What Lies Between Crystal and Randomly Packed Structures? A General Characterization of Non-Periodic Order

2 차원 이진 패킹 모델에서 7,000 개 이상의 기저 상태 구조에 대한 광범위한 연구를 통해, 비주기적 구조가 지배적이지만 그 중 약 35% 가 '구조적 선택성'을 나타낸다는 사실이 밝혀졌는데, 이는 주기적 결정의 다양성 한계를 훨씬 초월하는 내재적 질서의 특징을 보여주는 성질이다.

핵심

레고 블록 더미를 보고 있다고 상상해 보세요. 이를 배열하는 두 가지 극단적인 방법이 있습니다:

1. 결정체: 완벽한 반복성을 가진 성을 짓습니다. 모든 블록은 특정 위치에 있으며 패턴이 영원히 반복됩니다. 이는 매우 질서 정연하고 단순하며 예측 가능합니다.
2. 무작위 더미: 블록을 바닥에 쏟아부습니다. 이들은 뒤죽박죽이고 혼란스러우며 패턴이 없습니다. 이는 '지저분함'이나 '무질서'의 정의 그 자체입니다.

오랫동안 과학자들은 어떤 것이 완벽한 결정체가 아니면 무작위 더미일 것이라고 믿었습니다. 그들은 중간에 있는 모든 것을 '비정질' 또는 '무질서'라는 큰 통에 담아버렸습니다.

큰 질문
이안 더글라스와 피터 하로웰은 다음과 같이 물었습니다: 완벽한 성과 무작위 더미 사이의 공간에 실제로 무엇이 존재할까요? 우리가 완벽한 결정체를 찾는 데만 너무 바빠서 간과해 온, 조직화되는 다른 방식들이 존재할까요?

이를 찾기 위해 그들은 실제 원자 (정리하기 어렵고 통제하기 힘든 것들) 를 사용하지 않았습니다. 대신, 두 가지 유형의 입자 (빨간색과 파란색 블록이라고 부르겠습니다) 로 구성된 2 차원 격자를 이용한 거대한 디지털 시뮬레이션을 구축했습니다. 그들은 수천 가지 다른 규칙 세트에 대한 '기저 상태 (ground state)'를 찾기 위해 컴퓨터 실험을 수행했습니다. '기저 상태'란 블록이 정착할 수 있는 가장 안정적이고 에너지가 낮은 배열을 단순히 의미합니다.

그들은 7,609 개의 서로 다른 안정 구조를 생성했습니다. 그들이 발견한 바는 다음과 같습니다:

1. "무작위" 더미가 실제로는 대다수입니다

그들이 7,609 개의 모든 구조를 살펴봤을 때, 그중 96% 이상이 결정체가 아니었습니다. 그들은 비주기적이었습니다 (반복되는 패턴이 없음).

하지만 여기에는 반전이 있습니다. 반복되는 결정체가 아니라고 해서 무작위 더미라는 뜻은 아닙니다. 이들 중 일부 구조는 놀라울 정도로 조직화되어 있었습니다.

2. "종" 수로 "복잡성" 측정하기

"지저분한 더미"와 "복잡하지만 조직화된 구조"를 구별하기 위해 저자들은 생태학에서 차용한 개념인 다양성을 사용했습니다.

숲을 상상해 보세요.

• 한 가지 종류의 나무만 있는 숲이라면 다양성은 낮습니다.
• 100 가지 다른 종류의 나무가 있는 숲이라면 다양성은 높습니다.

그들의 시뮬레이션에서 "나무"는 빨간색과 파란색 블록으로 이루어진 작은 지역적 패턴입니다. 그들은 각 구조에 존재하는 서로 다른 지역적 패턴의 종류 수를 세었습니다.

• 결정체는 일반적으로 다양성이 낮습니다 (몇 가지 유형의 패턴만 반복됨).
• 무작위 더미는 다양성이 높습니다 (모든 가능한 패턴이 존재함).

발견: 그들은 결정체가 다양성이 너무 높아지면 (약 5 가지 유형의 패턴) 더 이상 결정체가 아니게 된다는 것을 발견했지만, 비결정성 구조 중에는 최대 9 가지 유형의 패턴을 가지고 있어도 매우 조직화된 것들이 있다는 것을 발견했습니다.

3. "까다로운" 테스트 (구조적 선택성)

이것이 이 논문의 가장 중요한 부분입니다. 비결정성 구조가 실제로 "질서 정연한" 것인지 아니면 단순히 운 좋은 우연인지 어떻게 알 수 있을까요?

저자들은 구조적 선택성이라는 테스트를 고안했습니다. 이를 클럽의 도어맨이라고 생각하세요.

