로운 정상 변수 $z = k/h$ 는 제어 변수 $u$ 와 $v$ 에 명시적으로 의존합니다.
- 이로 인해 정상 상태에서 평가된 자코비안 행렬의 행렬식 (determinant) 이 0이 됩니다.
- 행렬식이 0 인 경우, 시스템은 saddle-path 안정성을 보장받을 수 없으며, 이는 분기점 (bifurcation point) 이나 복잡한 동역학적 행동을 시사합니다.
- Bond et al. (1996) 의 "모든 경우에 saddle-path 안정성이 성립한다"는 주장은 거짓임이 증명되었습니다.

다. 코브 - 더글라스 (Cobb-Douglas) 특수 사례 비교

두 부문의 생산 함수가 코브 - 더글라스 형태인 경우 (CES 의 특수한 경우) 에는 자코비안 행렬식이 0 이 되지 않고, 수치 시뮬레이션을 통해 saddle-path 안정성이 확인되었습니다.
이는 Bond et al. 의 결과가 특정 함수 형태 (코브 - 더글라스) 에만 국한된 것임을 시사하며, 일반적인 CES 형태에서는 성립하지 않음을 보여줍니다.

4. 의의 및 시사점 (Significance)

이론적 정정: 내생적 성장 이론 분야에서 널리 인용된 Bond et al. (1996) 의 안정성 주장을 반박하고, 생산 함수의 형태 (특히 대체 탄력성의 차이) 가 모델의 동역학적 성질에 결정적인 영향을 미친다는 것을 수학적으로 엄밀하게 증명했습니다.
방법론적 통찰: CES 생산 함수를 사용하는 2 부문 모델에서 정상 상태 분석 시, 변수 간의 의존성으로 인해 자코비안 행렬식이 0 이 될 수 있음을 지적하여, 향후 유사 모델 연구 시 안정성 분석에 각별한 주의가 필요함을 강조했습니다.
정책적 함의: 경제 성장 경로의 안정성이 생산 기술의 특성 (대체 탄력성) 에 민감하게 반응할 수 있음을 보여주어, 경제 정책 수립 시 생산 함수의 구조적 특성을 고려해야 함을 시사합니다.

결론적으로, 이 논문은 두 개의 서로 다른 CES 생산 함수를 가진 내생적 성장 모델이 균형 성장 경로에서는 유일하지만, 그 경로가 saddle-path 안정성을 갖는다는 Bond et al. 의 주장은 일반적으로 성립하지 않음을 증명함으로써, 해당 분야의 이론적 토대를 재검토하게 했습니다.