• 상황: 안정적인 구조 (클럽) 가 있다고 가정해 보세요. 이제 시스템의 규칙이 기술적으로 허용할 수 있는 약간 다른 새로운 지역적 패턴 (새로운 손님) 을 몰래 들여보내려 한다고 상상해 보세요.
• 테스트:
  • "비선택적" (무작위) 구조: 도어맨은 새로운 손님을 들여보냅니다. 구조는 새로운 패턴을 받아들이기만 할 뿐 저항하지 않습니다. 모래 더미와 같습니다; 새로운 모래 알갱이를 추가해도 아무것도 변하지 않습니다. 이는 구조가 특정 방식으로 되게 하는 근본적인 "규칙"이 없음을 의미합니다.
  • "선택적" (질서 정연한) 구조: 도어맨은 새로운 손님을 거부합니다. 전체 시스템의 내부 논리를 깨뜨릴 것이기 때문에 구조는 새로운 패턴을 받아들이기를 거부합니다. 이는 대안을 능동적으로 배제합니다.

결과:
그들은 비결정성 구조 전체의 35% 가 "선택적"이었다는 것을 발견했습니다.
이는 반복되는 결정체처럼 보이지 않더라도, 특정 배열을 거부하도록 강요하는 엄격하고 숨겨진 규칙을 따르고 있음을 의미합니다. 그들은 질서 정연하지만 우리가 일반적으로 인식하는 방식은 아닙니다.

4. 이러한 "숨겨진 질서" 구조는 어떻게 생겼을까요?

이 논문은 이러한 "선택적이지만 비결정성" 구조가 몇 가지 범주로 분류된다고 제안하며, 이를 이미지로 설명했습니다:

• 무작위 지점이 있는 결정체: 몇 개의 무작위 "결함"이 뿌려진 거의 완벽한 결정체.
• 입계 (grain boundaries) 가 있는 결정체: 그 사이에 지저분한 선으로 이어진 결정체들.
• 불규칙한 모티프: 국소적으로는 반복되지만 전역적으로는 정렬되지 않는 패턴 (완전히 루프를 닫지 않는 타일링과 같은 것).
• 무작위 네트워크: 특정 모양이 반복되지만 격자가 아닌 복잡한 그물망을 형성하는 미로 같은 구조.

결론

이 논문은 우리가 "무질서"라는 단어를 너무 게으르게 사용해 왔다고 주장합니다.

• 주기적 질서: 반복되는 패턴 (결정체).
• 비주기적 질서: 반복되지는 않지만 특정 패턴을 거부하는 "도어맨"이 있는 구조 (이 연구에서 발견된 35%).
• 진정한 무질서: 어떤 것이든 받아들이고 근본적인 규칙이 없는 구조.

저자들은 "중간" 구조의 세계는 방대하다고 결론 내립니다. 그들이 발견한 비결정성 구조의 약 3 분의 1 은 실제로 숨겨진 규칙 세트 (선택성) 를 따르고 있으며, 이는 반복되는 패턴이 없더라도 질서가 존재함을 증명합니다. 그들은 단순히 "결정체"나 "유리"라고 부르는 것보다 "다양성" (얼마나 많은 패턴 유형이 존재하는가) 과 "선택성" (새로운 패턴을 거부하는가) 을 재료를 설명하는 더 나은 도구로 제안합니다.

기술 요약

기술적 요약: 결정과 무작위 밀집 구조 사이에 존재하는 것은 무엇인가?

문제 제기
응집물질 구조의 특성 규명은 전통적으로 주기적 결정 (낮은 복잡성) 과 비정질 고체 또는 유리 (최대 복잡성) 사이의 이분법적 구분에 의존해 왔습니다. 이 이분법은 두 극한 사이에 존재하는 구조적 지형에 대한 이해에 상당한 공백을 남깁니다. 단위 격자 크기 ($Z$) 나 대칭 기반 엔트로피와 같은 현재의 복잡성 측정 지표들은 비결정성 물질에는 적용할 수 없습니다. 더욱이, '비정질' 또는 '무질서'라는 용어는 이를 구별할 수 있는 측정 지표의 부재로 인해 서로 다른 구조 클래스들을 하나의 묶음으로 취급하는 경향이 있습니다. 이 연구를 동기부여하는 핵심 질문은 다음과 같습니다: 단순한 결정과 무작위 밀집 사이의 복잡성 범위를 차지하는 구조 유형은 무엇이며, 이를 어떻게 특성화하고 구별할 수 있는가?

방법론
이 구조적 공간을 탐구하기 위해 저자들은 FLS(Favored Local Structure, 선호 국소 구조) 모델을 사용했습니다. 이는 A 또는 B 입자로 점유된 2 차원 삼각 격자 시스템으로, 모델은 최근접 이웃의 점유에 기반하여 14 가지의 서로 다른 국소 구조 (LS) 를 정의합니다. 이 14 가지 LS 중 특정 부분 집합 (선호 구조) 에는 에너지 -1 을, 나머지는 0 을 할당함으로써 저자들은 7,609 개의 고유한 시스템에 대한 기저 상태 구성을 생성했습니다.

이 연구는 두 가지 주요 측정 지표를 활용했습니다:

1. 구조적 다양성 ($S_1$): 생태학의 힐 (Hill) 수에서 차용된 이 지표는 구성 내의 서로 다른 국소 구조 '종'의 유효 개수를 정량화합니다. 14 가지 국소 구조의 빈도 분포를 기반으로 계산되며, 비주기적 시스템으로 결정학적 복잡성 측정 지표를 일반화한 복잡성 척도를 제공합니다.
2. 구조적 선택성: 주기성의 부재 속에서 질서를 식별하기 위해 저자들은 '선택성'을 테스트하는 프로토콜을 도입했습니다. 기저 상태 구조가 해밀토니안에 의해 안정화되는 특정 국소 구조들을 배제한다면, 그 구조는 선택적인 것으로 간주됩니다. 이는 하나 이상의 선호 국소 구조가 허용된 구조 집합에서 명시적으로 제외된 시스템에서도 특정 기저 상태가 생성될 수 있는지 확인함으로써 결정됩니다. 만약 안정화되는 국소 구조가 배제되었음에도 불구하고 그 구조가 여전히 기저 상태라면, 이는 해당 구조를 거부하는 근본적인 질서 원리가 존재함을 시사합니다.

주요 결과

• 비주기적 구조의 우세: 7,609 개의 고유한 기저 상태 중 96% 가 비주기적이었습니다. 이러한 비주기적 구조는 가능한 모든 구조적 다양성 범위를 아우릅니다.
• 다양성 임계값: 주기적 구조는 다양성 $S_1 \approx 5$ 에서 절단되는 것으로 발견되었습니다. 이 임계값을 넘어서면 주기적 질서는 사라지지만, 비주기적 구조는 계속 존재하며 높은 다양성을 보입니다.
• 비주기적 질서의 존재: 주요 발견 중 하나는 비주기적 기저 상태의 약 35%(2,602 개 구조) 가 선택적이라는 점입니다. 이는 이러한 구조들이 무작위가 아니며, 특정 국소 구조 옵션을 능동적으로 배제하는 근본적인 질서 원리를 따르고 있음을 의미합니다.
• 비주기적 질서의 범위: 이 선택성은 $S_1 \approx 9$까지 확장되며, 이는 주기적 질서의 상한선 ($S_1 \approx 5$) 을 훨씬 능가합니다.
• 선택적 구조의 분류: 저자들은 이러한 비주기적 선택적 구조를 예비적으로 네 가지 유형으로 분류했습니다: (i) 무작위 점 포함물이 있는 결정, (ii) 무작위 입계 (grain boundaries) 가 있는 결정, (iii) 모티프의 불규칙한 집합, (iv) 무작위 네트워크.
• 비선택적 '무질서' 구조: 나머지 약 65% 의 비주기적 구조는 비선택적인 것으로 발견되었습니다. 반복되는 모티프를 보이는 낮은 다양성 ($S_1 \le 5$) 을 가진 구조들조차도 추가된 선호 국소 구조를 배제할 능력을 보여주지 못했으며, 이는 이 측정 지표로 감지 가능한 특정 질서 원리가 부재함을 시사합니다.

의의 및 주장
이 논문은 결정성 주기성의 부재가 질서의 부재를 의미하지는 않는다고 주장합니다. 구조적 선택성을 질서 원리의 지표로 도입함으로써, 저자들은 상당 부분의 비주기적 응집물질이 단순한 결정과 무작위 밀집 모두와 구별되는 근본적인 질서를 지니고 있음을 입증했습니다.

저자들은 전통적인 용어인 '무질서'는 특정 목표의 부재 외에는 구조에 대한 정보를 제공하지 않으므로 불충분하다고 주장합니다. 대신 그들은 구조적 다양성과 구조적 선택성을 정량적 측정 지표로 사용하여 비주기적 구조 분석에서 '무질서'라는 용어를 대체할 것을 제안합니다. 이러한 지표들은 구조적 지형을 더 세밀하게 특성화하여, 진정한 무작위 구조와 주기적 반복이 아닌 다른 원리를 통해 질서 잡힌 구조를 구별할 수 있게 합니다. 이 연구는 결정과 유리 사이의 '중간 지대'가 과거 적절한 특성화 도구의 부재로 인해 가려졌던 다양한 질서 잡힌 비주기적 상태로 채워져 있음을 시사합니다.